ĐO LƯờNG NHIệT CHƯƠNG 1 - 16 - Gọi y là cơ hội xuất hiện sai số ngẫu nhiên có trị số là thì ta có đờng cong phân bố của sai số ngẫu nhiên nh hình vẽ ( đờng phân bố Gauss). y = 2 2 2 . 2 1 e Trong đó : e - là cơ số logarit - là sai số ngẫu nhiên = () n n i i =1 2 - là sai số trung bình bình phơng của sai số n - là số lần đo Từ rất nhiều thử nghiệm tơng tự mang tính chất ngẫu nhiên ngời ta cũng đợc kết quả tơng tự nh trên, chúng hoàn toàn phù hợp với các tiên đề của lý thuyết xác suất dùng làm cơ sở lý luận để tính toán sai số ngẫu nhiên. + Tiên đề về tính ngẫu nhiên : Khi tiến hành một phép đo với số lần n rất lớn thì cơ hội xuất hiện sai số ngẫu nhiên có trị số đối nhau là nh nhau. + Tiên đề về tính phân bố : Khi tiến hành một phép đo với số lần n rất lớn thì cơ hội xuất hiện sai số ngẫu nhiên có trị số tuyệt đối nhỏ nhiều hơn là cơ hội xuất hiện sai số ngẫu nhiên có trị số tuyệt đối lớn. Cơ hội xuất hiện sai số ngẫu nhiên có trị số tuyệt đối quá lớn là rất hiếm hoặc bằng không. Vậy trong khi đo lờng phép đo nào mà sai số không phù hợp với 2 tiên đề trên thì chắc chắn là sai số trong phép đo đó không chỉ hoàn toàn do nguyên nhân y 0 1 2 2 1 1 2 1 2 . ĐO LƯờNG NHIệT CHƯƠNG 1 - 17 - ngẫu nhiên gây ra mà còn chịu ảnh hởng của sai số hệ thống và sai số nhầm lẫn. b- Sai số của dãy số đo: Với hàm phân bố chuẩn của sai số ngẫu nhiên y = 2 2 2 . 2 1 e Nếu càng nhỏ thì sai số nhỏ càng dễ xuất hiện, tức là độ chính xác của phép đo càng lớn. Vậy với số lần đo n rất lớn ( n -> ) thì = () n n i i =1 2 (với i = x i - X ) là sai số trung bình bình phơng và đặc trng cho độ chính xác của dãy số đo. Trong thực tế n là hữu hạn nên ta không thể tìm đợc X mà ta lấy giá trị trung bình toán của các số đo L = = n i i x n 1 1 thay cho X và lúc này ta có sai số d = x i - L và ta tính gần đúng sai số trung bình bình phơng của dãy số đo đợc là : = () n n i i =1 2 (với n là hữu hạn) nó đặc trng cho độ chính xác của dãy số đo. Ngoài sai số ngời ta còn dùng sai số ngẫu nhiên , sai số trung bình toán và sai số giới hạn lim những sai số đó đều thuộc loại sai số ngẫu nhiên của dãy số đo thu đợc. Định nghĩa của các sai số đó nh sau: + Nếu P (- , + ) = 1/2 thì gọi là sai số ngẫu nhiên của dãy số biến đổi và tra bảng tích phân xác suất ta đợc = 2/3 . + = = n i i n 1 1 biến đổi và tính toán ta đợc = 4/5. Tra ngợc lại bảng ta có P (- ,+ ) = 58%. + Sai số giới hạn lim là sai số có trị số đủ lớn sao cho trong thực tế hầu nh không có sai số ngẫu nhiên nào trong phép đo có trị số lớn hơn lim . Ngời ta thờng dùng lim = 3 lúc này P (- lim ,+ lim ) = 99,7%. Có khi ta dùng lim = 2 . ( . ĐO LƯờNG NHIệT CHƯƠNG 1 - 18 - c- Sai số của kết quả đo lờng: Theo trên từ L = = n i i x n 1 1 => nL = = n i i x 1 do đó ta có = n i i 1 = = n i i Xx 1 )( = nL - nX => L - X = = n i i n 1 1 . L là trị số dùng làm kết qủa đo lờng nên cũng gọi = L - X là sai số ngẫu nhiên của kết quả đo lờng. Vậy = = n i i n 1 1 vì các i có trị số trái dấu nên = n i i 1 có thể rất nhỏ mặc dầu dãy số đo đợc không có độ chính xác cao. Muốn đánh giá đợc mức độ chính xác của dãy số đo đợc thì tiêu chuẩn đánh giá cần phải ảnh hởng đợc mức độ lớn nhỏ của i .Vì vậy ngời ta chọn tiêu chuẩn so sánh là S = 2 biến đổi và tính ra đợc S = n và gọi S là sai số trung bình bình phơng của kết quả đo lờng. Ngoài S để đánh giá độ chính xác của kết quả đo lờng ngời ta còn có thể dùng một trong các loại sai số sau : R = n - Sai số ngẫu nhiên của kết quả đo lờng . => X = L R T = n - Sai số trung bình toán của kết quả đo lờng. => X = L T lim = 3S - Sai số giới hạn của kết quả đo lờng. => X = L lim Chú ý: - Bản thân các sai số S, R, T cũng có sai số nên trong các phép đo tinh vi nhất ( phép đo mà /L < 0,1% ) thì chúng ta cần phải xét đến. Sai số của S, R, T cũng gồm 3 loại nh trên tức là ứng với R thì có r R , s R , t R . - lim - - - 0 lim . ĐO LƯờNG NHIệT CHƯƠNG 1 - 19 - Lúc này ta có thể viết X = L ( R r R ) . Tơng tự cũng với S và T. - Trong trờng hợp phép đo không thể thực hiện đợc với điều kiện đo lờng nh nhau thì độ chính xác của mỗi số đo không nh nhau, vì vậy cần xét đến mức độ tin cậy của các số đo thu đợc. Số dùng biểu thị mức độ tin cậy đó gọi là trọng độ p, và ta dùng trị trung bình cộng trọng độ. L o = = = n i i n i ii p px 1 1 và () = = = n i i n i ii p p 1 1 2 với 0 Lx ii = . 1.3.3. Tính sai số ngẫu nhiên trong phép đo gián tiếp Theo định nghĩa của phép đo gián tiếp ta có : y = f ( x 1 , x 2 , x n ). Vì các tham số x 1 , x 2 , x n đợc xác định bằng phép đo trực tiếp nên ta sẽ thu đợc x i = L i i i - là sai số tuyệt đối. Từ các trị số đã thu đợc ta có thể tính toán (lấy vi phân rồi bình phơng 2 vế và bỏ qua bậc cao) để xác định đợc y là lợng cha biết của phép đo gián tiếp và viết đợc : y i = L y y Với = = m i i i y x y 1 2 2 ; ( ) LfLL L ym = 12 , , , Nh vậy ta dùng đạo hàm riêng và các sai số i của các dãy số đo mà ta tính đợc y của dãy số đo tơng ứng của tham số đo gián tiếp. Biết đợc y ta sẽ tính đợc các loại sai số khác theo quan hệ giữa các sai số mà ta đã biết trong phép đo trực tiếp. Ví dụ: S y = n y ở đây n là số lần đo của phép đo trực tiếp dùng đo các tham số x i để xác định tham số đo gián tiếp y. Một số trờng hợp cụ thể thờng gặp trong phép đo gián tiếp : + Trờng hợp : y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a m x m Trong đó các tham số a i là các hệ số cố định của các tham số đo trực tiếp x 1 , x 2 , x m . áp dụng cách tính toán ta đợc công thức tính sai số tuyóỷt đối : y = 2 1 2 i n i i a = và L y = = n i ii La 1 Sai số tơng đối : oy = y y ta thờng dùng oy = y y L + Trờng hợp : y = m a m aa xxkx 21 21 . k - là hệ số cố định . ĐO LƯờNG NHIệT CHƯƠNG 1 - 20 - còn các a i là các hằng số. Ta có sai số tơng đối : oy = aa a mm1 2 01 2 2 2 02 22 0 2 +++ . L y = k. LL L aa m a m 12 12 . . i i i x = 0 . Và y = L y . oy Một số ví dụ: Ví dụ 1: Một hình vuông có cạnh là 5,00 0,05m. Hãy tính sai số gây nên do các cạnh đối với diện tích hình vuông ? Giải : a- Gọi cạnh hình vuông là x thì diện tích hình vuông sẽ là y = x 2 Ta biết rằng oy = 22 1 . ox a = 2 2 00,5 05,0 2 = 0,02 L y = 5,00 x 5,00 = 25,0000 m 2 y = 0,02 . 25 m 2 = 0,5 m 2 Vậy trị số đúng của y là y = 25 0,5 m 2 . b- Ta cũng có thể tính sai số tuyệt đối trớc rồi tìm sai số tơng đối vì y = x 2 nên theo định nghĩa y = 2 2 x x y => xx x y y x .2== y = 2 x 5,00 x 5,00 = 25m 2 ; L y = 5,00 x 5,00 = 25m 2 Vậy y = 25 0,5m 2 . Ta cũng đợc : oy = 25 5,0 = 0,02 = 2% Ví dụ 2 : Từ kết quả đo trực tiếp dòng điện I = 7,130 0,018 Ampe , U = 218,7 0,4 volt , t = 800,0 0,6 sec . Nếu xác định điện năng A bằng phơng pháp gián tiếp thì trị số của A là bao nhiêu ? Giải: Ta biết rằng A = U I t . Với kết quả đo gián tiếp trên ta tính đợc kết quả đo gián tiếp A là : L A = 7,13 x 218,7 x 800 = 12474,65 jun. Sai số tơng đối của kết quả đo gián tiếp là : oA = 0032,0 800 6,0 7,218 4,0 13,7 018,0 2 22 = + + . Sai số tuyệt đối của kết quả đo là : AA = 0 . LA = 0,0032 x 12474,65 = 39,9 jun Vậy A = 12470,00 39,9 jun. . . S y = n y ở đây n là số lần đo của phép đo trực tiếp dùng đo các tham số x i để xác định tham số đo gián tiếp y. Một số trờng hợp cụ thể thờng gặp trong phép đo gián tiếp : + Trờng hợp. sai số ngẫu nhiên trong phép đo gián tiếp Theo định nghĩa của phép đo gián tiếp ta có : y = f ( x 1 , x 2 , x n ). Vì các tham số x 1 , x 2 , x n đợc xác định bằng phép đo trực tiếp nên ta. dãy số đo mà ta tính đợc y của dãy số đo tơng ứng của tham số đo gián tiếp. Biết đợc y ta sẽ tính đợc các loại sai số khác theo quan hệ giữa các sai số mà ta đã biết trong phép đo trực