95 .Chơng 9. dẫn nhiệt ổn định 9.1. định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt 9.1.1 Định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt Dựa vào thuyết động học phân tử, Fourier đã chứng minh định luật cơ bản của dẫn nhiệt nh sau: Vec tơ dòng nhiệt tỷ lệ thuận với vectơ gradient nhiệt độ. Biểu thức của định luật có dạng vectơ là: ,dtagrq = dạng vô hớng là: . tn dt gradtq == Theo định luật này, nhiệt lơng Q đợc dẫn qua diện tích F của mặt đẳng nhiệt trong 1 giây đợc tính theo công thức: = F dF. n t Q Khi gradt không đổi trên bề mặt F, công thức có dạng: dF. n t Q = Định luật Fourier là định luậtcơ bản để tính lợng nhiệt trao đổi bằng phơng thức dẫn nhiệt. 9.1.2 Hệ số dẫn nhiệt Hệ số của định luật Fourier gradt q = , W/mK đợc gọi là hệ số dẫn nhiệt. Hệ số dẫn nhiệt đặc trng cho khả năng dẫn nhiệt của vật. Giá trị của phụ thuộc vào bản chất và kết cấu của vật liệu, vào độ ẩm và nhiệt độ, đợc xác định bằng thực nghiệm với từng vật liệu và cho sẵn theo quan hệ với nhiệt độ tại bảng các thông số vật lý của vật liệu. 9.2. Phơng trình vi phân dẫn nhiệt 9.2.1. Nội dung của phơng trình vi phân dẫn nhiệt Phơng trình vi phân dẫn nhiệt là phơng trình cân bằng nhiệt cho một phân tố bất kỳ nằm hoàn toàn bên trong vật dẫn nhiệt. 9.2.2. Thiết lập phơng trình Xét cân bằng nhiệt cho phân tố dV bên trong vật dẫn, có khối lợng riêng , nhiệt dung riêng C v , hệ số dẫn nhiệt , dòng nhiệt phân tố là q , công suất phát nhiệt q v . 96 Theo định luật bảo toàn năng lợng, ta có: [Độ biến thiên nội năng của dV] = [Hiệu số nhiệt lợng (vào-ra) dV] + [lợng nhiệt sinh ra trong dV], tức là: += d.dV.qd.dV.divq t C.dV. vv , hay: v v v C. q qdiv C. 1t + = Theo định luật fourier ,dtagrq = khi = const ta có: )dtagr(div)dtagr(divqdiv == Trong đó: Div(gra dt) = t z t zy t yx t x 2 = + + , Với: + + + + + = z) , r, trụ dộ toạ (trong , z) y, x,với góc vuông dộ toạ (trong , 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 z tt r 1 r t . r 1 r t z t y t x t t Phơng trình vi phân dẫn nhiệt là phơng trình kết hợp hai định luật nói trên, có dạng: += + = v 2 v v 2 v q ta C. q t C. t với a = v C. , m 2 /s., đợc gọi là hệ số khuyếch tán nhiệt, đặc trng cho mức độ tiêu tán nhiệt trong vật. 9.2.3. Các dạng đặc biệt của phơng trình vi phân dẫn nhiệt với q v = 0 Khi vật ổn định nhiệt, 0 t = , phơng trình có dạng 0t 2 = . Trong vách phẳng rộng vô hạn và ổn định nhiệt có = const, trờng nhiệt độ t(x) đợc xác định theo phơng trình 0 dx td 2 2 = . Trong điều kiện = const và ổn định nhiệt, trờng nhiệt độ t(r) trong vách trụ tròn dàI vô hạn đợc xác định theo phơng trình vi phân dẫn nhiệt trong toạ độ trụ: 0 d r dt r 1 dx td 2 2 =+ . 9.3. Các điều kiện đơn trị 97 Phơng trình vi phân dẫn nhiệt nói chung là phơng trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn là hàm phân bố nhiệt độ t(x, y, z, ). Nghiệm tổng quat của nó chứa nhiều hằng số tuỳ ý chọn. để xác định duy nhất nghiệm riêng của phơng trình vi phân dẫn nhiệt, cần phải cho trớc một số điều kiện, gọi là các điều kiện đơn trị. 9.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị Tuỳ theo nội dung, các điều kiện đơn trị bao gồm 4 loại sau: - Điều kiện hình học cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định kích thớc, hình dạng, vị trí của hệ vật V. - Điều kiện vật lý cho biết luật phân bố các thông số vật lý theo nhiệt độ tại mọi điểm M V, tức cho biết (, C v , , a . . . ) = f(t, M V). - Điều kiện ban đầu cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm = 0 tại mọi điểm M V, tức cho biết t(M V, = 0) = t(x, y, z). - Điều kiện biên cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc cân bằng nhiệt tại mọi điểm M trên biên W của hệ V tại mọi thời điểm . Nếu ký hiệu dòng nhiệt q dẫn trong vật V đến M W là n t. n t q = = , thì điều kiện biên có thể cho ở dạng: ),0(,WƯM ),M(q),M(tq ),M(tt n w == = hoặc . Điều kiện hình học, vật lý và điều kiện biên cần phải cho trớc trong mọi bài toán. Riêng điều kiện ban đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định. 9.3.2. Các loại điều kiện biên Tại mỗi mặt biên W i W = W i của vật V, tuỳ theo cách phân bố nhiệt độ hoặc cách trao đổi nhiệt với môi trờng khác nhau, điều kiện biên có thể đợc cho theo các loại sau đây: - ĐKB loại 1: cho biết luật phân bố nhiệt độ tại mọi điểm M 1 W 1 ở dạng: t w1 = t(M 1 , ). - ĐKB loại 2: cho biết dòng nhiệt qua điểm M 2 W 2 là: q(M 2 , ) = -.t n .(M 2 , ). Đặc biệt khi W 2 đợc cách nhiệt tuyệt đối hoặc là mặt đối xứng của bài toán, thì t n (M 2 , ) = 0 và hàm t sẽ đạt cực trị tại M 2 W 2 . - ĐKB loại 3: cho biết biên W 3 tiếp xúc chất lỏng có nhiệt độ t f với hệ số toả nhiệt và luật cân bằng nhiệt tại W 3 W 3 có dạng: q = q hay -.t n .(M 3 , ) = [t(M 3 , ) t f ]. - ĐKB loại 4: cho biết biên W 4 tiếp xúc với môi trờng rắn có phân bố nhiệt độ t 4 và luật cân bằng nhiệt tại W 4 W 4 là q = q 4 hay -.t n .(M 4 , ) = - 4 .t n .(M 4 , ). 98 - ĐKB loại 5: cho biết trên biên W 5 có sự trao đổi chất do sự khuyếch tán hay chuyển pha (chẳng hạn do hoá lỏng, hoá rắn hoặc thăng hoa, kết tinh). Khi đó chính biên W 5 sẽ di chuyển và khối lợng vật V sẽ thay đổi và phơng trình cân bằng nhiệt tại điểm M 5 trên biên W 5 di động sẽ có dạng: q = q + q r hay -t n (M 5 , ) = -t n (M 5 , ) + r d dx . 5 . trong đó: d dx 5 là tốc độ di chuyển của điểm M 5 W 5 , r là nhiệt chuyển pha j/kg. - ĐKB loại 6: cho biết biên W 6 tiếp giáp với môi trờng chân không, ở đó chỉ xẩy ra sự trao đổi nhiệt bằng bức xạ và phơng trình cân bằng nhiệt tại W 6 W 6 có dạng: q = q hay -t n (M 6 , ) = 0 T 4 (M 6 , ). - ĐKB loại 7: cho biết biên W 7 tiếp xúc với chất khí có nhiệt độ T k , ở đó có sự trao đổi nhiệt bằng cả đối lu và bức xạ. Phơng trình cân bằng nhiệt tại W 7 W 7 có dạng: q = q + q r hay -t n (M 7 , ) = [T(M 7 , ) - T k ] + 0 [T 4 (M 7 , ) T 4 k ]. ĐKB loại 7 có thể qui về loại 3 nếu viêt phơng trình trên ở dạng: q = )TT( kw với )TT/()TT( kw 4 k 4 w0 += , đợc gọi là hệ số toả nhiệ phức hợp. ĐKB loại 6 và loại 7 là những ĐKB không tuyến tính. 9.3.3. Mô hình bài toán dẫn nhiệt Bài toán dẫn nhiệt có thể đợc mô tả bằng một hệ phơng trình vi phân (t) gồm phơng trình vi phân dẫn nhiệt và các phơng trình mô tả các đIều kiện đơn trị nh đã nêu ở mục (9.3): = dkdt các tả mô trinh phong Các ta t )t( 2 Giải bài toán dẫn nhiệt là tìm hàm phân bố nhiệt độ t(x, y, z, ) thoả mãn mọi phơng trình của hệ (t) nói trên. 9.4. Dẫn nhiệt ổn định trong vách phẳng 9.4.1. Vách 1 lớp, biên loại 1 9.4.1.1. Bài toán Cho 1 vách phẳng rộng vô hạn, dày , (0 x ), làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt = const, nhiệt độ tại hai mặt vách phân bố đều bằng t 1 , t 2 và không đổi. Tìm phân bố nhiệt độ t(x) bên trong vách. Bài toán dẫn nhiệt ổn định này đợc mô tả bởi hệ phơng trình (t) có dạng: 99 = = = (3) (2) (1) 2 1 2 2 t)(t t)0(t 0 dx td )t( 9.4.1.2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x) Nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng t(x) = C 1 x + C 2 . Các hằng số C 1 , C 2 đợc xác định theo các ĐKB (2) và (3): ==+= == )tt( 1 CtCC)(t tC)0(t )t( 121221 12 Vậy phân bố nhiệt độ trong vách là t(x) = x)tt( 1 t 211 , có dạng đờng thẳng qua 2 điểm (0. t 1 ) và (, t 2 ). 9.4.1.3. Tính dòng nhiệt dẫn qua vách Theo định luật Fourier ta có: R t tt dx dt q 21 = == , (W/m 2 ), với R = , (m 2 K/W) gọi là nhiệt trở của vách phẳng. 9.4.2. Vách n lớp, biên loại 1 9.4.2.1. Bài toán 100 Cho vách phẳng n lớp, mỗi lớp thứ i dày , có hệ số dẫn nhiệt , 2 mặt biên có nhiệt độ không đổi, phân bố đều và bằng t 0 , t n cho trớc. Tính dòng nhiệt q qua vách và nhiệt độ các mặt tiếp xúc t i , i = 1 ữ (n-1). 9.4.2.2. Lời giải Khi ổn định, dònh nhiệt q qua mọi lớp là không đổi: n n n1n i i 1ii 1 1 10 tttt tt q = = = + Đây là hệ n phơng trình đại số tuyến tính của ẩn số t i và q. bằng cách khử các ẩn số t i , i = 1 ữ (n-1), sẽ tìm đợc: = = = i n 1i i i n0 R t tt q , (W/m 2 ). Thay q vào lần lợt mỗi phơng trình ta tìm đợc nhiệt độ các mặt tiếp xúc: t i = t i-1 - x)tt( 1 i1i i , i = 1 ữ n. Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ I là đoạn thẳng có dạng: t i (x) = t i-1 - x)tt( 1 i1i i , i = 1 ữ n. 9.4.3. Vách một lớp, biên loại 3 9.4.3.1. Bài toán Cho vách phẳng rộng vô hạn, dày , hệ số dẫn nhiệt = const, mặt x = 0 tiếp xúc với chất lỏng 1 có nhiệt độ t f1 với hệ số toả nhiệt 1 , mặt x = tiếp xúc với chất lỏng 2 có nhiệt độ t f2 với hệ số toả nhiệt 2 , tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong vách. Mô hình bài toán có dạng: 101 [] [] = = = (3) (2) (1) dx )(dt t)(t dx )0(dt )0(tt 0 dx td )t( 2f2 1f1 2 2 9.4.3.2. Tìm phân bố t(x) Nghiệm tổng quát của (1) là: t(x) = C 1 x + C 2 . Các hằng số C 1 , C 2 đợc xác định theo (2) và (3): =+ = 12f212 121f1 C)tCC( C)Ct( Giải hệ này ta đợc: += ++ = 1 2 1f2 21 2f1f 1 CtC tt C Do đó phân bố t(x) có dạng: + ++ = 1 21 2f1f 1f x tt t)x(t Đồ thị t(x) là đoạn thẳng đi qua 2 điểm 1f 1 1 t,R và + 2f 2 2 t,R đợc gọi là các điểm định hớng của ĐKB loại 3. 9.4.3.3. Tính doang nhiệt q Theo định luật Fourier ta có: 21 2f1f 1 11 tt C dx dt q + + === , (W/m 2 ), Theo biểu thức t(x) có thể tính nhiệt độ tại 2 mặt vách theo: + ++ == + + == 1 21 2f1f 1f2w 2 11 2f1f 1f1w tt t)(tt 1 tt t)0(tt 102 9.5. Dẫn nhiệt trong vách trụ 9.5.1. Trụ một lớp, biên loại 1 Bài toán: Cho vách trụ 1 lớp đồng chất, bán kính trong r 1 , ngoài r 2 , = const, hai mặt biên có nhiệt độ t 1 , t 2 . Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong trụ và nhiệt lợng q l = , l Q (W/m), truyền qua 1m dài mặt trụ. Trong toạ độ trụ, mô hình bài toán trên có dạng: = = =+ (3) (2) (1) 22 11 2 2 t)r(t t)r(t 0 dr dt r 1 dr td )t( 9.5.1.2. Tìm phân bố t(r) Đổi biến d r dt u = thì phơng trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng: 0 r u d r du =+ hay r dr u du = . Lấy tích phân lần 1 ta có: Lnu = - ln r + ln C 1 = r ln Cln 1 hay r dt Cdt r C u d r dt 1 1 === . Lấy tích phân lần 2 ta có nghiệm tổng quát của (1) là: t(r) = C 1 ln r + C 2 , Các hằng số C1, C 2 đợc tính theo ĐKB (2) và (3): = = +== +== 1112 1 2 21 1 22122 21111 rlnCtC r r ln tt C CrlnCt)r(t CrlnCt)r(t Vậy phân bố nhiệt độ trong vách trụ có dạng: 1 1 2 21 1 r r ln r r ln tt t)r(t = Đờng cong t(r) có dạng logarit đi qua 2 điểm (r 1 , t 1 ) và (r 2 , t 2 ). 9.5.1.3. Tính nhiệt lợng Dòng nhiệt qua 1m 2 mặt trụ bán kính r bất kỳ là: 1 2 211 r r lnr )tt( r C dr dt q === , w/m 2 , 103 luôn giảm khi r tăng. Lợng nhiệt qua 1m dài mặt trụ bán kính r bất kỳ là: l 1 2 21 1l R t r r ln 2 1 )tt( C2 l rl2.q l Q q = == == , (w/m), Với 1 2 l r r ln 2 1 R = , (mK/W) là nhiệt trở của 1m trụ. Vì q l = const với mọi mặt trụ, không phụ thuộc vào bán kính r nên q l đợc coi là 1 đại lợng đặc trng cho dẫn nhiệt qua vách trụ. 9.5.2. Trụ n lớp biên loại 1 9.5.2.1. Bài toán Cho vách trụ n lớp, bán kính trong r 0 , r 1 , . . . r i , . . . r n , có hệ số dẫn nhiệt i , có nhiệt độ 2 mặt biên không đổi t 0 , t n . Tìm lợng nhiệt q l , qua 1m dài mặt trụ, nhiệt độ t i , i = 1 ữ (n-1) các mặt tiếp xúc và phân bố nhiệt độ t i (r) trong mỗi lớp. 9.5.2.2. Lời giải Vì q l = const với mọi lớp nên có hệ phơng trình: ,n1i, r r ln 2 1 )tt( q n 1i 1i i i i1i l ữ= = = Bằng cách khử (n-1) ẩn t i , i = 1 ữ (n-1) se thu đợc: , r r ln 2 1 )tt( q n 1i 1i i i n0 l = = , (W/m) trong đó: , r r ln 2 1 R n 1i 1i i i l = = , (mK/W) là tổng nhiệt trở của 1m vách trụ n lớp. Tính t i , i = 1 ữ (n-1) lần lợt theo q l ta đợc: ),1n(1i, r r ln 2 1 tt 1i i i 1ll ữ= = Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ i có dạng: ),1n(1i, r r ln r r ln tt t)r(t 1i 1i i 1ii ll ữ= = 104 là đờng cong logarit đI qua 2 điểm (r i-1 , t i-1 ) và (r i , t i ). 9.5.3. Vách trụ một lớp biên loại 3 9.5.3.1. Bài toán Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong vách trụ đồng chất có r 1 , r 2 , cho trớc, mặt trong tiếp xúc với chất lỏng nóng có t f1 , 1 , mặt ngoài tiếp xúc với chất lỏng lạnh có t f2 , 2 . Trong toạ độ trụ, mô hình bài toán có dạng: [] [] = = =+ (3) (2) (1) )r(tt)r(t )r(t)r(tt 0 dr dt r 1 dr td )t( 2r2f22 1r11f1 2 9.5.3.2. Tìm phân bố t(r) Nghiệm tổng quát của (1) là: t(r) = C 1 x + C 2 . Các hằng số C 1 , C 2 đợc xác định theo các ĐKB (2) và (3): =+ = 2 1 2f2212 1 1 2111f1 r C )tCrlnC( r C )CrlnCt( Giải ra ta đợc: ; r r ln rr tt C 1 2 2211 1f2f 1 + + = và C 2 = t f2 + C 1 ; Vậy: + + + = 111 1 2 2211 2f1f 1f rr r ln r r ln rr tt t)r(t . Đồ thị t(r) có dạng loarit tiếp tuyến tại r 1 qua điểm 1f 1 11 t,rR và tiếp tuyến tại r 1 qua điểm + 2f 2 22 t,rR . 9.5.3.3. Tính nhiệt lợng q 1 Lợng nhiệt qua 1m dài mặt trụ không đổi và bằng: . của phơng trình vi phân dẫn nhiệt Phơng trình vi phân dẫn nhiệt là phơng trình cân bằng nhiệt cho một phân tố bất kỳ nằm hoàn toàn bên trong vật dẫn nhiệt. 9.2.2. Thiết lập phơng trình . Xét cân bằng nhiệt cho phân tố dV bên trong vật dẫn, có khối lợng riêng , nhiệt dung riêng C v , hệ số dẫn nhiệt , dòng nhiệt phân tố là q , công suất phát nhiệt q v . 96 Theo định luật. nhiệt ổn định 9.1. định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt 9.1.1 Định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt Dựa vào thuyết động học phân tử, Fourier đã chứng minh định luật cơ bản của dẫn nhiệt