Phương trình lượng giác.. Ý tích kho ng cách..
Trang 1Ông cha ta t x a t i nay luôn có câu: “ừ ư ớ Bi t mình bi t ta tr m tr n tr m th ng ế ế ă ậ ă ắ ” Thi i h c đạ ọ
c ng gi ng nh ra tr n á nh v y Ta không n thu n ch là “chi n u ” cùng các thí sinh ũ ố ư ậ đ ậ đơ ầ ỉ ế đấ khác mà tr ng tâm chính là chi n u v i ọ ế đấ ớ đề thi Đừn g ph thu c xem ta làm ụ ộ được nhi u ề
h n, t t h n bao nhiêu a Cái chính là ta chi n ơ ố ơ đứ ế đượ đềc thi ó đ được bao nhiêu, y m i ấ ớ
n m ắ được th ch n g.ế ủđộ
bài vi t này, anh s chia s cho các em cách “
Ở ế ẽ ẻ công phá” đề thi môn toán sao cho hi u ệ
qu :Dả
Ph n I: Mu n ánh ch c n hi u ch ầ ố đ đị ầ ể đị
Ta c m v khí i ánh ch nh ng không hi u ch thì có ngày gi ng nh “ầ ũ đ đ đị ư ể đị ố ư c m cày i ánh ầ đ đ cá” v y.ậ Ngh a là có v khí ĩ ũ độc, v khí m nh nh ng c ng ch ng có ý ngh a gì v i ch thì ũ ạ ư ũ ẳ ĩ ớ đị
c ng nh không Vì v y mu n “ũ ư ậ ố đ ánh l n ớ ” được v i ớ đề thi môn Toán thì các em c n hi u rõ ầ ể
c thi môn Toán i h c nó nh th nào? Nó ra sao? M c bao ph c a th
nào? N u hi u ế ể được nh ng i u ó các em m i có th ch ữ đ ề đ ớ ế ủ động trong “l i ánh ố đ ” c a mình ủ
c “Gi c” m nh thì ta ánh du kích, ánh t t cho chúng ch t ch không ph i ào ào
li u mình ánh m t phen s ng mái v i nó Gi c y u thì c n tri t h nhanh g n nh , y m i ề đ ộ ố ớ ặ ế ầ ệ ạ ọ ẹ ấ ớ
có th i gian ờ để đ ánh du kích v i m i th ng m nh ớ ớ ằ ạ được
Th nên c n bi t ế ầ ế được câu khó nh n( gi c m nh) là câu nào ằ ặ ạ để mà ánh t t , đ ừ ừ để sau r i ồ hãy ánh Và câu d nh n (gi c y u) là câu nào đ ễ ằ ặ ế để mà tri t h nhanh g n nh , l y th i gianệ ạ ọ ẹ ấ ờ chi n v i các câu còn l i n a
V y c th ra sao??ậ ụ ể
Ph n II: ầ Đị ch c a ta th nào? ủ ế
Thành ta c n công ây chính là ầ ở đ đề thi ch b o v thành ây chính là các câu h i Đị ả ệ ở đ ỏ trong đề Đươ ng nhiên m t thành t ph i có c tộ ắ ả ả ướng và c lính, có th ng gi i và có th ng ả ằ ỏ ằ
y u Chính vì v y c n bi t i m y u c a thành âu mà công trế ậ ầ ế đ ể ế ủ ở đ ước Khi thành ã b t đ ắ đầu
r n n t c ng là lúc tinh th n chi n ạ ứ ũ ầ ế đấu c a ta lên Khí th chi n ủ ế ế đấu h ng h c mà ánh ừ ự đ
m t thành ang b ộ đ ị đổ nát thì ch ng m y mà ta công ẳ ấ được thành
Trang 2Thông thường qua các n m, c u trúc ă ấ đề thi môn Toán luôn được phân b cho 3 ổ đố ượi t ng:
TB, Khá và Gi i Vì v y m c ỏ ậ ứ độ ủ c a các câu c ng s phân b nh v y: M c TB, M c Khá, ũ ẽ ổ ư ậ ứ ứ
M c Gi i.ứ ỏ
-Câu 1:a.Kh o sát hàm s (Câu m c ả ố ở ứ độ ễ d nh t và không c n ph i suy ngh -ấ ầ ả ĩ câu i m 1 đ ể ) -Câu 5: ý th tích (ể Câu i m 1.5 đ ể )
-Câu 9: Xác xu t, h th c newton, s ph c… (ấ ệ ứ ố ứ Câu i m 2.5 đ ể : câu h i này thông thỞ ỏ ường hay vào s ph c nên ta ch c n n m v ng ố ứ ỉ ầ ắ ữ được nh ng công th c, khái ni m c b n c a sữ ứ ệ ơ ả ủ ố
ph c nh : modul c a s ph c, s ph c liên h p, d ng lứ ư ủ ố ứ ố ứ ợ ạ ượng giác c a s ph c….).ủ ố ứ
-Câu 2 Phương trình lượng giác ( Câu i m 3.5 đ ể – câu m c ở ứ độ ch c n dùng nh ng công ỉ ầ ữ
th c c b n c a lứ ơ ả ủ ượng giác r i bi t ồ ế đổi m t chút ộ để ắ b t nhân t chung).ử
-Câu 1 b.Câu h i ph (ỏ ụ Câu i m 4.5 đ ể )
Nh ng câu thu c nhóm ữ ộ Khá thông th ườ ng ( L y i m t 5-7) ấ đ ể ừ
-Câu 8 Hình t a ọ độ trong không gian (Câu i m 5.5 đ ể )
-Câu 4 Tích phân (Câu i m 6.5 đ ể )
-Câu 5 Ý tích kho ng cách (ả Câu i m 7 đ ể )
Nh ng câu thu c nhóm Gi i: ( L y i m t 8-10) ữ ộ ỏ ấ đ ể ừ
-Câu 7: T a ọ độ trong m t ph ng ( Câuặ ẳ i m 8, i m 9 đ ể đ ể )
-Câu 3: Phương trình, h phệ ương trình, b t phấ ương trình ( Câu i m 8, i m 9 đ ể đ ể )
-Câu 6: C c tr , h phự ị ệ ương trình khó, b t phấ ương trình khó (Câu i m 10 đ ể ).
>> N m ắ được phân b nh ng m c ổ ữ ắ độ ủ c a t ng câu nh v y ta m i có k sách ừ ư ậ ớ ế để đ ánh chi n t ng câu sao cho nhanh g n nh ế ừ ọ ẹ được Khi ánh ph đ ủ đầu nh ng câu d trữ ễ ướ đểc
Trang 3chi m g n i m ta s có th t p trung công l c ế ọ đ ể ẽ ể ậ ự để đ ánh nh ng câu còn l i H n th n a ta ư ạ ơ ế ữ
s có ẽ được m t tâm lý tho i mái ộ ả để não b h ng ph n màộ ư ấ “xu t th n ấ ầ ” h n.ơ
>> NH : ánh “gi c y u” tr Ớ Đ ặ ế ướ để ấ c l y tinh th n và th i gian ánh “gi c m nh” ầ ờ đ ặ ạ
V y ta s ánh nh th nào ậ ẽ đ ư ế để hi u qu ??ệ ả
Ph n III: K sách ánh ch ầ ế đ đị
ánh ch không ph i c c m v khí ra là chi n ánh ch ôi khi ch c n cái u y k
sách và m u m o ư ẹ để đ ánh Có v y thì tay không c ng có th b t ậ ũ ể ắ được gi c Ta c n có k ặ ầ ế sách ánh t t t ng tên ch m t, ánh t th ng y u nh t cho đ ừ ừ ừ đị ộ đ ừ ằ ế ấ đến th ng m nh nh t Có ằ ạ ấ
v y ta m i có th công thành t t ậ ớ ể ố được
1: a: ây là câu h i c c kì d Đ ỏ ự ễ và ta không c n ph i suy ngh , c th mà làm nên ầ ả ĩ ứ ế
nh t nh ph i ki m ấ đị ả ế được h t i m câu này C n l u ý ế đ ể ầ ư đến cách trình bày và cách xác nh đị các đường ti m c n, i m u n c a nó.ệ ậ đ ể ố ủ
1 b: ây là m t câu h i ph a d ng nh ng thông thĐ ộ ỏ ụ đ ạ ư ường s liên quan ẽ đế ẩn n m ( n m có th n m chính trong phẨ ể ằ ương trình c a hàm s mà ủ ố đề cho câu 1 ho c trong ở ặ
phương trình hàm s (Thố ường trong đề ẽ s cho hàm s d ng phân s ho c m t hàm b c 2,ố ạ ố ặ ộ ậ
b c 3 c a bi n x Câu h i s liên quan ậ ủ ế ỏ ẽ đến tìm m để đồ th có các i m c c tr nh th nào ị đ ể ự ị ư ế
ó Th nên c n luy n các d ng bài liên qua n có n m và c c tr thi s không ánh
và ph n b này s r t gi ng v i hình t a ph ng nên n u t t t a ph ng s d dàng
làm được
>>>Nh ng i u c n l u ý ữ đ ề ầ ư đố ớ ạ i v i d ng toán này:
+) Đặ đ ểc i m c a ủ đồ th : Tâm ị đối x ng, tr c ứ ụ đối x ng….ứ
+) Cách vi t phế ương trình c a ủ đồ th qua i m c c tr nhanh mà không c n tìm c th ra: ị đ ể ự ị ầ ụ ể Cái này hãy phân tích y = y’.g(x)+p(x) Nh th phư ế ương trình c a ủ đồ th qua các i m c c ị đ ể ự
tr chính là p(x) Thị ường thì đồ th c a p(x) s là m t ị ủ ẽ ộ đường th ng.ẳ
Trang 4 2 Gi i ph ả ươ ng trình l ượ ng giác:
Câu này là trong nh ng câu d , không ánh ữ ễ đ đố nên c bình t nh mà chi n Yêu c u t t y u ứ ĩ ế ầ ấ ế ánh c câu h i này ó là c n n m rõ nh ng công th c l ng giác c b n và cách
gi i các phả ương trình lượng giác c b n N u có th ơ ả ế ế đơn gi n hóa sao cho phả ương trình
d nhìn nh t thì làm (Rút g n, gi m b c, tách, thêm b t…) Thễ ấ ọ ả ậ ớ ường v i d ng bài này ớ ạ đề thi r t hay có th ấ ể đưa v nhân t chung nên suy ngh ề ử ĩ đầu tiên c a mình là làm sao tiêu b t ủ ớ
bi n cho thoáng i càng t t, ho c cái nào ế đ ố ặ đư đượa c v sin, cos thì c c g ng ề ứ ố ắ đưa, cái nào thay được thì c thay (l u ý nên ứ ư đưa d n d n t ng bi n ầ ầ ừ ế để ta có th d nhìn ra ể ễ được nhân
t chung.ử
M t m o ộ ẹ để làm bài này ó là hãy th nh ng nghi m đ ử ữ ệ đẹp trướ đểc tìm ra d n các k t qu ầ ế ả
r i t ó d có hồ ừ đ ễ ướng phân tích h n Nên th các nghi m nh pi, pi/2, pi/3, pi/4, pi/6… ơ ử ệ ư Đề thi không ánh đ đố nhi u nên s có 1 nghi m ề ẽ ệ đẹ đểp ta d làm nên hãy c th i nhé :D ễ ứ ử đ
V i d ng này ta nên làm nh ng bài t p liên quan ớ ạ ữ ậ đến bi n ế đổi mà s d ng nhi u ử ụ ề đến các công th c sin2x, sin3x, cos2x, cos3x… công th c h b c ứ ứ ạ ậ để cho quen, nhu n nhuy n các ầ ễ công th c ó :D.ứ đ
>> L u ý d ng bài này: ư ở ạ
+) C g ng tìm ra ố ắ được 1 nghi m c a phệ ủ ương trình n u có th ế ể
+) Nh ng công th c liên quan ữ ứ đến tan^2, cotg^2, cos3x, cos2x…
+) Nên đưa toàn b v cos và sin ộ ề để ễ d dàng x lý h n.ử ơ
+) N u nh m ế ẩ được nghi m x=a thì hãy ệ đặt x=t+a (Ví d n u nh m ụ ế ẩ được nghi m x=pi/3 thì ệ hãy đặt x=t+pi/3) Sau ó thay vào và c n th n phá tung ra và rút g n, t s d dàng nhìn đ ẩ ậ ọ ắ ẽ ễ
ra được nhân t chung.ử
3 Gi i ph ả ươ ng trình, h ph ệ ươ ng trình, b t ph ấ ươ ng trình.
B n ch t c a b t phả ấ ủ ấ ương trình c ng gi ng nh phũ ố ư ương trình nên ây ta s ch nên ở đ ẽ ỉ đề
c p t i phậ ớ ương trình và h phệ ương trình Ph n này ầ đượ đc ánh giá là tương đối, khá (nhi uề
n m c ng ă ũ được coi là câu ki m i m 8,9) ph n này c ng nh ph n 2, ế đ ể Ở ầ ũ ư ầ đề thi c ng ôi khiũ đ cho nh ng h ng t c ng k nh ữ ạ ử ồ ề để làm s thí sinh nên ph i c n tuy t ợ ả ầ ệ đối bình t nh ĩ để gi i ả quy t.ế
Hãy tìm cách để thêm b t, tách ghép r i ớ ồ đặt sao cho phương trình, h phệ ương trình được
a v nhìn g n, d nhìn và ít bi n nh t d ng này r t hay dùng hàm s gi i, ho c
Trang 5a v nhân t chung L i khuyên nên làm nhi u d ng toán gi i ph ng trình vì th lo i
d ng bài này r t phong phú, khó nhìn ra ạ ở ấ được m u ch t c a bài toán nên c n có kinh ấ ố ủ ầ nghi m Chính vì v y nên ệ ậ đầu t khi h c v phư ọ ề ương trình h n.ơ
>>Nh ng l u ý khi làm d ng bài này: ữ ư ạ
i v i ph ng trình
Đố ớ ươ
+) Nh t thi t ph i tìm ấ ế ả được m t nghi m c a nó.ộ ệ ủ
+) N u bi u th c có c n ho c phân th c thì thông thế ể ứ ă ặ ứ ường nghi m s làm cho c n và phân ệ ẽ ă
th c có k t qu là m t s nguyên ho c bi u di n ứ ế ả ộ ố ặ ể ễ được dưới d ng ạ đẹp
+) Hãy l u ý ư đến k t qu sau ế ả để ễ d dang khoanh vùng được nghi m h n: N u f(x) là hàm ệ ơ ế liên t c trên [a;b] mà có f(a).f(b)ụ
+) Sau khi nh m ẩ được nghi m r i hãy c g ng dùng: H ng ệ ồ ố ắ ằ đẳng th c, liên h p….ứ ợ để ắ b t nhân t chung.ử
+) Trường h p khi b t ợ ắ được nhân t chung và còn bi u th c bên trong thì hãy xem bi u ử ể ứ ể
th c ó có vô nghi m hay không b ng cách ứ đ ệ ằ đạo hàm r i nhìn i u ki n c a bi n x mà gi i)ồ đ ề ệ ủ ế ả
i v i h ph ng trình:
Đố ớ ệ ươ
+) Thường s t m t phẽ ừ ộ ương trình nào ó s có đ ẽ được m t m i quan h ộ ố ệ đơn gi n gi a bi nả ữ ế
x và y để thay vào phương trình còn l i ạ để quy v phề ương trình 1 n.ẩ
+) C g ng nh m ố ắ ẩ được 1 nghi m (x;y) ệ để xem có th oán ể đ được m i quan h ó là gì ố ệ đ không?
4 Tích phân, ng d ng c a tích phân trong tính th tích ứ ụ ủ ể
thi i h c r t hi m ra v ng d ng c a tích phân, h u nh ch là tích phân nên ta c n
t p trung ậ đầu t cho tích phân h n là ng d ng Thư ơ ứ ụ ường khi h c v tích phân thì m i ngọ ề ọ ười hay vướng m c ho c nhâm l n trong vi c khai tri n hàm dắ ặ ẫ ệ ể ưới d u tích phân sao cho nó ấ phù h p.ợ
Nh ng ư đề thi không ánh đ đố Nó thường s ghép m t hàm ẽ ộ đơn gi n+1 hàm tả ương đối, che
gi u ôi chút ấ đ để ta động não Kinh nghi m c a mình thì c n quan sát xem ta có th tách ệ ủ ầ ể
c ra nh ng tích phân n gi n nào thì tách r i chi n t ng cái m t Sau ó cái h i ánh
chút thì cu i (tr ng h p ta không làm c thì v n có i m mà ) i v i cái h i
ph c t p thì h thứ ạ ọ ường s cho c n th c, lẽ ă ứ ượng giác, logalepe (ln), phân s ph c t p… Vì ố ứ ạ
Trang 6v y khi c m th y cái nào mà ph c t p khó ánh giá thì ta ậ ả ấ ứ ạ đ đặt nó thành 1 bi n r i d n d n ế ồ ầ ầ tách, thêm b t ớ để bi n các h ng t còn l i theo bi n ó R i cu i cùng s thành 1 tích phânế ạ ử ạ ế đ ồ ố ẽ
c b n :D d ng bài này nên luy n nhi u v các d ng tích phân liên quan ơ ả Ở ạ ệ ề ề ạ đến lượng giác, phân s và c n th c nhi u :D.ố ă ứ ề
>>> Nh ng l u ý khi làm bài này: ữ ư
+) N u xu t hi n nh ng bi u th c ế ấ ệ ữ ể ứ đặc bi t nh loga, hàm s m , c n th c… hãy tri t tiêu ệ ư ố ũ ă ứ ệ
bi u th c ể ứ đặc bi t ó b ng cách ệ đ ằ đặt chúng thành 1 bi n r i bi u di n x qua bi n m i ó ế ồ ể ễ ế ớ đ Rút g n và dùng tích phân t ng ph n.ọ ừ ầ
+) C n c n th n v i ầ ẩ ậ ớ đổ ậi c n
+) Khi xu t hi n bi u th c 1/c n(x^2+a) c n nh t i nguyên hàm c a nó là ấ ệ ể ứ ă ầ ớ ớ ủ
ln(x+c n(x^2+a))+C.ă
5 Hình h c không gian ọ
ây là m t câu h i v a òi h i óc quan sát c ng nh t ng t ng t t K n ng gi i hình
h c ph ng c ng khá Nên l m v ng cách tính kho ng cách, cách xác nh chi u cao và ọ ẳ ũ ắ ữ ả đị ề cách xác nh kho ng cách gi a đị ả ữ đường th ng v i ẳ ớ đường th ng, ẳ đường th ng v i m t ẳ ớ ặ
ph ng…ẳ
câu h i này thì ph n tính th tích th ng là cho i m nên s d nhìn ra Ph n c n ng
não chính là tính kho ng cách t 1 i m ả ừ đ ể đến m t ph ng, gi a hai ặ ẳ ữ đường th ng, gi a 2 m t ằ ữ ặ
ph ng… L i khuyên c a mình là nên h c và hi u rõ v cách xác nh kho ng cách gi a 2 ẳ ờ ủ ọ ể ề đị ả ữ
ng th ng, gi a m t ph ng và m t ph ng, cách xác nh gia tuy n c a 2 m t ph ng…
R i t ó xác nh ồ ừ đ đị đường nào s là kho ng cách và ta dùng hình h c ph ng ẽ ả ọ ẳ để tính :D
>>> L u ý khi x lý bài toán này: ư ử
+) Nên t duy theo s ư ơ đồ hình cây: Ngh a là y u t A c u thành t B và C thì ta c n tìm B ĩ ế ố ấ ừ ầ
và C Y u t B c u thành t D và E thì c n tìm D và E C nh v y ế ố ấ ừ ầ ứ ư ậ để ầ l n ra được b n ch tả ấ
th c s ta c n tính là y u t nào.ự ự ầ ế ố
Ví d : N u c n tính th thích: Ok ta c n tính di n tích áy và chi u cao Chi u cao bi t r i ụ ế ầ ể ầ ệ đ ề ề ế ồ thì ta ch c n tính di n tích áy V y mu n tính di n tích áy ta c n tính gì? C nh áy và ỉ ầ ệ đ ậ ố ệ đ ầ ạ đ
Trang 7ng cao t ng ng N u bi t c nh áy r i thì ta ch c n xác nh xem ng cao nó là
gì và tính nó th nào ó là cách t duy d n d n ế Đ ư ầ ầ để ra được l i gi i bài toán.ờ ả
+) Tính kho ng cách gi a ả ữ đường th ng v i ẳ ớ đường th ng c n quy v ẳ ầ ề đường th ng v i m t ẳ ớ ặ
ph ng Sau ó quy v i m v i m t ph ng Cu i cùng áp d ng cách tính kho ng cách ẳ đ ề đ ể ớ ặ ẳ ố ụ ả thông qua công th c th tích.ứ ể
6 B t ấ đẳ ng th c, h ph ứ ệ ươ ng trình, ph ươ ng trinh khó.
ây c g i là câu i m 10 Khó, chính vì v y mu n làm c câu này òi h i 1 k n ng
t t c ng nh nh y bén v m ng này Nh ng b n ít làm v m ng này s khó có hố ũ ư ạ ề ả ữ ạ ề ả ẽ ướng ti p ế
c n :Dậ
7 Hình t a ọ độ ph ng ẳ
ây là m t câu có n m thu c câu h i khá, có n m là câu h i l y i m 8, 9
nh ng câu lo i này hay yêu c u tìm t a ữ ạ ầ ọ độ các i m ho c vi t phđ ể ặ ế ương trình đường th ng.ẳ
>>> L i khuyên ờ đố ớ ạ i v i d ng bài này:
+) H h i gì thì mình ọ ỏ đặ ẩt n theo yêu c u c a nó N u h i tìm i m thì ta hãy ầ ủ ế ỏ đ ể đặ ọ độ ủt t a c a
i m ó sau ó d a vào d ki n bài thành l p h ph ng trình gi i n t a ó
N u h i phế ỏ ương trình c a ủ đồ th thì hãy l p phị ậ ương trình t ng quát r i dùng d ki n ổ ồ ự ệ để tìm các n ó c a phẩ đ ủ ương trình t ng quát.ổ
+) Hãy nhìn hình t a ọ độ theo con m t hình h c ph ng Ngh a là v hình ra r i nhìn xem ắ ọ ẳ ĩ ẽ ồ hình ó có gì đ đặc bi t (Y u t vuông góc, song song, ho c tr ng tâm, tr c tâm….).ệ ế ố ặ ọ ự
+) Đối v i bài hình t a ớ ọ độ có hình tròn và ti p tuy n thì hãy ế ế để ý t i tính ch t c a ti p tuy n.ớ ấ ủ ế ế
8 Hình t a ọ độ không gian.
B n ch t c a câu h i này tả ấ ủ ỏ ương t nh t a ự ư ọ độ ph ng Tuy nhiên m c ẳ ứ độ ch yêu c u ki n ỉ ầ ế
th c c b n và n m rõ tính ch t, công th c c b n và cách xác nh m t c u, m t ph ng.ứ ơ ả ắ ấ ứ ơ ả đị ặ ầ ặ ẳ
>>> Đố ớ ạ i v i d ng toán này c n l u ý: ầ ư
Trang 8+) C n n m nh v công th c tích có hầ ắ ớ ề ứ ướng.
+) N m v ng hai phắ ữ ương trình, b n i m ố đ ể đồng ph ng khi nào.ẳ
+) Nh ng tính ch t liên quan ữ ấ đến m t c u Nh ng d ng m t ph ng c t m t c u…ặ ầ ữ ạ ặ ẳ ắ ặ ầ
9 S ph c, xác su t, Nh th c Newton: ố ứ ấ ị ứ
M y câu này c ng thu c d ng ki m i m d nên yêu c u ch c n n m ấ ũ ộ ạ ế đ ể ễ ầ ỉ ẩ ắ được ki n th c c ế ứ ơ
b n r i nó.ả ồ
>>> L u ý v i d ng bài này: ư ớ ạ
+) S ph c: C n n m rõ khái ni m v modul s ph c, argument c a s ph c, d ng lố ứ ầ ắ ệ ề ố ứ ủ ố ứ ạ ượng giác c a s ph c, s ph c liên h p, các phép tính c b n v i s ph c.ủ ố ứ ố ứ ợ ơ ả ớ ố ứ
+)Nh th c Newton: C b n là d ng bài xác nh h s khi khai tri n 1 bi u th c c a bi n xị ứ ơ ả ạ đị ệ ố ể ể ứ ủ ế +) Xác su t: C n nh các phép ấ ầ ớ đếm, phép tính c b n trong xác xu t.ơ ả ấ