TỔ HỢP 2

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG A.LÍ THUYẾT: 1.Các hằng đẳng thức () () () () () 0 1 2 22 3 3223 4 432234 1 2 33 464 ab abab abaabb abaababb abaabababb += +=+ +=++ +=+++ +=++++ 2.Nhị thức Newton( Niu-tơn) a.Định lí: () 01111 0 n n nnnnnnknkk nnnnn k abCaCabCabCbCab −−−− = +=++++= ∑ Kết quả: * ()()()() 00 1 k nn n nk knkknkk nn kk ababCabCab −− == −=+−=−=−  ∑∑ * () 01 0 1 n n kknn nnnn k xCxCCxCx = +==+++ ∑ b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn () n ab + : -Số các số hạng của công thức là n+1 -Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n -Số hạng tổng quát của nhị thức là: 1 knkk kn TCab − + = (Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển () n ab + ) -Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau. - 10 2 nnn nnn CCC − =+++ - () 01 0 1 n n nnn CCC =−++− -Tam giác pascal: 1 Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2, ta được bảng n k 0 1 2 3 4 5 TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi 1 11 kkk nnn CCC − −− =+ (Với 1 < k < n) 3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng: • () 10 0 211 n n nknn nnnn k CCCC − = =+==+++ ∑ • ()()() 01 0 0111 1 n nkn kn nnnn k CCCC = =−=−=−++− ∑ • () 0110 0 1 n n knknnn nnnn k xCxCxCxCx −− = +==+++ ∑ • ()()() 0011 0 11 1 n nnn kknn nnnn k xCxCxCxCx = −=−=−++− ∑ • ()()() 0110 0 11 1 n nkn knknnn nnnn k xCxCxCxCx −− = −=−=−++− ∑ 4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton. a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có 1 n i n i C = ∑ với i là số tự nhiên liên tiếp. b. Trong biểu thức có () 1 1 n i n i iiC = − ∑ thì ta dùng đạo hàm ( ) i∈ ! • Trong biểu thức có () 1 n i n i ikC = + ∑ thì ta nhân 2 vế với x k rồi lấy đạo hàm • Trong biểu thức có 1 n ki n i aC = ∑ thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp. TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - • Trong biểu thức có 1 1 1 n i n i C i = − ∑ thì ta lấy tích phân xác định trên [ ] ; ab thích hợp. • Nếu bài toán cho khai triển ()()() () 11 i nn nni aniib abiabi nn ii xxCxxCx − −+ == +== ∑∑ thì hệ số của x m là C i n sap cho phương trình ( ) anibim −+= có nghiệm i ∈ ! • i n C đạt MAX khi 1 2 n i − = hay 1 2 n i + = với n lẽ, 2 n i = với n chẵn. B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON. I.Các bài toán về hệ số nhị thức. 1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton. Ví dụ 1:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức: ()()()() 91014 11 1 Qxxxx =++++++ Ta được đa thức: ( ) 14 0114 Qxaaxax =+++ Xác định hệ số a 9 . Giải: Hệ số x 9 trong các đa thức ()()() 91014 1,1, ,1 xxx +++lần lượt là: 959 91014 ,, , CCC Do đó: 959 991014 1111 110.10.11.10.11.12.10.11.12.13.10.11. 12.13.14 262420 aCCC=+++=+++++ =11+55 +220+715+2002=3003 Ví dụ 2:(ĐHBKHN-2000) Giải bất phương trình: 223 2 16 10 2 xxx AAC x −≤+ Giải: Điều kiện:x là số nguyên dương và 3 x ≥ Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với: ( ) () ( ) ( ) ()()()() 212621 110 23! 22122110 3124 xxxx xx x xxxxxx xx −−− −−≤+ ⇔−−−≤−−+ ⇔≤⇔≤ Vì x là nghiệm nguyên dương và 3 x ≥ nên { } 3;4 x∈ Ví dụ 3: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển đa thức của: () 8 2 11 xx  +−  Giải: TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - Cách 1: Ta có: ()()() 88 22 88 000 11. k k k i kkkii k kki fxCxxCxCx ===   =−=−    ∑∑∑ Vậy ta có hệ số của x 8 là: () 8 1 i ki k CC − thoã 0 08 4 28 2 , 3 i ik k ki i ik k =  ≤≤≤    =   +=⇒   =   ∈    =    ! Hệ số trong khai triển của x 8 là: ()() 02 4032 8483 11 CCCC −+− =238 Cách 2: Ta có: ()()()() 348 0324282 8888 11 1 fxCCxxCxxCxx  =++−+−++−  Nhận thấy: x 8 chỉ có trong các số hạng: • Số hạng thứ 4: () 3 32 8 1 Cxx  −  • Số hạng thứ 5: () 4 42 8 1 Cxx  −  Với hệ số tương đương với: A 8 = 3240 8384 CCCC + =238 Ví dụ 4:(ĐH HCQG, 2000) a) Tìm hệ số x 8 trong khai triển 12 1 1 x  +   b) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức ( ) 2 1 n x + bằng 1024. Hãy tìm hệ số a ( ) * a∈ ! của số hạng ax 12 trong khai triển đó.( ĐHSPHN, khối D,2000) Giải: a) Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là: 12122 1212 1 k kxkk k aCxCx x −−  ==   ( ) 012 k≤≤ Ta chọn 12282 kk −=⇔= Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x 8 và có hệ số là: 2 12 66 C = b) Ta có: () 2212122 0 1 n knkkk nnnn k xCxCCxCx − = +==+++ ∑ Với x=1 thì: 01 2 1024 nn nnn CCC=+++= 10 2210 n n ⇔=⇔= Do đó hệ số a (của x 12 ) là: 6 10 210 C = Ví dụ 5:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: ( ) 1212 0112 (12) Pxxaaxax =+=+++ Tìm max ( ) 01212 ,,, , aaaa Giải: Gọi a k là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: 1 kk aa − > Từ đây ta có hệ phương trình: TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - 11 1212 11 1212 21 22 121 12 22 121 kkkk kkkk CC kk CC kk −− ++  ≥   ≥  −+ ⇔  ≥    ≥  −+  ( ) 818 01212812 ax,,, ,2126720 maaaaaC⇒=== 2.Bài toán tìm sô hạng trong khai triển newton. Ví dụ 6: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: () 25 23 x − Giải: Số hạng thứ 21 trong khai triển là: () 20 2052052020 2525 2323 CxCx −= Ví dụ 7: a. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau ( ) 21 3 xxy + b. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau () 20 4 2 3 1 xx xy   +   Giải: a. Khai triển ( ) 20 3 xxy + có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 11 và 12. • Số hạng thứ 11 là: ( ) () 11 10 103104310 2121 CxxyCxy = • Số hạng thứ 12 là: ( ) () 10 11 113104111 2121 CxxyCxy = b. Khai triển () 20 4 2 3 1 xx xy   +   có 20+1=21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2 số là số hạng thứ () 10 10 6520 7 2 1010 63 4 3 2020 21 116: 2 CxxyCxy − −   +==      ( Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn nhất không vượt quá x). Ví dụ 8: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển. () 7 3 4 1 fxx x  =+   với 0 x > Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển: () () 77 7 3 312 177 4 1 ,7 k k k kk k TCxCxkk x − − +  ==∈≤   ! Ứng với số hạng không chứa x ta có: 77 04 312 kk −=⇔= TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - Vậy số hạng không chứa x trong khai triển ( ) fx là: 4 7 35 C = Ví dụ 9: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức: 10 910 01910 12 33 xaaxaxax  +=++++   Hãy tìm số hạng k a lớn nhất. Giải: Ta có: () () 10 10 1010 101010 0 12111 1222 33333 n k kkk k k xxCxaC =  +=+=⇒=   ∑ Ta có a k đạt được max ()()() ()()() [] () 11 11010 11 1 1010 22 22 210!210! 12 !10!1!9! 1922 101 22 33 210!210! 11 !10!1!11! 7,0,10 kkkk kk kkkk kk kk kk aaCC aa CC kkkk kk k kk kkkk kkk ++ + −− −  ≥≥   ⇒⇔  ≥ ≥      ≥  ≥  −+−  −+ ⇔⇔⇔≤≤   ≥ ≥   −  −−−  ⇒=∈∈! Vậy max 7 7 710 10 2 3 k aaC == Bài tập áp dụng Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a 1 , a 2 ,…, a 11 là các hệ số trong khai triển sau: ( ) ( ) 1110 111 12 xxxaxa ++=+++ Hãy tìm hệ số a 5 Bài 2: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển ()() 510 2 1213 xxxx −++ ( Khối D-2007) Bài 3: Tìm hệ số của x 5 y 3 z 6 t 6 trong khai triển đa thức () 20 xyzt +++ ( Đề 4 “TH&TT” -2003) Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x 11 trong khai triển đa thức: ( ) ( ) 23 231 nn xx ++ biết: () 221220 2222 3 13 31024 k nnknkn nnnn CCCC −− −++−++= Bài 5: (LAISAC) Khai triển () 3 2 1 2 n Pxx x  =+   ta được ( ) 335310 012 nnn Pxaxaxax −− =+++ Biết rằng ba hệ số đầu a 0 , a 1 , a 2 lập thành cấp số cộng. Tính số hạng thứ x 4 II. Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp. 1. Thu ần nhị thức Newton Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 7 - có dạng knkk n Cab − thì ta sẽ dùng trực tiếp nhị thức Newton: () 0 n n knkk n k abCab − = += ∑ . Việc còn lại chỉ l à khéo léo chọn a,b. Ví dụ 10: Tính tổng 16015114216 16161616 333 CCCC −+−+ Giải: Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a=3, b=-1. Khi đó tổng trên sẽ bằng (3-1) 16 =2 16 Ví dụ 11: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng: ( ) 0224422212 2222 33 3221 nnnn nnnn CCCC − ++++=+ Giải: ()() ()() 2 0122212122 22222 2 0122212122 22222 1 1 1 2 n nnnn nnnnn n nnnn nnnnn xCCxCxCxCx xCCxCxCxCx −− −− +=+++++ −=−++−+ Lấy (1) + (2) ta được: ()() 22 02222 222 112 nn nn nnn xxCCxCx  ++−=+++  Chọn x=3 suy ra: ()() () 22 02222 222 42 02222 222 22 02222 222 21202222 222 4223 3 22 3 3 2 221 3 3 2 2(21)3 3 PCM nn nn nnn nn nn nnn nn nn nnn nnnn nnn CCC CCC CCC CCC Đ −  +−=+++  + ⇔=+++ + ⇔=+++ ⇔+=+++ ⇒ 2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2. a.Đạo hàm cấp 1. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng k n kC hoặc 1 knkk n kCab −− thì ta có thể dùng đạo hàm c ấp 1 để tính. Cụ thể: () 011 2 n nnnn nnn axCaCaxnCax − +=+++ Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: ()() 1 11221 2 1 n nnnn nnn naxCaCanCax − −−− +=+++ Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm. Ví dụ 12:(ĐH BKHN-1999) Tính tổng () 1 1234 234 1 n n nnnnn CCCCnC − −+−++− TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 8 - Giải: Ta thấy tổng cần tính có dạng như VP(1). Việc còn lại chỉ cần chọn a=1,x=-1 ta tính được tổng băng 0. Cách khác: Sử dụng đẳng thức 1 1 kk nn kCnC − − = ta tính được tổng bằng: ()() 11 0121 1111 1110 nn n nnnn nCnCnCnCn −− − −−−− −+++−=−= Ví dụ 13:Tính tổng: 012007 200720072007 20082007 CCC+++ Giải: Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,…,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu: () 2007 02007120062007 200720072007 1 xCxCxC+=+++ Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được 02006 2007 2007 Cx trong khi đó đề đến 2008 do đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm: () ()() 2007 02008120072007 200720072007 2006 02007120062007 200720072007 1 12008120082007 xxCxCxCx xxCxCxC +=+++ ⇔++=+++ Thay x=1 vào ta tìm được tổng là 2009.2 2006 b.Đạo hàm cấp 2. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 1 2 ,2 2 ,…,n 2 (không kể dấu) tức có dạng (1) knk n kkCa − − hay tổng quát hơn ( ) 1 knkk n kkCab − − thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Xét đa thức () 011 n nnnn nnn abxCCabxCbx − +=+++ Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được: () 1 112221 2 n nnnnn nnn bnabxCabCabxnCbx − −−− +=++ Đạo hàm lần nữa: ( ) ( ) ( ) ( ) 222221 12.1 12 nnnnn nn bnnabxCabnnCbx −−− −+=++− Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi. Ví dụ14: (ĐH AN-CS Khối A 1998) Cho ()()() 1,2 n fxxn=+≤≤ ! a.Tính ( ) 1 f ′′ b.Chứng minh răng: ( ) ( ) 232 2.13.2 112 nn nnn CCnnCnn − +++−=− Giải: TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 9 - a. ()()()()() 12 2 111(1)(1) nn n fxnxfxnnxfnx −− − ′′′′′′ =+⇒=−+⇒=+ b. Ta có ()() () ()() ()() ()()()() 01 12 11 2 2 2 2 1 1221 1 1 112 2.13.2 1 112 PCM nn n kkkk nnnn kk n kk nn k n kk n k n kn n k pnn nnnn fxxCxCCxCx fxCkCx fxkkCx fkkC CCpCnnCnn Đ == − = − = − = − =+==++ ′ =+ ′′ =− ′′ ⇒=−= ⇒+++++++=+ ∑∑ ∑ ∑ ∑ Từ câu b thay (n-1)=(n+1) thì ta có một bài toán khác: b’. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 122 2.13.2 1 112 pnn nnnn CCnpCnnCnn − +++++++=+ Với bài toán này ta giải như sau: Xét nhị thức: () 01 1 n nn nnn xCCxCx +=+++ Nhân 2 vế của đẳng thức với 0 x ≠ đồng thời lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến x ta được: ()()()() 12 121 211123.2 1 nn nn nnn nxnnxxCxCxnnCx −− − ++−+=++++ Cho x=2 ta được ĐPCM Bài tập áp dụng Bài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: 111919 202020 2 CCC+++= Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : 2004 02120042004 200420042004 31 2 2 2 CCC + +++= Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh: ()() 1122221 21.2.2.2.3.2 31 n nnnnn nnnn xCCCnCnn −−−− +=++++=∀≤∈ ! Bài 4: Rút gọn tổng: 21200822200722009 200920092009 1222 2009CCC+++ III.Một số phương pháp khác: Ví dụ 15: (ĐHQG TP.HCM 1997) Cho 0 ,, mkn kmnZ ≤∈≤   ∈  Chứng minh: 011 kkkmmk nmnmnmnm CCCCCCC −− + +++= Giải: () () () 01 011 01 1 Ta c:1 1 m mm mmm n nnn nnn mn mnmn mnmnmn xCCxCx óxCxCxC xCCxCx − + ++ +++  +=+++   +=+++   +=+++   TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 10 - Suy ra hệ số x k trong (1+x) n .(1+x) m là 011 kkmkm mnmnmn CCCCCC −− +++ Và hệ số x k trong khai (1+x) m+n là k mn C + Đồng nhất thức: (1+x) n .(1+x) m = (1+x) n+m Ta được: 011 kkkmmk nmnmnmnm CCCCCCC −− + +++=⇒ ĐPCM Ví dụ16: (Đề2-TH&TT-2008) S 2 = ( ) ( ) ( ) 222 12 2 n nnn CCnC+++ với n là số tự nhiên lẽ Giải: Ta có: () () () ( ) () 22 11 222 11 22 11 1 22 nn nn nnnnn nn SCnCCCnC −+ −   −+  =+−++++        ( ) ( ) ( ) ( ) ()()() ( ) ()()() 222 121 222 121 222 12 2 n nnn nn nnn n nnnn nCCCn nCCCn SnCCCn − +− ++++ =++++  ⇒=++++   Mặt khác ta có: () 2 0122 222 1 n nn nnn xCCxCx +=+++⇒ hệ số của x n là: 2 (*) n n C Trong khi đó: () 01 1 n nn nnn xCCxCx +=+++ Nên hệ số của x n là ( ) ( ) ( ) 222 12 n nnn CCC+++ (**) Từ (*) và (**) ( ) ( ) ( ) 222 12 2 1 nn nnnn CnCCC  ⇒−=+++   2 PCM 2 n nn n SCĐ⇒=⇒ Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh rằng: a) 11211 323 4 nnnn nnn CCnCn −−− +++= (ĐH Luật-2001) b) ( ) 212222 12 12 nn nnn CCnCnn − +++=+ ( Đề 1-TH&TT-2008) Bài 2: Tính các tổng sau: a) 123452829 30303030 3.25.2 29.2 CCCC ++++ b) () 12 0 1 231 n n nnn n CCC C n −+−+− + Bài 3: Đặt () 1 21 6 13 k kk kn TC + + =− . Chứng minh 3 1 0 n k k T = = ∑ Caâu1) [...]...TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 22 07 027 – 0989 824 9 32 http://www.xuctu.com - Trang 11 - mail: quoctuansp@gmail.com E . (1) + (2) ta được: ()() 22 022 22 222 1 12 nn nn nnn xxCCxCx  ++−=+++  Chọn x=3 suy ra: ()() () 22 022 22 222 42 022 22 222 22 022 22 222 21 2 022 22 222 422 3 3 22 3 3 2 221 3 3 2 2 (21 )3 3 PCM nn nn nnn nn nn nnn nn nn nnn nnnn nnn CCC CCC CCC CCC Đ −  +−=+++  + ⇔=+++ + ⇔=+++ ⇔+=+++ ⇒ . (3-1) 16 =2 16 Ví dụ 11: ( ĐH Hàng Hải -20 00) Chứng minh rằng: ( ) 022 4 422 2 12 222 2 33 322 1 nnnn nnnn CCCC − ++++=+ Giải: ()() ()() 2 0 122 2 121 22 222 22 2 0 122 2 121 22 222 22 1 1 1 2 n nnnn nnnnn n nnnn nnnnn xCCxCxCxCx xCCxCxCxCx −− −− +=+++++ −=−++−+ . rằng: 111919 20 2 020 2 CCC+++= Bài 2: (CĐ Khối T-M -20 04)Chứng minh rằng : 20 04 021 200 420 04 20 0 420 0 420 04 31 2 2 2 CCC + +++= Bài 3:(ĐHKTQD -20 00) Chứng minh: ()() 1 122 221 21 .2. 2 .2. 3 .2 31 n nnnnn nnnn xCCCnCnn −−−− +=++++=∀≤∈ !