Cách 2: Chọn n = 15. V 15 = a. = 2.500.000 x = 43.233.542 Kỳ khoản 15, ông ta phải gửi vào tài khoản một số tiền là: a 15 = a - (V 15 – V n ) = 2.500.000 - (43.233.542 - 42.000.000) a 15 = 1.266.458 Cách 3: Chọn n = 14. V 14 = 39.934.845 Để đạt được số tiền là 42.000.000 VND, ông ta để V 14 trên tài khoản một thời gian x: x = = = 2,546 quý = 7 tháng 19 ngày. 4.2.3. Chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kỳ Xét một chuỗi tiền tệ gồm các khoản tiền bằng nhau a phát sinh vào đầu mỗi kỳ trong suốt n kỳ. Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ là i. Chuỗi tiền tệ này được gọi là chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kỳ. 4.2.3.1.Giá trị hiện tại Đồ thị biểu diễn V 0 ’: Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ Chọn thời điểm t = 0 làm thời điểm so sánh, ta có: V 0 ’ = a + + +…+ + V o ’ là tổng của một cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu tiên là và công bội là (1+i). V 0 ’ = . V 0 ’ = a (1+i). Ví dụ: Lấy lại ví dụ ở trên về việc một người mua một cái bàn ủi bằng cách trả góp. Thay vì trả vào cuối mỗi tháng, ông trả tiền vào đầu mỗi tháng. Trường hợp này, người đó đã mua cái bàn ủi với giá bao nhiêu? i = i (12) /12 = 9,6%/12 = 0,8% V 0 ’ = 1.000.000 x (1 + 0,008) x = 11.489.803 VND 4.2.3.2.Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai) Đồ thị biểu diễn V n ’: Giá trị tích luỹ (tương lai) của chuỗi tiền tệ V n ’ = a(1+i) + a(1+i) 2 + …+ a(1+i) n-1 + a(1+i) n Vế phải là dạng tổng của một cấp số nhân n số hạng với số hạng đầu tiên là a(1+i), công bội là (1+i) V n ’ = a(1+i). V n ’ = a(1+i). Ví dụ: Để thành lập một số vốn, một doanh nghiệp gửi vào một tài khoản đầu mỗi năm một số tiền không đổi là 10 triệu VND. Cho biết số tiền trong tài khoản này vào lúc doanh nghiệp ký gởi tiền lần thứ 6, nếu lãi suất là 8,5%/năm. V 6 = 10.000.000 x = 74.290.295 VND V 6 ’ = 10.000.000 x (1+0,085). = 80.604.970 VND Tiết 4, 5, 6 : 4.3. Chuỗi tiền tệ tổng quát Ở phần trên, ta chỉ tìm hiểu các chuỗi tiền tệ đơn giản. Đó là các chuỗi tiền tệ đều với lãi suất áp dụng trong mỗi kỳ là như nhau và kỳ phát sinh trùng với kỳ vốn hoá. Trong phần này, các chuỗi tiền tệ tổng quát hơn sẽ được giới thiệu : - Chuỗi tiền tệ với lãi suất áp dụng ở mỗi kỳ không giống nhau. - Chuỗi tiền tệ với kỳ phát sinh không trùng với kỳ vốn hoá. - Chuỗi tiền tệ phát sinh có quy luật (biến đổi theo cấp số nhân hoặc cấp số cộng). 4.3.1. Chuỗi tiền tệ với lãi suất áp dụng ở mỗi kỳ không giống nhau Giả sử có một chuỗi tiền tệ gồm n kỳ với số tiền phát sinh là a 1 , a 2 , … , a n tương ứng vào cuối kỳ thứ 1, 2, …, n Lãi suất áp dụng trong kỳ thứ k là i k . Đối với trường hợp này, có hai tình huống nảy sinh: 4.3.1.1.Tình huống 1: i k của kỳ thứ k sẽ được áp dụng cho tất cả các khoản tiền phát sinh tại bất cứ kỳ nào. Khi đó, giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ này sẽ là : V 0 = + + + … + Giá trị tương lai : V n = a 1 (1+i 2 )(1+i 3 )(1+i 4 )…(1+i n ) + a 2 (1+i 3 )(1+i 4 )…(1+i n ) + a 3 (1+i 4 )…(1+i n ) + … + a n 4.3.1.2.Tình huống 2: i k của kỳ thứ k sẽ được áp dụng cho duy nhất khoản tiền phát sinh tại kỳ đó. Khi đó, giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ này sẽ là : Giá trị tương lai : V n = a 1 (1+i) n-1 + a 2 (1+i) n-2 + + a 3 (1+i) n-3 + … + a n 4.3.2. Chuỗi tiền tệ với kỳ phát sinh không trùng với kỳ vốn hoá Giả sử một chuỗi tiền tệ có số tiền phát sinh vào cuối mỗi quý nhưng kỳ vốn hoá lại cuối mỗi tháng. Trong trường hợp này, ta sẽ tính lãi suất tương ứng với lãi suất đã cho sao cho kỳ vốn hoá của lãi suất mới trùng với kỳ phát sinh. Ví dụ : A muốn có một số tiền là 40.000.000 VND bằng cách gửi vào ngân hàng cuối mỗi 6 tháng một khoản tiền bằng nhau là a trong 5 năm. Lãi suất danh nghĩa của ngân hàng là i (12) = 8,4%, vốn hoá cuối mỗi tháng. Xác định số tiền a. Để xác định lãi suất áp dụng với mỗi 6 tháng tương ứng với i (12) , trước hết, ta xác định lãi suất danh nghĩa i (2) vốn hóa mỗi 6 tháng. Ta có : Lãi suất áp dụng đối với mỗi 6 tháng của chuỗi tiền tệ: Phương trình giá trị: Ví dụ : B vay một khoản tiền là 50.000.000 VND và phải trả vào cuối mỗi quý một khoản tiền bằng nhau trong 2 năm. Nếu lãi suất của khoản vay là lãi suất danh nghĩa i (2) = 8% vốn hoá mỗi 6 tháng thì số tiền mà B phải trả cuối mỗi quý là bao nhiêu? Tương tự như ví dụ trên, ta sẽ xác định lãi suất danh nghĩa i (4) vốn hoá cuối mỗi quý. Lãi suất áp dụng đối với mỗi quý của chuỗi tiền tệ là : Phương trình giá trị sẽ là : Như vậy, đối với chuỗi tiền tệ có kỳ phát sinh không trùng với kỳ vốn hoá : số kỳ phát sinh là n kỳ/năm trong khi lãi suất lại vốn hoá m kỳ/năm i (m) , m ≠ n. Trước hết, ta tính lãi suất vốn hoá n kỳ/năm i (n) tương ứng với lãi suất đã cho i (m) bằng công thức sau : Khi đó, lãi suất áp dụng với mỗi kỳ của chuỗi tiền tệ sẽ là : 4.3.3. Chuỗi tiền tệ phát sinh có quy luật 4.3.3.1.Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng Xét một chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng có giá trị của kỳ khoản đầu tiên là a, công sai là r, số kỳ phát sinh là n và lãi suất áp dụng trong mỗi kỳ là i. Ở đây, ta cũng đặt giá thiết là kỳ phát sinh trùng với kỳ vốn hoá. . với giá bao nhiêu? i = i (12) /12 = 9,6%/12 = 0,8% V 0 ’ = 1.000.000 x (1 + 0,008) x = 11.489.803 VND 4.2.3.2 .Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai) Đồ thị biểu diễn V n ’: Giá trị tích. mỗi kỳ trong suốt n kỳ. Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ là i. Chuỗi tiền tệ này được gọi là chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kỳ. 4.2.3.1 .Giá trị hiện tại Đồ thị biểu diễn V 0 ’: Giá trị hiện. thành lập một số vốn, một doanh nghiệp gửi vào một tài khoản đầu mỗi năm một số tiền không đổi là 10 triệu VND. Cho biết số tiền trong tài khoản này vào lúc doanh nghiệp ký gởi tiền lần thứ