Chương 2: Ngôn ngữ tập hợp pps

Chương 2. Ngộn ngữ Tập hợp Trương Mỹ Dung 15 2. NGÔN NGỮ TẬP HP. 2 1 . Khái niệm về tập hợp và phân tử. Tập hợp và phân tử là các từ nguyên thủy không có đònh nghóa. Một phân tử a thuộc về một tập hợp X được ký hiệu a ∈ X Nếu a không phải là một phân tử của tập hợp x, ta viết a ∉ X Một tập hợp được hoàn toàn xác đònh nếu với một phần tử bất kỳ a ta có thể khẳng đònh phân tử đó có thuộc về tập hợp đó hay không. Thí dụ 1. - Tập hợp các sinh viên Trường Hoa Sen là một tập hợp. - Các tập hợp số : N, Z, Q, R, C. Mỗi tập hợp xác đònh tính chất của các phân tử. Mỗi tính chất xác đònh một tập hợp các phân tử . Thí dụ. 2. c = {x/sin(x) = 1} c = {0, 1} Mỗi tập hợp được trình bày bằng cách liệt kê các phân tử của nó hoặc nêu ra một tính chất đặc trưng của các phân tử của nó. Thí dụ 3. x = { 0 , ± 2, ± 4, } hoặc x = { x ∈ Z: x là một số chẳn} Nếu có thể liệt hết tất cả các phân tử của tập hợp , ta nói tập hợp đó là hữu hạn, ngược lại ta nói tập hợp đó là vô hạn. Thí dụ 4. - X là tập hợp 20 sinh viên lớp QL. Vậy x là hữu hạn và Carđ(X) = 20 - Các tập hợp số N, P, Q, R, là các tập hợp vô hạn. Tập hợp đưọc biểu diễn bằng sơ đồ VENN: Tập hợp không có phân tử nào gọi là tập hợp rỗng (∅). 2.2 . Tập hợp con. A là tập hợp con của một tập hợp X nếu một phân tử bất kỳ a ∈ A cũng là phân tử của X, ký hiệu A ⊂ X Ta có mệnh đề luôn luôn đúng: A ⊂ X ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ X). Tính chất. X ⊂ X ∅ ⊂ X Tập hợp gồm tất cả các tập hợp con của X được ký hiệu P (X): Chương 2. Ngộn ngữ Tập hợp Trương Mỹ Dung 16 (A ⊂ X) ⇔ [ A ∈ P(x) ] Mỗi tập hợp con A của X được xác đònh bằng một tính chất đặc trưng p(x). Thí dụ: a. X Tập hợp các sinh viên Trường Hoa Sen A Tập hợp các sinh viên Trường Hoa Sen Ngành Quản lý. Ta viết A = { x ∈ X: x học Ngành Quản lý } Vậy tính chất đặc trưng của A là p(x) : “x học Ngành Quản lý “. b. X = Z A = { 0, ± 3, ± 6, ± 9 }, Vậy A = { x ∈ Z: x là bội số của 3 } và tính chất đặc trưng của A là p(x) : “ x là bội số của 3” Chú ý . p (x) không phải là một mệnh đề. Tuy nhiên nếu gán cho x một phân tử bất kỳ a∈ x thì p (a) là một mệnh đề. Do đó ta gọi p (x) là hàm mệnh đề và có thể áp dụng các phép nối logic: không, và, hay, kéo theo, tương đương cho các hàm mệnh đề . Quan hệ giữa 2 tập hợp con, ta viết A ⊂ B (A chứa trong B) nếu mọi phân tử của A đều là phân tử của B. Nếu A có tính chất đặc trưng p (x) và B có tính chất đặc trưng q (x) thì quan hệ A ⊂ B được biểu diễn bằng mệnh đề kéo theo p (x) ⇒ q (x), Thí dụ . A = { x ∈ Z : x là bội số của 10 } B = { x ∈ Z : x là bội số của 5 } Như vậy p (x) : “x là bội số của 10” q (x) : “x là bội số của 5” vì p (x) ⇒ q (x) là một mệnh đề đúng nên ta có A ⊂ B. Ta có 2 tập hợp con A và B bằng nhau, ký hiệu A=B, nếu đồng thời A ⊂ B và B ⊂ A. Như vậy quan hệ tương đương giữa A và B được biểu diễn bởi mệnh đề p (x) ⇔ q (x) Thí dụ. X = Z A = { x ∈ Z : p (x) } với p (x) : “ x chia hết cho 5” B = { x ∈ Z : q (x) } với q (x) : “ x tận cùng bằng 0 hay 5” Rõ ràng p (x) ⇔ q (x) là mệnh đề đúng. Vậy A=B 2.3. Các phép toán trên các tập hợp con. 2.3.1 Phần phụ. A là một tập hợp con của X phần phụ của A, ký hiệu A là tập hợp các phân tử x ∉ A Tính chất . A = A . A Chương 2. Ngộn ngữ Tập hợp Trương Mỹ Dung 17 2.3.2. Phần giao và phần hội . A và B là hai tập hợp con của X. § A Giao B, ký hiệu A∩B là tập hợp x ∈ X sao cho x ∈ A và x ∈ B. A ∩ B = { x ∈ x/x ∈A và x∈B } § A hội B, ký hiệu A ∪ B là tập hợp A ∪ B = { x ∈ x/x ∈ A hay x ∈ B } Nếu p (x) và q (x) lần lượt là các tính chất đặc trưng của A và B thì : A ∩ B có tính chất đặc trưng p (x) và q (x). A ∪ B có tính chất đặc trưng p (x) hay q (x). 2.3.3. Các tính chất của phần giao và phần hội a. Phần giao Phần hội A ∩ A = A A ∪ A = A A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) A ∩ A = ∅ A ∪ A = X A ∩ ∅ = ∅ b. Tính phân phối. A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) c. Qui luật DE MORGAN. (A ∩ B) = A ∪ B (A ∪ B) = A ∩ B Do có các tính chất như trên ta có P (x) với các phép toán Hội, Giao. Phần phụ là một hệ đại số BOOLE . 2.3.4. Hiệu của hai tập hợp con. Hiệu của hai tập hợp của X. Ký hiệu A\ B là tập hợp các phân tử x ∈ A và x ∉ B Vậy A\B = A ∩ B B\A = B ∩ A A ∪ B A\B B\A A B A B Chương 2. Ngộn ngữ Tập hợp Trương Mỹ Dung 18 2.3.5. Phân hoạch của một tập hợp . A 1 , A 2 , , A n là tập hợp con của một tập hợp con của một tập hợp X thoả các điều kiện : A 1 ∪ A 2 ∪ ∪ A n = X A i ∩ A j = ∅ nếu i ≠ j . Khi đó ta nói ( A 1 , A 2, , A n ) là một phân hoạch của X. Thí dụ . 1. X = {a, b, c, d, e} Ta có một phân hoạch của X: { (a,b), (c,d,e) } . Ngoài ra, cũng có các phân hoạch khác của X: {(b, c, e), (a), (d)} hay {(a), (b), (c), (d), (e)}. 2. Một tập hợp vô hạn cũng có thể phân hoạch được. Với X=Z Ta có thể phân loại các số nguyên theo các số dư khi chia số đó cho 3. Ta được phân hoạch của Z gồm 3 lớp Z 0 = { x ∈ Z: x = 3k, k ∈ Z}, Z 1 = { x ∈ Z: x = 3k +1, k ∈ Z}, Z 2 = { x ∈ Z: x = 3k +2, k ∈ Z}. 2.4. Số phân tử của các tập hợp hữu hạn. - Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn, tách (phân biệt) thì Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) - Nếu A và B là hai tập hợp bất kỳ thì : Card(A ∪ B) = Card (A) + Card (B) - Card (A ∩ B) Thí dụ 1 . A, B, C là các tập hợp hữu hạn. Tìm công thức cho biết số phân tử của tập hợp A ∪ B ∪ C Giải . Ta viết : A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C Vậy: Card(A∪B∪C) = Card((A∪B) ∪ C) = Card(A∪B)+Card(C)-Card (A∪B) ∩C) = Card(A)+Card(B)-Card(A∩B)+Card(C) -Card((A∩C)∪(B∩C)) = Card(A)+Card(B)+ Card(C) -Card(A ∩ B) - Card(A ∩ C) - Card(B ∩ C) + Card(A∩B∩C). Thí dụ 2 . Khảo sát 100 sinh viên người ta nhận thấy số sinh viên học các ngoại ngữ Anh , Pháp, Đức được phân bổ như sau: 42 sinh viên học tiếng Pháp 10 sinh viên học tiếng Anh và Pháp 30 sinh viên học tiếng Đức 05 sinh viên học tiếng Đức và Pháp 28 sinh viên học tiếng Anh 03 sinh viên học 3 thứ tiếng . Chương 2. Ngộn ngữ Tập hợp Trương Mỹ Dung 19 08 sinh viên học tiếng Anh và Đức a. Có bao nhiêu sinh viên không học ngoại ngữ nào? b. Có bao nhiêu sinh viên chỉ học một ngoại ngữ duy nhất? Giải . a. Số SV có học ngoại ngữ là Card(A∪B∪Đ)= 28+42+30-8-5+3 = 80 Vậy số SV không học ngoại ngữ nào là 100 - 80 = 20 b. Số SV chỉ học duy nhất tiếng Anh = 28 - 8 - (10 - 3) = 13 Pháp = 42 - 5 - (10 - 3) = 30 Đức = 30 - 8 - (5 - 3) = 20 3 5 10 8 Đ(30) A (28) P (42) X . Q, R, là các tập hợp vô hạn. Tập hợp đưọc biểu diễn bằng sơ đồ VENN: Tập hợp không có phân tử nào gọi là tập hợp rỗng (∅). 2.2 . Tập hợp con. A là tập hợp con của một tập hợp X nếu một. Chương 2. Ngộn ngữ Tập hợp Trương Mỹ Dung 15 2. NGÔN NGỮ TẬP HP. 2 1 . Khái niệm về tập hợp và phân tử. Tập hợp và phân tử là các từ nguyên thủy. A B Chương 2. Ngộn ngữ Tập hợp Trương Mỹ Dung 18 2.3.5. Phân hoạch của một tập hợp . A 1 , A 2 , , A n là tập hợp con của một tập hợp con của một tập hợp X thoả các điều kiện :