Cộng hai biểu thức này của A thì suy ra kết quả... Tứ giác AB'C'D' có các đường chéo AC' và B'D' vuông góc với nhau.. Gọi K là giao điểm các đường chéo ấy.
Trang 1www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
Câu I 1) Đặt A = (x1 + x3)(x1 + x4)(x2 + x3)(x2 + x4)
Ta có(x1+ x3)(x1+ x4) = x + x (x + x ) + x x =12
1 3 4 3 4 -(ax1+ b) - cx1+ d = (d - b) - (a +c)x1, (x2 + x3)(x2 + x4) = (d - b) - (a + c)x2,
do đó A = [(d - b) - (a + c)x1][(d - b) - (a + c)x2] = (d - b)2 + (a + c)(b - d)(x1 + x2) + (a + c)2x1x2 =
= (b - d)2- (a + c)(b - d)a + (a + c)2b
Vai trò hai phỷơng trình là nhỷ nhau trong biểu thức của A, nên ta cũng có:
A = (b - d)2 - (a + c)(b - d)a + (a + c)2
b
Cộng hai biểu thức này của A thì suy ra kết quả
2) Không giảm tổng quát có thể xem aÊ b Ê c khi đó theo bđt Côsi ta có
(a + b + 1)(1 - a)(1 - b)Ê a + b + 1 + 1 - a + 1 - b
Suy ra (1 - a)(1 - b)Ê 1
a + b + 1 ị (1 - a)(1 - b)(1 - c) Ê 1 - c
a + b + 1
b + c + 1 +
b
a + c + 1 +
c
a + b + 1 + (1 - a)(1 - b)(1 - c)≤
a + b + 1 +
b
a + b + 1 +
c
a + b + 1 +
1 - c
a + b + 1 = 1.
Câu II 1) Ta có sin3
x + cos3xÊ sin2
x + cos2x = 1, 2 - sin4x³ 1
Vậy dấu = chỉ có thể xảy ra khi ta có đồng thời
sin
4
1
x
π
2 + 2kπ(kẻ Z).
2) Giả sử k, l, m là độ dài các trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C thế thì
Trang 22
2 2,
2l2+ b
2
2
= a2+ c2,
2 + l2+ m2= 3
4(a
2 + b2+ c2)
2m2+c
2
2
= a2+ b2
Mặt khác a2 + b2 + c2 = 4R2(sin2A + sin2B + sin2C),
4sin2A + 4sin2B + 4sin2C = 2(1 - cos2A) + 2(1 - cos2B) + 4(1 - cos2C) =
= 8 + 4cosCcos(A - B) - 4cos2C = 8 + cos2(A - B) - [2cosC - cos(A - B)]2 Ê 9,
suy ra: k + l + m
3
9R 4
Nh vậy: k + l + m
3
k + l + m 3
9R 4
2 2 2 2 2
2 .
Câu III 1) Vì M thuộc P, nên M có tung độ a2
, vậy
AM2
= (xM - xA)2 + (yM - yA)2 = a4 + (a - 3)2
Hàm f(a) =a4 + (a - 3)2 có đạo hàm
f’(a) = 4a3 + 2(a - 3) = 2(a - 1)(2a2 + 2a + 3),
suy ra khi a = 1, f(a) đạt giá trị nhỏ nhất Vậy đoạn AM ngắn nhất khi MƒM (1 , 1)
2) Với M (1 , 1) đỷờng thẳng AM có hệ số góc
k =y - y
x - x =
-1 2
M A
M A
Vì P có phỷơng trình y = x2 ị y’ = 2x, nên tại M tiếp tuyến của P có hệ số góc k’ = 2, suy ra tiếp tuyến ấy vuông góc với đỷờng thẳng AM
Trang 3_ www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0
_
C©u IVa
XÐt hai tr−êng hîp sau :
o
I=∫ πcos pxdx
2 o
2
o
(1 cos2px)dx x
π
∫
o
1
I [cos(p q)x cos(p q)x]dx
2
π
2 o
1 sin(p q)x sin(p q)x
0
π
C©u Va Ph−¬ng tr×nh (C ) vµ 1 (C ) lÇn l−ît ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng : 2
1
(C : (x 3)− +y =2 ,
2
(C ) : (x 6)− + −(y 3) =1
VËy
1
2
Tõ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc ta cã hÖ :
| 3 m | 2
| 6 m | 1
− =
⇒ m = 5
ax − y + b = 0
Theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, ta cã
2
2
3a b
2
6a 3 b
1
=
⇒
(3a b) 4(a 1)
| 3a b | 2 | 6a 3 b |
⇔
(3a b) 4(a 1)
3a b 2(6a 3 b)
hoÆc
(3a b) 4(a 1) 3a b 2(6a 3 b)
⇔
a 0, b 2
lµ :
Trang 41 9 17 33 9 17
3
(d ) : y 2=
Câu IVb
1) AC'là đường cao trong tam giác cân SAC, do đó để C' thuộc đoạn SC, S phải là góc nhọn, muốn vậy phải có OC < SO ⇒ h > 2a
Tứ giác AB'C'D' có các đường chéo AC' và B'D' vuông góc với nhau Gọi K là giao điểm các
đường chéo ấy Ta có :
4ah 2dt(SAC) AC'.SC AC' h= = = +4a ⇒
⇒
4ah AC'
h 4a
= +
Nếu B'C'D' là tam giác đều thì B'KC' là nửa tam giác đều, vậy
1
B AC' là nửa tam giác đều, suy ra :
1
4ah
AC' AB 3
+
trung điểm của SC
2) Hình chóp S.ABCD có thể tích :
2
SH
5
+
2
S = 4s + dt (ABCD) = 4a2+2a 4a2+5h2 , thành thử :
r
Câu Vb
Trước hết ta hãy chứng minh rằng :
A B
2
+
dấu = chỉ xảy ra khi A = B Quả vậy :
tgA tgB
cosA cosB cos(A B) cos(A B)
Trang 5_ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
_
2
2tg
A B
2
+
Để ý rằng kết quả này chỉ đúng với giả thiết A, B là góc nhọn, vì
khi đó :
0 < 2cosA cosB = cos (A + B) + cos (A − B) ≤ cos (A + B) + 1
Trở về với điều kiện của bài toán :
+
⇒ (tgA tgB)− 2≤0 ⇒ tgA = tgB ⇒ A = B