Chương 1: Ngôn ngữ Logic ppt

Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 4 1. NGÔN NGỮ LOGIC. 1.1. Mệnh đề - Bảng chân trò. 1.1.1. Đònh nghóa. Một Mệnh đề là một câu phát biểu (đối tượng Toán học) mà ta có thể nói ngay rằng câu đó đúng hoặc sai. Thí dụ . “8 là một số chẳn” là một Mệnh đề đúng. “3 < 2 “ là một Mệnh đề sai. “x là một số nguyên, x<10” không phải là Mệnh đề. “Anh có khỏe không” không phải là Mệnh đề. Hai mệnh đề p và q được gọi là tương đồng nếu chúng cùng ĐÚNG hoặc cùng SAI, ký hiệu p = q. 1.1.2. Bảng chân trò. Để biểu diễn giá trò ĐÚNG hoặc SAI của một mệnh đề p người ta dùng Bảng chân trò. p T F Hoặc p 0 1 Các ký hiệu: T,1 chỉ giá trò ĐÚNG, F, 0 chỉ giá trò SAI. Nếu cần phải xét hai mệnh đề p và q cùng lúc thì ta có bảng chân trò với 4 trường hợp. p q 0 0 0 1 1 0 1 1 Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 5 Tổng quát nếu có n mệnh đề cần xét cùng lúc thì bảng chân trò gồm 2 n trường hợp. 1.2. Phủ đònh của một Mệnh đề. Phủ đònh của Mệnh đề p là một mệnh đề, ký hiệu p có giá trò SAI nếu p ĐÚNG và có giá trò ĐÚNG nếu p SAI. Thí dụ. Nếu p : “2 + 2 = 4” thì phủ đònh của p là mệnh đề p :” 2 + 2 ≠ 4”. p p 1 0 1 0 1.3. Các phép nối logic. Các mệnh đề có thể được kết hợp lại để được một Mệnh đề hợp bằng cách sử dụng các phép nối logic. Các phép nối logic gồm có: q Phép nối liền (tuyển) (“và”). q Phép hợp (“hay”). q Phép kéo theo. q Phép tương đương. q Phép hợp có loại trừ. 1.3.1. Phép Nối liền (tuyển). Tuyển hai mệnh đề p và q ký hiệu p ∧ q (đọc là “p và q”) hoặc p.q chỉ có giá trò ĐÚNG khi cả hai cùng ĐÚNG. Bảng chân trò của p ∧ q như sau : p q p ∧ q 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 Thí dụ: p :”3 < 5”; q : “4 ≠ 2 + 2”. Ta có : p ∧ q :”3 < 5” và “4 ≠ 2 + 2” là Mệnh đề sai. 1.3.2. Phép hợp. Hợp của hai mệnh đề p và q là mệnh đề p∨q (đọc là “p hay q”) hoặc p+q, có giá trò ĐÚNG nếu ít nhất một trong hai mệnh đề trên ĐÚNG và có giá trò SAI nếu cả hai cùng SAI. Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 6 Bảng chân trò của p ∨ q như sau : P p q p ∨ q 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 Thí dụ: p :”3 < 5”; q : “4 ≠ 2 + 2”. Ta có : p∨q :”3 < 5” và q : “4 ≠ 2 + 2” là Mệnh đề ĐÚNG. 1.3.3. Các tính chất của phép tuyển, phép hợp. a. Lũy đẳng p ∧ p = p p ∨ p = p Đối xứng p ∧ q = q ∧ p p ∨ q = q ∨ p Kết hợp p ∧ (q∧ r) = (p∧q)∧ r p ∨(q ∨ r)= (p∨ q) ∨r p ∧ p = ∅ p ∨ p = I p ∧ I = p p ∨ I = I p ∧ ∅ = ∅ p ∨ ∅ = p ∅ ký hiệu mệnh đề luôn luôn có giá trò SAI gọi là NGHỊCH ĐỀ. I ký hiệu mệnh đề luôn luôn có giá trò ĐÚNG gọi là CHÂN ĐỀ. b. Tính phân phối. p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ q). p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ q). c. Qui luật DE MORGAN. (p∧q) = p ∨ q (p∨q) = p ∧ q Chú ý. Tập hợp các mệnh đề với các phép nối ∧, ∨ và phép phủ đònh thỏa các tính chất nêu trên gọi là một hệ đại số BOOLE. 1.3.4. Phép kéo theo logic. Phép kéo theo logic của mệnh đề p và mệnh đề q ký hiệu p ⇒ q (đọc là “nếu p thì q”) chỉ SAI khi p ĐÚNG và q SAI. Bảng chân trò của p ⇒ q như sau : p q p⇒q 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 7 Thí dụ: ”3 < 5” ⇒ “3 < 7” là Mệnh đề ĐÚNG. “4:số nguyên tố”⇒ø “TP.HCM là thủ đô của VN” là Mệnh đề ĐÚNG. “5:số nguyên tố” và “TP.HCM là thủ đô của VN” là Mệnh đề SAI. Chú ý. a. Phép kéo theo logic không có ý nghóa gì về nguyên nhân và hậu quả đối với p và q. b. Nếu (p ⇒ q) ĐÚNG và p ĐÚNG thì q phải ĐÚNG. Nếu (p ⇒ q) ĐÚNG và q SAI thì p phải SAI. c. Nếu p ĐÚNG, muốn chứng minh (p ⇒ q) ĐÚNG thì ta phải chứng minh q ĐÚNG. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP KÉO THEO LOGIC . (p⇒ p) = I (p ⇒q) = (q ⇒ p) [(p⇒q) và (q⇒r)] ⇒ (p⇒r) là một chân đề. (p⇒q) = (p ∨ q). 1.3.5. Phép tương đương Logic. Phép tương đương của hai mệnh đề p và q là mệnh đề ký hiệu p⇔q (đọc là “p tương đương q” hoặc “p nếu và chỉ nếu q” xác đònh bởi (p⇒q) và (q⇒p). Bảng chân trò của p ⇔ q như sau : p q p⇒q q ⇒ p p⇔q 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Như vậy: + Nếu p = q thì (p ⇔q) ĐÚNG và ngược lại. + Nếu (p ⇔ q) ĐÚNG thì p = q. Tính chất: + p ⇔ p là một chân đề. + p ⇔ q = q ⇔ p + (p⇔q) và (q⇔r) ⇒ (p⇔r) là một chân đề. 1.3.6. Phép hợp có loại trừ. Ta gọi phép hợp có loại trừ của hai mệnh đề p và q là mệnh đề p⊕q (đọc là “p chỉ hoặc q”) có giá trò ĐÚNG nếu chỉ một trong hai mệnh đề đó ĐÚNG và có giá trò sai nếu cả hai cùng SAI hoặc cùng ĐÚNG. Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 8 Bảng chân trò của p ⊕ q như sau : p P p q p ⊕ q 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Tính chất: p⊕p = I p⊕q = q⊕p p⊕q = p⊕q = (p⊕q) = (p⇔q). p⊕(q⊕r) = (p⊕q)⊕r = p⊕q⊕r. 1.4. Xác đònh một mệnh đề hợp có bảng chân trò cho trước. Giả sử ta có hai mệnh đề p, q cho sẳn. Ta muốn tìm một mệnh đề R do p, q (và cả p, q) hợp thành bằng các từ nối ∨, ∧ sao cho giá trò ĐÚNG, SAI của R được cho bởi bảng: p P p q R 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Phương Pháp . 1. Chú ý trường hợp R có giá trò ĐÚNG (hàng 2 và 3). 2. Trong mỗi trường hợp ở bước 1, ta tìm Mệnh đề (M.Đ) Tuyển ĐÚNG trong mỗi trường hợp đó và SAI trong các trường hợp khác. Hàng 2 cho M.Đ tuyển p ∧ q. Hàng 3 cho M.Đ tuyển p ∧ q. 3. Hợp các mệnh đề tuyển ở Bước 2, ta được mệnh đề R phải tìm là: R = (p ∧q) ∨ (p ∧ q) Để kiểm tra lại, ta lập bảng chân trò: p q p q p ∧q p∧ q (p∧q)∨ (p∧q) 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 Thí dụ . Một người tù bò giam được cho một cơ hội để thoát. Phòng giam có hai cửa: Một cửa thoát và một cửa dẫn đến chuồng cọp. Mỗi cửa có một người canh, nhưng người này chỉ trả lời câu hỏi bằng ĐÚNG hay SAI. Một trong hai người đó thì luôn luôn nói thật, và người kia thì luôn luôn nói dối. Người tù không biết ai là người nói thật, cửa nào là cửa thoát và anh chỉ đươc phép đặt một câu hỏi. Vậy anh phải đặt câu hỏi như thế nào để thoát ra được? Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 9 Giải . Ta xét hai mệnh đề sau: p: “Cửa Anh giữ là cửa ra” q:”Anh là người nói thật”. Như vậy có 4 tình huống tóm tắt trong bảng sau: p q 1 1 0 0 1 0 1 0 Ta muốn rằng khi chọn một trong hai cửa và đặt câu hỏi cho người giữ cửa: q Nếu trả lời ĐÚNG theo cửa đó ra. q Nếu trả lời SAI thì ra cửa kia. Gọi R là mệnh đề hợp từ p và q muốn tìm. Câu trả lời và giá trò của R trong mỗi trường hợp sẽ như hình sau đây: Ppp p q Trả lời R 1 1 0 0 1 0 1 0 ĐÚNG SAI SAI ĐÚNG 1 0 0 1 Như vậy mệnh đề R phải tìm có dạng R = (p∧q) ∨ (p∧q) và được phát biểu như sau: “Cửa anh giữ là cửa ra và anh nói thật” Hay “Cửa anh giữ không phải là cửa ra và anh nói dối”. Căn cứ trên bảng chân trò trên ta thấy R ĐÚNG khi p và q cùng ĐÚNG hoặc cùng SAI, do đó cũng có thể viết R = (p ⇔ q) và được phát biểu như sau: “Cửa anh giữ là cửa ra nếu và chỉ nếu anh nói thật”. 1.5. Ứng dụng của ngôn ngữ logic. 1.5.1. Phép suy luận đúng. Một phép suy luận là một câu phát biểu trong đó một mệnh đề q được suy từ các mệnh đề p 1 , p 2, …, p n. Các mệnh đề p 1 , p 2, …, p n gọi là giả thiết, Mệnh đề q gọi là kết luận. Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 10 Phép suy luận được ký hiệu: p 1 p 2 Ký hiệu KL đọc là “vậy”, “do đó”, “suy ra” . p n KL q Một phép suy luận trên gọi là ĐÚNG nếu mệnh đề: (p 1 , p 2, …, p n ⇒ q) là một chân đề. Thí dụ 1 . Ta xem suy luận sau: Nếu bạn trúng số thì bạn sẽ giàu có Nếu bạn giàu có thì bạn sẽ hạnh phúc. KL Nếu bạn trúng số thì bạn có hạnh phúc. Suy luận trên có dạng: p ⇒ q q ⇒ r KL p ⇒ r Mà ta biết mệnh đề: {(p ⇒ q) ∧(q ⇒ r)} ⇒ (p ⇒ r) là một chân đề. Vậy suy luận trên là suy luận đúng. Thí dụ 2 . Ta xem suy luận sau: Hút thuốc có lợi cho sức khỏe Nếu Hút thuốc có lợi cho sức khỏe thì thầy thuốc khuyên nên hút thuốc. KL Thầy thuốc khuyên nên hút thuốc. Suy luận trên có dạng: p p ⇒ q KL q Suy luận trên là một suy luận đúng vì mệnh đề: {p ∧(p ⇒ q)} ⇒ q là một chân đề. Vậy suy luận trên là suy luận đúng, mặc dù kết luận sai. Thí dụ 3 . Suy luận sau đây có đúng không? Nếu thuế giảm thì lợi tức tăng Lợi tức tăng . KL Thuế giảm. Suy luận trên có dạng: p ⇒ q q . KL p Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 11 Lập bảng chân trò mệnh đề trên và {(p ⇒ q) ∧q} ⇒ p. p q p⇒q (p⇒q)∧q {(p⇒q)∧q}⇒ p 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 Vậy suy luận trên không đúng. 1.5.2. Mạch (Đóng/ mở) Điện. A L Một nút ngắt có thể được biểu diễn bằng một mệnh đề và ngược lại. Sự tương ứng 1-1 như vậy được áp dụng để thiết kế các mạch điện mở trong mạch điện mở trong mạch điện cũng như trong điện thoại. Các phép nối logic AND, OR, NOT được biểu diễn bằng các mạch đóng mở như sau: AND • • • • • • A B • • OR A B • • A‘ A NOT Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 12 Thí dụ 1. Thiết kế một mạch đóng mở có 2 công tắc để điều khiển một bóng đèn. Giả sử P và Q được thiết kế : Các công tắc P và Q được biểu diễn bằng các mệnh đề : p : nút P ở vò trí 1 ‘’ q : nút Q ở vò trí 1 ‘’ Ta sẽ tìm mệnh đề S sao cho bảng chân trò của S cho bởi : Theo phương pháp ở đoạn 4 ta tìm được S : S = (p∧q) ∨(p∧q). Mạch điện đươc thiết kế như sau: Thí dụ 2: Ba người bạn A, B, C cùng biểu quyết mua một món quà giá trò 80000, A có 5000 đ, B có 4000 đ và C có 3000 đ. Mỗi người sẽ biểu quyết có hoặc không. Biểu quyết có sẽ đóng số tiền mình có. Nếu tổng số tiền đạt được trong cuộc biểu quyết bằng hay vượt 8000 đ thì họ sẽ mua món quà đó. Hãy tìm một mệnh đề cho biết trong trường hợp • • • • • • • • Sáng Sáng Tối Tối 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 P P P P Q Q Q Q p q S 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 • • • • • • Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 13 A B C S 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 nào thì biểu quyết thành công. Nếu cuộc biểu quyết được thực hiện bằng cách mỗi người ấn một nút điện nếu đồng ý, thì mạch điện sẽ đựơc thiết kế như thế nào? Ta có bảng các trường hợp của cuộc biểu quyết có thể xảy ra như sau: Như vậy mệnh đề S sẽ là: S= (A∧B∧C) ∨ (A∧B∧C) ∨ (A∧B∧C) Mệnh đề S có thể được rút gọn: S=(A∧B∧C) ∨ (A∧B∧C) ∨ (A∧B∧C) ∨ (A∧B∧C) = [A ∧C ∧(B ∨ B) ] ∨ [A ∧ B ∧(C ∨ C)] = (A∧ C ) ∨ (A ∧B) S= A ∧ (C ∨ B) Vậy cuộc biểu quyết sẽ thành công nếu A biểu quyết có và B hay C biểu quyết có . 1.5.3 Mạch logic (Logic Circuits). Thí dụ 1 – Thiết kế mạch logic để so sánh 2 bít với nhau - Nếu 2 bit giống nhau kết quả là 0. - Nếu 2 bit khác nhau kết quả là 1. Ta có bảng chân trò cho mạch so sánh 2 bit : Vào Ra A B K 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 OR AND A A ∩ B P ∪ Q P NOT Như vậy K = (A. B) + (A. B) B [...].. .Chương 1 Ngôn ngữ Logic Và mạch logic thực hiện việc so sánh như sau: A B A B • A B + A B Comparator A  B B B Thí dụ 2 Mạch logic để thực hiện phép cộng và nhân 2 bit Ta có bảng cộng và nhân như sau : Vào A 0 0 1 1 Ra B 0 1 0 1 S 0 1 1 0 P 0 0 0 1 Như vậy S = A B + A B P= A.B Mạch logic để thực hiện phép cộng và nhân như sau : A B A B . Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 4 1. NGÔN NGỮ LOGIC. 1.1. Mệnh đề - Bảng chân trò. 1.1.1. Đònh nghóa. Một Mệnh. Như vậy K = (A. B) + (A. B) B Chương 1. Ngôn ngữ Logic Trương Mỹ Dung 14 Và mạch logic thực hiện việc so sánh như sau: Thí dụ 2. Mạch logic để thực hiện phép cộng và. nối logic AND, OR, NOT được biểu diễn bằng các mạch đóng mở như sau: AND • • • • • • A B • • OR A B • • A‘ A NOT Chương 1. Ngôn ngữ Logic