Bài tập Đại số đại cương

Trang 1

Bộ giáo dục và đào tạo

đại học huế trường đại học khoa học

Trang 2

B ` AI T ˆ A P CHU . O . NG I – NH ´ OM

1. Trên tâ.p ho p Q c´. ac sô´ h˜u.u tı’, xét phép toán ∗ xác d¯i.nh nhu sau:

∀a, b ∈ Q, a ∗ b = a + b + ab.

a) Q c`ung phép toán ∗ có pha’i là mô.t nhóm không? Ta.i sao?

b) Ch´u.ng minh Q \ {−1} cùng phép toán ∗ ta.o thành mô.t nhóm

2. Chú.ng minh tâ.p ho p G = {(a, b) | a, b ∈ R, b 6= 0} c`. ung phép toán ký hiê.unhân

∀(a, b), (a0, b0) ∈ G, (a, b)(a0, b0) = (ab0 + a0, bb0)là mˆo.t nhóm và H = {(a, 1) | a ∈ R} là mô.t nhóm con cu’a G.

3. Cho G = R∗×R (vó.i R là tâ.p ho p c´. ac sô´ thu. c và R∗ = R \ {0}) và ∗ là phéptoán trˆen G x´ac d¯i.nh bo’ i:.

(x, y) ∗ (x0, y0) = (xx0, xy0+ y

x0).

a) Ch´u.ng minh r˘a`ng (G, ∗) là mô.t nhóm.

b) Ch´u.ng to’ r˘a`ng vó.i bâ´t k`y k ∈ R, tˆa.p ho p H. k = {(x, k(x − 1x)) | x ∈ R∗}là mˆo.t nhóm con giao hoán cu’a G.

c) H˜ay x´ac d¯i.nh tˆam Z(G) cu’a G.

4. Trên tâ.p ho p G = [0, 1) = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1}, x´. et phép toán ⊕ nhu sau:

∀x, y ∈ G, x ⊕ y = x + y − [x + y] (o.’ d¯ˆay [x + y] l`a phˆ` n nguyˆen cu’a x + y).a

a) Ch´u.ng minh (G, ⊕) l`a mˆo.t nh´om abel

b) Ch´u.ng minh r˘a`ng ´anh xa f : G −→ C∗ x´ac d¯i.nh bo’ i f (x) = cos 2πx +.

i sin 2πx, l`a mô.t d¯ô`ng câú nhóm, trong d¯ó C∗ là nhóm nhân các sô´ phú.c khác 0

5. Chú.ng minh r˘a`ng mô.t nhóm mà không có nhóm con thu c su là nhóm d¯o.n

vi ho˘a.c là nhóm cyclic có câ´p nguyên tô´

6. Cho G l`a mˆo.t nhóm và H là mô.t nhóm con chuâ’n t˘ać cu’a G sao cho H ⊂

7. Cho G l`a mˆo.t nhóm nhân và H là mô.t nhóm con cu’a G Chú.ng minh:

a) Nˆe´u [G : H] = 2 th`ı H / G.

b) Nˆe´u H / G v` a [G : H] = m th`ı am ∈ H, ∀a ∈ G.

Trang 3

8. Cho G l`a mˆo.t nhóm nhân, A và B là hai nhóm con cu’a G Ký hiê.u:

Chú.ng minh r˘a`ng AB là mô.t nhóm con cu’a G khi và chı’ khi AB = BA.

9. Cho G l`a mˆo.t nhóm, A, B, C là các nhóm con cu’a G Chú.ng minh:

a) A ∩ B l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.

b) A ∪ B l`a nh´om con cu’a G khi v` a chı’ khi A ⊂ B ho˘ a.c B ⊂ A.

c) Nˆe´u C ⊂ A ∪ B th`ı C ⊂ A ho˘ a.c C ⊂ B.

10. Cho G l`a mˆo.t nhóm nhân có t´ınh châ´t: ∀x ∈ G, x2 = 1, vó.i 1 là phˆ` n tu.a ’trung hoà cu’a nh´om G Ch´u.ng to’ r˘a`ng:

a) G l`a mˆo.t nh´om aben

b) Nˆeú G l`a nhóm h˜u.u ha.n th`ı tô`n ta.i sô´ tu nhiên n sao cho sô´ phâ` n tu.’ cu’anh´om G b˘a`ng 2n

11. Cho G l`a mˆo.t nhóm và A, B, C, K là các nhóm con cu’a G Chú.ng minhr˘a`ng:

a) Nˆeú A ⊂ C th`ı AB ∩ C = A(B ∩ C) (Lu.u ´y r˘a`ng AB không nhâ´t thiê´t

l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.)

b) Nˆe´u A ⊂ B, A ∩ K = B ∩ K v` a AK = BK th`ı A = B.

12. a) X´et tru.ò.ng Z13 các sô´ nguyên môd¯ulô 13 Hãy lâ.p ba’ng nhân cu’a Z13.Chú.ng to’ r˘a`ng Z∗

13 = Z13\ {0} là mô.t nhóm cyclic

b) X´et tru.ò.ng R các sô´ thu. c Khi d¯ó R∗ = R \ {0} c´o pha’i là mô.t nhómcyclic không?

13. Trong nhóm nhân C∗ các sô´ phú.c khác không, hãy xác d¯i.nh nhóm concyclic sinh bo.’ i phˆ` n tu.a ’ x ∈ C∗, trong d¯ó

a) x = −

√2

2 +

√2

14. Cho S3 là tâ.p ho p tˆ. a´t ca’ các hoán vi cu’a tâ.p ho p {1, 2, 3}..

a) H˜ay lˆa.p ba’ng nhân cu’a S3, ch´u.ng to’ S3 là mô.t nhóm

b) T`ım tˆa´t ca’ các nhóm con chuâ’n t˘ać cu’a S3

c) Cho G1 v`a G2 là hai nhóm có câ´p lˆ` n lu.o t là 24 và 30 Cho Ga 3 là nhómkhông giao hoán và là a’nh d¯ˆ`ng cô aú cu’a ca’ G1 v`a G2 Mô ta’ nh´om G3 (quaphép d¯˘a’ng câú)

15. Xét nhóm Q các sô´ h˜u.u tı’ vó.i phép cô.ng thông thu.ò.ng Chú.ng minh r˘a`ng:

Trang 4

a) H l`a nh´om con cu’a nh´om GL(2, Z7) c´o 14 phˆ` n tu.a ’

b) Mo.i phâ` n tu.’ cu’a H có thê’ viê´t d¯u.o. c duy nhâ´t du.´o.i da.ng AiBj, trong

17. Cho G l`a nhóm nhân d¯u.o. c sinh bo’ i hai phˆ. ` n tu.a ’ x v` a y v´o.i các quan hê.:

x3 = y2 = (xy)2 = 1.

a) X´ac d¯i.nh các phâ` n tu.’ cu’a nh´om G v`a lˆa.p ba’ng nhân cu’a G.

b) T`ım tˆa´t ca’ c´ac nh´om con cu’a nh´om G.

18. Cho G l`a nhóm vó.i phép nhân ma trâ.n, d¯u.o c sinh bo.’i hai ma trâ.n hê sô´thu. c A =

−1 0

v`a B =

0 1

1 0

a) X´ac d¯i.nh c´ac phˆa` n tu.’ cu’a nh´om G.

b) T`ım tˆa´t ca’ c´ac nh´om con cu’a G.

19. Cho G l`a mˆo.t nhóm nhân và n là mô.t sô´ nguyên du.o.ng sao cho

fn : G −→ G : x 7→ xn

là mô.t toàn câú nhóm Chú.ng minh r˘a`ng:

b) V´o.i n = 3, G l`a mˆo.t nh´om aben

20. Cho G l`a mˆo.t nhóm sao cho có mô.t sô´ nguyên n > 1 thoa’ mãn (xy)n =

+ là nhóm nhân gˆ`m có ac sô´ thu. c du.o.ng Chú.ng minh r˘a`ng

C∗/H d¯˘a’ng câú vó.i R∗+

Trang 5

b) Cho f : G −→ H l`a mˆo.t toàn câú nhóm, M là mô.t nhóm con chuâ’n t˘ać cu’a H , N = f−1(M ) Chú.ng minh r˘a`ng N là nhóm con chuâ’n t˘ać cu’a G và

22. Ch´u.ng minh r˘a`ng:

a) Nˆe´u G l`a nh´om cyclic th`ı Aut(G) l`a nh´om aben

b) Nˆe´u G l`a nh´om cyclic cˆa´p p nguyˆen tˆo´ th`ı Aut(G) l`a cyclic cˆa´p p − 1.

23. Cho f : G −→ K l`a mô.t d¯ô`ng câú nhóm Chú.ng minh r˘a`ng:

a) Nˆeú cˆa´p cu’a G l`a h˜u.u ha.n th`ı câ´p cu’a f (G) chia hê´t câ´p cu’a G.

b) Nˆeú H l`a nhóm con có chı’ sˆo´ n trong G, Kerf ⊂ H v` a f l`a toàn câú th`ı

24. Cho G l`a mˆo.t nhóm, Cg : G −→ G l`a ánh xa vó.i g ∈ G xác d¯i.nh bo.’i Cg(x) =

gxg−1 Go.i Aut(G) = {f : G −→ G | f là d¯˘a’ng câú } , Inn(G) = {Cg | g ∈ G}.

25. Cho G l`a mô.t nhóm, vó.i x, y ∈ G, ký hiê.u [x, y] = x−1y−1xy (go.i là giao

hoán tu.’ cu’a x v` a y) Go.i [G, G] là nhóm con cu’a G sinh ra bo’ i tˆ. a.p {[x, y] | x, y ∈

a) [G, G] l`a nhóm con chuâ’n t˘ać nho’ nhâ´t cu’a G sao cho G/[G, G] là aben.

b) [xy, z] = y−1[x, z]y[y, z], ∀x, y, z ∈ G;

c) Nˆe´u [G, G] ⊂ Z(G) (tˆ am cu’a G) th`ı v´ o.i a ∈ G, ´ anh xa f : G −→ G x´ac

d¯i.nh bo’ i f (x) = [x, a] l`. a mô.t d¯ô`ng cˆaú T`ım Ker(f ).

d) H˜ay xác d¯i.nh [S3, S3], trong d¯´o S3 là nhóm các hoán vi cu’a 3 sô´ 1, 2, 3và ch´u.ng minh S3/S30 ∼= Z2

26. Cho G l`a mˆo.t nhóm, a ∈ G là phâ` n tu.’ có câ´p h˜u.u ha.n n Chú.ng minhr˘a`ng vó.i mo.i sô´ nguyên du.o.ng m, câ´p cu’a phâ` n tu.’ am là

ord (am) = n

(m, n) ,

trong d¯´o (m, n) l`a u.´o.c chung l´o.n nhˆa´t cu’a m v` a n.

27. a) Cho G =< g > l`a nhóm cyclic câ´p 168 T`ım câ´p cu’a phˆ` n tu.a ’ g132

b) T`ım tˆa´t ca’ các phˆ` n tu.a ’ câ´p 14 cu’a nhóm cô.ng Z140 các sô´ nguyên môd¯ulô140

Trang 6

28. Cho C l`a mˆo.t nh´om cyclic sinh bo’ i phˆ. ` n tu.a ’ a Ch´u.ng minh r˘a`ng:

a) Nˆeú G l`a mˆo.t nhóm con cu’a C th`ı G c˜ung là mô.t nhóm cyclic.

b) Nˆeú C l`a nhóm h˜u.u ha.n và m là sô´ nguyên du o.ng u.ó.c cu’a |C| th`ı tô`n ta.i duy nhâ´t nhóm con G cu’a C sao cho |G| = m.

c) Nˆeú C l`a nhóm vˆo ha.n th`ı C có 2 phâ` n tu.’ sinh l`a a v` a a−1

d) Nˆe´u |C| = n th`ı am l`a phˆ` n tu.a ’ sinh cu’a C khi v` a chı’ khi m v` a n nguyˆen

tˆo´ c`ung nhau

29. Xét nhóm cô.ng Q các sô´ h˜u.u tı’ Chú.ng minh r˘a`ng ánh xa f : Q −→ Q là

d¯ˆ`ng cô aú nhóm khi và chı’ khi tˆ`n ta.i duy nhâ´t mô.t sô´ a ∈ Q sao cho f(x) =o

ax, ∀x ∈ Q.

30. Cho m v` a n l`a hai sô´ nguyên du.o.ng nguyên tô´ cùng nhau Chú.ng minh

d¯˘a’ng câú nhóm Zm ×Zn ∼= Zmn Tù d¯ó suy ra Z3 ×Z2 không d¯˘a’ng câú vó.inhóm d¯ôí x´u.ng S3

31. Cho G l`a mˆo.t nhóm, M và N là hai nhóm con chuâ’n t˘ać cu’a G sao cho

Chú.ng minh r˘a`ng (G, ∗) là mô.t nhóm không aben.

b) Trˆen tâ.p ho p R. 2 các c˘a.p sô´ thu c, x´. et phép toán ◦:

(x, y) ◦ (x0, y0) = (xx0 − yy0, yx0 + xy0)

33. Xét nhóm R các sô´ thu. c vó.i phép toán hai ngôi:

2 Ch´u.ng minh r˘a`ng f l`a

mô.t d¯˘a’ng câú tù nhóm (R, +) lên nhóm (R, ∗).

34. Ký hiˆe.u Un là nhóm nhân các phˆ` n tu.a ’ kha’ nghi.ch cu’a vành Zn các sôńguyên môd¯ulˆo n.

a) Lˆa.p ba’ng nhân cu’a U22 và chú.ng minh r˘a`ng U22 là mô.t nhóm cyclic

b) U24 có là nhóm cyclic không? V`ı sao?

Trang 7

35. Cho R l`a mô.t vành có d¯o.n vi 1 Trên R, xét phép toán ∗:

x ∗ y = x + y − xy.

K´y hiˆe.u R∗ = {x ∈ R | ∃y ∈ R, x ∗ y = y ∗ x = 0} Ch´u.ng minh r˘a`ng:

a) (R∗, ∗) l`a mˆo.t nh´om

b) R∗ ∼= U (R), v´ o.i U (R) l`a nhóm các phˆ` n tu.a ’ kha’ nghi.ch cu’a vành R.

36. Xét nhóm thay phiˆen A4 (nhóm con cu’a nhóm d¯ôí x´u.ng S4 gˆ`m có ac phépthê´ ch˘añ bâ.c 4)

a) Ch´u.ng to’ r˘a`ng nhóm A4 không có nhóm con câ´p 6

b) T`ım tˆa´t ca’ c´ac p-nh´ om con Sylow cu’a A4 v´o.i p = 2 v`a 3

37. Cho G l`a mô.t nhóm h˜u.u ha.n có câ´p là prm, v´ o.i r ≥ 1 v` a p 6 | m Chú.ngminh r˘a`ng:

a) Nˆeú P l`a mˆo.t p-nhóm con Sylow cu’a G và H là mô.t p-nhóm sao cho

P ⊂ H ⊂ G th`ı H = P

b) Nˆe´u G chı’ c´ o p-nh´om con Sylow duy nhˆa´t l`a P th`ı P / G.

38. Cho G l`a mô.t nhóm h˜u.u ha.n có câ´p là pq, trong d¯ó p và q là hai sô´ nguyên

tˆo´ m`a p < q Ch´u.ng minh r˘a`ng:

a) G c´o mˆo.t và chı’ mô.t nhóm con câ´p q.

b) Nˆeú q 6= 1 + kp v´o.i sô´ nguyˆen k t`uy ´y th`ı G l`a nhóm cyclic cˆa´p pq.

39. Cho G l`a mô.t nhóm nhân h˜u.u ha.n sao cho G có mô.t tu d¯˘a’ng câú ϕ thoa’

m˜an ϕ(a) 6= a, ∀a 6= 1G Ch´u.ng minh r˘a`ng:

a) V´o.i mo.i α ∈ G, tˆo `n ta.i g ∈ G sao cho α = g−1ϕ(g).

b) Nˆeú ϕ c´o câ´p b˘a`ng 2, tú.c l`a ϕ 6= id v` a ϕ2 = id th`ı ϕ(α) = α−1 vó.i mo.i

Trang 8

TRA’ L ` O . I V ` A HU Ó.NG DÂÑ GIA’I BÀI TÂ P

CHU . O . NG I – NH ´ OM

1. ∀a, b, c ∈ Q, (a ∗ b) ∗ c = (a + b + ab) ∗ c = a + b + ab + c + ac + bc + abc =

có t´ınh kê´t ho. p ∀a ∈ Q, a ∗ 0 = 0 ∗ a = a hay 0 là phˆ` n tu.a ’ d¯o.n vi cu’a Q d¯ôívó.i phép toán ∗ Do d¯ó Q vó.i phép toán ∗ là mô.t vi nhóm, nhu.ng không pha’ilà mô.t nhóm, v`ı phâ` n tu.’ a = −1 không có phˆ` n tu.a ’ nghi.ch d¯a’o

T`u a + b + ab + 1 = (a + 1)(b + 1), ta c´ o ∀a, b ∈ Q \ {−1}, a ∗ b 6= −1 hay

∀a ∈ Q \ {−1}, a c´o phˆ` n tu.a ’ nghi.ch d¯a’o là −1 + a a ∈ Q \ {−1} Vâ.y Q \ {−1}là mô.t nhóm vó.i phép toán ∗

2. ∀(a, b), (a0, b0), (a00, b00) ∈ G, ((a, b)(a0, b0))(a00, b00) = (ab0 + a0, bb0)(a00, b00) =

(ab0b00 + a0b00 + a00, bb0b00) = (a, b)(a0b00 + a00, b0b00) = (a, b)((a0, b0)(a00, b00)) hayphép toán nhân có t´ınh kê´t ho. p ∀(a, b) ∈ G, (a, b)(0, 1) = (0, 1)(a, b) =

(a, b) hay (0, 1) l`a phˆ` n tu.a ’ d¯o.n vi cu’a G ∀(a, b) ∈ G, (a, b)(− a b , 1

∀(x, y) ∈ G, (x, y) ∗ (1x, −y) = (1, 0) = (x1, −y) ∗ (x, y).

Vˆa.y G là mô.t nhóm.

b) (1, 0) = (1, k(1 − 11)) ∈ Hk nˆen Hk 6= ∅

∀(x, k(x − 1x)), (y, k(y − 1y)) ∈ Hk,

(x, k(x −x1)) ∗ (y, k(y −1y))−1 = (x, k(x −1x)) ∗ (1y, k(1y− y)) = (xy, k(xy−xy)) ∈

Hk

(x, k(x −x1)) ∗ (y, k(y −y1)) = (xy, k(xy −xy1 )) = (y, k(y −1y)) ∗ (x, k(x −x1))

Vˆa.y Hk là mˆo.t nhóm con giao hoán cu’a G.

Trang 9

c) Z(G) = {(x, y) | (x, y) ∗ (a, b) = (a, b) ∗ (x, y), ∀(a, b) ∈ G}

= {(x, y) | (xa, xb + ya) = (ax, ay + xb), ∀(a, b) ∈ G}

Vˆa.y (G, ⊕) là mô.t nhóm aben.

b) ∀x, y ∈ G, f (x ⊕ y) = cos 2π(x ⊕ y) + i sin 2π(x ⊕ y) = cos(2πx + 2πy −

2π[x + y]) + i sin(2πx + 2πy − 2π[x + y]) = cos(2πx + 2πy) + i sin(2πx + 2πy) = (cos 2πx + i sin 2πx)(cos 2πy + i sin 2πy) = f (x)f (y).

Vˆa.y f là mô.t d¯ô`ng câú nhóm

5. Gia’ su.’ G là mô.t nhóm mà không có nhóm con thu c su. n`. ao Nˆeú G 6= {1}th`ı tˆ`n ta.i a ∈ G vó.i a 6= 1 Nhóm con < a > cu’a G sinh ra bo.’i a khác {1}o

nên pha’i b˘a`ng G hay G là nhóm cyclic Nêú G có câ´p p và gia’ su ’ p = mn vó.i

1 < m, n < p th`ı G c´o nhóm con cˆa´p m, d¯ây là nhóm con thu. c su cu’a G D. - iê` u

mâu thuâ’n này dâñ d¯êń p là sô´ nguyên tô´.

6. Gia’ su.’ G/H = < aH > (a ∈ G) ∀x, y ∈ G, ∃m, n ∈ Z sao cho xH =

Vˆa.y G là mô.t nhóm aben.

7. a) G c´o d¯úng hai ló.p kˆ` lè a xH v` a H, trong d¯´o x / ∈ H Khi d¯ó, vó.i mo.i

ngh˜ıa l`a g = xh v´ o.i h ∈ H th`ı gag−1 = xhah−1x−1 ∈ H, v`ı nˆe´u ngu.o. c la.i

xhah−1x−1 = xh0 v´o.i h0 ∈ H hay x = h0−1hah−1 ∈ H, d¯iˆ` u nè ay vô lý Do d¯ó

H / G.

b) Do H /G nˆen ta c´o nh´om thu.o.ng G/H c´o cˆa´p l`a |G/H| = [G : H] = m.

Do d¯´o v´o.i mo.i a ∈ G, aH ∈ G/H, ta c´o amH = (aH)m = H hay am ∈ H.

Trang 10

Vˆa.y AB là mô.t nhóm con cu’a G.

9. a) K´y hiˆe.u 1 l`a d¯o.n vi cu’a G.

1 ∈ A ∧ 1 ∈ B ⇒ 1 ∈ A ∩ B ⇒ A ∩ B 6= ∅.

∀x, y ∈ A ∩ B ⇒ x, y ∈ A ∧ x, y ∈ B ⇒ xy−1 ∈ A ∧ xy−1 ∈ B ⇒

xy−1 ∈ A ∩ B.

Vˆa.y A ∩ B là mô.t nhóm con cu’a G.

b) Gia’ su.’ A ∪ B l`a mˆo.t nhóm con cu’a G và A 6⊂ B Khi d¯ó ∃a ∈ A, a / ∈ B

v`a ∀b ∈ B, c = ab ∈ A ∪ B (v`ı A ∪ B l`a mˆo.t nh´om con cu’a G) hay c ∈ A ho˘a.c

– V´o.i c ∈ B th`ı b`ai toán d¯u.o. c chú.ng minh; tú.c l`a, C ⊂ B.

10. a) ∀x, y ∈ G, x2y2 = (xy)2(= 1) hay xxyy = xyxy, do d¯´o xy = yx Vˆ a.y G

là mô.t nhóm aben

b) Xem ph´ep toán trˆen G l`a phép cˆo.ng, khi d¯ó ta có 2x = 0, ∀x ∈ G V`ı

vâ.y có phép nhân vô hu.ó.ng cu’a Z2 lˆen G:

Kiê’m chú.ng dˆ˜ dàng G là mô.t Ze 2- khˆong gian vecto., do G h˜ u.u ha.n nên G

là không gian vecto h˜u.u ha.n chiê` u Gia’ su.’ dim G = n Khi d¯´ o G ∼= Zn2 hay

|G| = 2n

Trang 11

11. a) Cho ac ∈ A(B ∩ C), trong d¯´o a ∈ A v` a c ∈ B ∩ C Khi d¯´o ac ∈ AB

v`a ac ∈ aC = C V`ı thˆ e´ A(B ∩ C) ⊂ AB ∩ C M˘ a.t khác, nêú ab ∈ AB ∩ C,

trong d¯´o a ∈ A v` a b ∈ B th`ı b ∈ a−1C = C v`a v`ı vˆa.y ab ∈ A(B ∩ C) Vˆa.y

Nhu vâ.y, Z∗13 là mô.t nhóm cyclic vó.i phâ`n tu.’ sinh là 2

b) Gia’ su.’ R∗ là mô.t nhóm cyclic sinh bo’ i x, ngh˜ıa l`. a

R∗ = {xn| n ∈ Z}.

Khi d¯ó ´anh xa f : Z −→ R∗ cho bo.’ i f (n) = xn là mô.t toàn ánh, nên R∗ là khôngquá d¯ê´m d¯u.o. c D- iê` u này vô lý v`ı R∗ là tâ.p ho p vˆ. o ha.n không d¯ê´m d¯u.o c Vâ.y

R∗ không là nhóm cyclic

Trang 12

13. a)

x = −

√2

2 +

√2

2 i, x

2 = −i, x3 =

√2

2 +

√2

2 i, x

4 = −1,

√2

2 −

√2

2 i, x

6 = i, x7 = −

√2

2 −

√2

14. a) Mˆo˜i phâ` n tu.’ cu’a S3 là mˆo.t hoán vi cu’a {1, 2, 3}, tú.c là mô.t song ánh

{1, 2, 3} −→ {1, 2, 3} Ph´ep toán t´ıch trˆen S3 ch´ınh là phép ho. p thành ánh xa Các phˆ` n tu.a ’ cu’a S3 l`

(1 3 2) (1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1) (1 2 3)

Trang 13

V`ı phép ho. p thành có t´ınh kê´t ho. p nên phép toán trˆen S3 có t´ınh kê´t ho. p.

S3 có phˆ` n tu.a ’ d¯o.n vi là (1) C˘an cú vào ba’ng nhân, ta thâý mo.i phâ` n tu.’ cu’a

S3 d¯ˆ` u kha’ nghi.ch Cu thˆe’,e

(1)−1 = (1), (1 2)−1 = (1 2), (1 3)−1 = (1 3),

(2 3)−1 = (2 3), (1 2 3)−1 = (1 3 2), (1 3 2)−1 = (1 2 3).

Vˆa.y S3 là mô.t nhóm

b) D- ˘a.t X = {(1 2), (1 3), (2 3)} và Y = {(1 2 3), (1 3 2) C˘an cú vào

ba’ng nhân ta thâý nêú nh´om con H cu’a S3 chú.a 2 phˆ` n tu.a ’ cu’a X ho˘a.c 1 phâ` n

tu.’ cu’a X và 1 phˆ` n tu.a ’ cu’a Y th`ı H = S3 Vˆa.y các nhóm con cu’a S3 l`

{(1)}, {(1), (1 2)}, {(1), (1 3)}, {(1), (2 3)}, {(1), (1 2 3), (1 3 2)}, S3,trong d¯ó các nhóm con chuâ’n tác l`a {(1)}, {(1), (1 2 3), (1 3 2)}, S3

c) V`ı cˆa´p cu’a G3 pha’i là mô.t u.ó.c chung cu’a 24 và 30 cho nên nó pha’i là

mˆo.t u.´o.c cu’a 6

Ta biê´t r˘a`ng nhóm có câ´p nho’ ho.n 6 d¯ê` u là aben và nhóm câ´p 6 chı’ cóhai loa.i (sai khác d¯˘a’ng câú): aben (khi d¯ó là nhóm cyclic) và không aben Vâ.y

G3 ∼= S3

15. a) Gia’ su.’ Q l`a nh´om cyclic sinh ra bo.’ i m

n trong d¯´o m v` a n l`a các sô´ nguyên

nguyên tô´ cùng nhau 1 ∈ Q nên tˆ`n ta.i sô´ nguyên k sao cho 1 = k.o m n, d¯iˆ` u nè ay

= Z; trong khi mo.i phâ` n tu.’ khác không cu’a Q d¯ˆ` u cé o câ´p vô ha.n

Do d¯´o Q/Z khˆong thê’ d¯˘a’ng câú vó.i Q

16. a) R˜o r`ang H 6= ∅ v`a có 14 phˆ` n tu.a ’ v`ı m c´o 2 c´ach cho.n và b có 7 cách

Trang 14

17. a) Do G =< x, y > v` a x−1 = x2, y−1 = y, mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’a G c´o da.ng:

xk1yl1 xknyln, trong d¯´o ki, li, v´o.i 1 ≤ i ≤ n, l`a các sô´ tu. nhiên Tù các quan

hˆe cu’a G, ta c´o:

Do d¯ó các phˆ` n tu.a ’ cu’a G l` a ykxl, v´o.i k = 0, 1 v` a l = 0, 1, 2 C´ac phˆ` n tu.a ’ này

d¯ôi mô.t khác nhau nên ta có:

Trang 15

19. a) V`ı fn là mô.t toàn ánh nên tô`n ta.i z ∈ G sao cho y = zn.

V´o.i x ∈ G, v`ı fn là mô.t d¯ô`ng câú, ta c´o: (xzx−1)n = xnznx−n Tù d¯ó:

xyx−1 = xznx−1 = (xzx−1)n = xnznx−n = xnyx−n

Vˆa.y xn−1y = yxn−1

b) V´o.i n = 3, ta c´ o: x2y = yx2 Ngo`ai ra,

Vˆa.y, (yx)2 = x2y2 = (x2y)y = (yx2)y = (yx)(xy) T`u d¯´o yx = xy.

20. a) 1 = 1n v`a 1n = 1 nˆen 1 ∈ G(n) v`a 1 ∈ G(n), ngh˜ıa l`a G(n) 6= ∅ v`a

G(n) 6= ∅ ∀xn, yn ∈ G(n), xn(yn)−1 = xn(y−1)n = (xy−1)n ∈ G(n) ∀x, y ∈

G(n), xn = yn = 1, nˆen (xy−1)n = xn(yn)−1 = 1 hay xy−1 ∈ G(n) Ngo`ai ra,

∀y ∈ G, ∀x ∈ G, yxny−1 = (yxy−1)n ∈ G(n); ∀z ∈ G(n), (yzy−1)n = yzny−1 =

yy−1 = 1 hay yzy−1 ∈ G(n) Vˆa.y G(n) v`a G(n) là các nhóm con chuâ’n t˘ać cu’a

G.

b)X´et ´anh xa f : G −→ G(n) cho bo.’ i f (x) = xn Rõ r`ang f l`a mô.t toàn

cˆa´u Kerf = {x ∈ G | xn = 1} = G(n) Do d¯´o ta c´o G/Kerf ∼ = Imf hay

22. a) Gia’ su.’ G =< a > v` a f, g ∈ Aut(G) v´ o.i f (a) = ar v`a g(a) = as Khi d¯´o

(g ◦ f )(a) = g(f (a)) = g(ar) = g(a)r = asr = ars = f (a)s = f (as) = f (g(a)) = (f ◦ g)(a) Do d¯´o g ◦ f = f ◦ g hay Aut(G) l`a nh´om aben

b) Nˆeú G =< a > c´o cˆa´p p nguyˆen tô´ th`ı vó.i mô˜i tu. d¯ˆ`ng cô aú nh´om cu’a G

cho bo.’ i f (a) = ar, trong d¯´o r l`a sô´ nguyên không âm, ta c´o f ∈ Aut(G) khi v`a

chı’ khi ar là phˆ` n tu.a ’ sinh cu’a G t´u.c là khi v`a chı’ khi r nguyˆen tô´ cùng nhau vó.i

là nhóm d¯˘a’ng câú v´o.i Zp∗ = Zp\ {0}, nˆen Aut(G) l`a nhóm cyclic

23. a) V`ı G/kerf ∼ = f (G) nˆ en |f (G)| = |G/kerf | chia hˆ e´t |G|.

b) Gia’ su.’ G c´ o n l´o.p kˆ` phê an biˆe.t là x1H, x2H, , xnH Vó.i mô˜i y ∈ K

tˆ`n ta.i x ∈ G sao cho y = f(x) Khi d¯ó x ∈ xo iH v´ o.i i nào d¯ó v`a y ∈ f (xi)f (H).

Nˆe´u f (xi)f (H) = f (xj)f (H) th`ı f (xj)−1f (xi) = f (x0) v´o.i x0 ∈ H, nˆen ta c´o

x−1j xix0−1 ∈ Kerf , m` a Kerf ⊂ H, do d¯´o x−1j xi ∈ H hay xiH = xjH, t`u d¯´o i = j.

Nói cách kh´ac K c´ o n l´o.p kˆ` phê an biˆe.t là f (x1)f (H), f (x2)f (H), , f (xn)f (H) hay [K : f (H)] = n.

Trang 16

24. a) V´o.i mo.i y ∈ G, tˆo `n ta.i duy nhˆa´t x = g−1yg sao cho Cg(x) = y, nˆ en Cg

là mˆo.t song ánh Ngoài ra, Cg(xx0) = gxx0g−1 = gxg−1.gx0g−1 = Cg(x)Cg(x0)

Do d¯´o Cg là mô.t tu d. ¯˘a’ng cˆaú cu’a G Aut(G) l`a mô.t nhóm vó.i phép toán ho pthành, d¯o.n vi là ánh xa d¯ô`ng nhˆa´t idG, nghi.ch d¯a’o cu’a f ∈ Aut(G) là ánh xa.

ngu.o. c f−1 V´o.i mo.i f ∈ Aut(G), v´o i mo.i g ∈ G,

= Cf−1 (g)(x)

v´o.i mo.i x ∈ G nˆen f−1Cgf = Cf−1 (g) ∈ Inn(G) Do d¯´o Inn(G) / Aut(G).

b) Dˆe˜ dàng có d¯u.o c Z(G) là mô.t nhóm con chuâ’n t˘ać cu’a G Xét ánh xa.

V´o.i H / G, G/H l` a aben ⇐⇒ ∀x, y ∈ G, (xH)(yH) = (yH)(xH) ⇐⇒

∀x, y ∈ G, xyH = yxH ⇐⇒ ∀x, y ∈ G, (yx)−1xy ∈ H ⇐⇒ ∀x, y ∈ G, x−1y−1xy

∈ H ⇐⇒ [G, G] ⊂ H Do d¯´o [G, G] l`a nhóm con chuâ’n t˘ać nho’ nhâ´t cu’a G sao cho G/[G, G] là aben

b) [xy, z] = (xy)−1z−1xyz = y−1x−1z−1xyz

c) Nˆe´u [G, G] ⊂ Z(G) th`ı ta c´o

[xy, a] = y−1[x, a]y[y, a] = [x, a]y−1y[y, a] = [x, a][y, a]

hay f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ G Vˆ a.y f là mô.t d¯ô`ng câú nhóm

Trang 17

Do d¯´o l0|l M˘ a.t kh´ac n | ml0 nˆen aml0 = 1 t´u.c l`a ord(am)|l0 hay l | l0 Vˆa.y l = l0.

Vâ.y các phâ` n tu.’ câ´p 14 cu’a nhóm cô.ng Z140 l`a 10, 30, 50, 90, 110, 130.

28. a) Nˆeú G = {1} th`ı G l`a cyclic Nˆeú G 6= {1}, go.i a là phâ` n tu.’ sinh cu’a

nhˆa´t sao cho am ∈ G V´ o.i mo.i b ∈ G, ta có b = an vó.i sô´ nguyˆen n n`ao d¯ó.Theo thuˆa.t toán chia, n = qm + r vó i 0 ≤ r < m Khi d¯ó ar = (am)−qan ∈ G.

Do t´ınh nho’ nhˆa´t cu’a m suy ra r = 0 V`ı vˆ a.y n = qm và b = (am)q, tú.c l`a G l`anhóm cyclic sinh ra bo.’ i am

b) Gia’ su.’ |C| = n v` a m|n Ta c´ o G =< amn > l`a nh´om con cu’a C c´o cˆa´p

d) Nˆe´u |C| = n < ∞ th`ı aml`a phˆ` n tu.a ’ sinh cu’a C khi v` a chı’ khi ord(am) = n

tú.c là khi và chı’ khi n

(n, m) = n hay (n, m) = 1.

29. Nˆeú f : Q −→ Q x´ac d¯i.nh bo’ i f (x) = ax v´. o.i a ∈ Q th`ı f l`a mô.t d¯ô`ng câúnhóm Thˆa.t vâ.y, ∀x, y ∈ Q, f (x + y) = a(x + y) = ax + ay = f (x) + f (y).

D- a’o la.i, nêú f : Q −→ Q là mô.t d¯ô`ng câú nhóm th`ı d¯˘a.t a = f(1), ta có

∀x ∈ Q, x = mn, m ∈ Z, n là sô´ nguyên du.o.ng, ta c´o f (x) = f (mn) = f (m.n1) =

mf (n1) = m.na = a.mn = ax R˜o r`ang a duy nhˆ a´t sao cho f (x) = ax, ∀x ∈ Q.

30. Xét phép tu.o.ng ú.ng

Trang 18

x(mod mn) = y(mod mn) ⇔ x − y ≡ 0(mod mn) ⇔ x − y ≡ 0(mod m) v`a

(x(mod m), x(mod n)) = (y(mod m), y(mod n)) Do d¯´o f l`a mˆo.t d¯o.n ´anh V`ı

|Zmn| = |Zm×Zn| = mn nˆ en f là mô.t song ánh Ngoài ra,

f (x(mod mn) + y(mod mn)) = f (x + y(mod mn))

= (x + y(mod m), x + y(mod n))

= (x(mod m), x(mod n)) + (y(mod m), y(mod n))

= f (x(mod mn)) + f (y(mod mn)).

Vˆa.y f là mô.t d¯˘a’ng câú.

Do Z3×Z2 ∼= Z6 nên Z3×Z2 là mô.t nhóm aben, trong khi nhóm d¯ôí xú.ng

S3 khˆong aben V`ı vˆa.y Z3×Z2 6∼= S3

Vˆa.y G/Kerf ∼= Imf hay G/(M ∩ N ) ∼ = G/M × G/N

32. a) Ph´ep toán ∗ thoa’ mãn t´ınh kê´t ho. p G có phˆ` n tu.a ’ trung hoà l`a (0, 0, 0) Nghi.ch d¯a’o cu’a (a, b, c) ∈ G là (−a, −b, −c − ba) Do d¯ó (G, ∗) là mô.t nhóm.

x y −y x

= x2 + y2 6= 0.

Trang 19

33. f l`a mô.t d¯ô`ng câú nh´om v`ı ∀x, y ∈ R

f c`on là mˆo.t song ánh v`ı f có ánh xa ngu o c là f−1(x) = ln(x +√x2+ 1)

Do d¯´o f l`a mô.t d¯˘a’ng câú nhóm

Trang 20

Vˆa.y U24 không là nhóm cyclic.

35. a) R˜o r`ang 0 ∈ R∗, phép toán ∗ có t´ınh kê´t ho. p, 0 là phˆ` n tu.a ’ d¯o.n vi (do

d¯´o, R∗ là mô.t nhóm

b) V´o.i x ∈ U (R), (1 − x) ∗ (1 − x−1) = (1 − x−1) ∗ (1 − x) = 0, nên ta có ánh

xa f : U (R) −→ R∗ cho bo.’ i f (x) = 1 − x Rõ r`ang f l`a mô.t song ánh Ngoài ra,

f (x) ∗ f (y) = (1 − x) ∗ (1 − y) = (1 − x) + (1 − y) − (1 − x)(1 − y) = 1 − xy = f (xy).

Do d¯´o f l`a mô.t d¯˘a’ng câú nhóm

36. a) 12 phˆ` n tu.a ’ cu’a A4 v´o.i d¯o.n vi ι l`a:

Gia’ su.’ A4 có mˆo.t nhóm con H câ´p 6 Do σi2 = ι v` a τj3 = ι nˆ en σi có câ´p

2 v`a τj có câ´p 3 v´o.i i = 1, 2, 3 v` a j = 1, 2, , 8 Do H c´o câ´p 6 nˆen H ch´u.a

mˆo.t 3-nhóm con Sylow và mô.t 2-nhóm con Sylow Do d¯ó τj ∈ H v` a σi ∈ H

v´o.i j v` a i n`ao d¯´o, ch˘a’ng ha.n τ1 ∈ H v` a σ2 ∈ H Khi d¯´o H ch´u.a c´ac phˆ` n tu.a ’

ι, τ1, τ12 = τ2, σ1, σ1τ1 = τ8, τ1σ1 = τ5, τ82 = τ7, τ52 = τ6 D- iê` u này cho biê´t

H c´o ´ıt nhâ´t 8 phˆ` n tu.a ’ , mâu thuâñ vó.i |H| = 6 Vâ.y A4 không chú.a mô.t nhómcon câ´p 6 nào

b) Cˆa´p cu’a mô.t 2-nhóm con Sylow là 4, v`ı 22 là l˜uy thù.a cao nhâ´t cu’a 2chia hˆe´t 12 = |A4| Do không c´o τj nào có thê’ là phˆ` n tu.a ’ cu’a mô.t 2-nhóm conSylow (v`ı chúng d¯ˆ` u cé o câ´p l`a 3), σiσk = σl v´o.i i, k, l ∈ {1, 2, 3}, σi2 = ι v´o.i

i = 1, 2, 3 v` a ι, σ1, σ2, σ3 là bôń phˆ` n tu.a ’ duy nhˆa´t trong A4 có câ´p u.ó.c cu’a 4,

ta có 2-nhóm con Sylow duy nhâ´t l`a P = {ι, σ1, σ2, σ3}

Câ´p cu’a mô.t 3-nhóm con Sylow là 3 Các tâ.p

{ι, τ1, τ12}, {ι, τ3, τ32}, {ι, τ5, τ52}, {ι, τ7, τ72}là các nhóm con câ´p 3 Sô´ các 3-nhóm con Sylow l`a s3 = 1 + 3k, v´ o.i k ∈ Z, pha’i

chia hê´t cho 12 Rõ r`ang k 6= 0, v`a nˆeú k > 1 th`ı s3 không chia hê´t 12 Do d¯ó

37. a) Gia’ su.’ |H| = pt, t ≥ 0 Theo d ¯i.nh l´y Lagrange, pt| prm V`ı p 6 | m nˆen

Trang 21

b) V´o.i mô˜i g ∈ G, ánh xa P −→ g−1P g : x 7→ g−1xg là mô.t song ánh, nên

chı’ c´o p-nh´om con Sylow duy nhˆa´t l`a P nˆ en g−1P g = P, ∀g ∈ G hay P / G.

38. a) Sˆo´ q-nh´om con Sylow cˆa´p q cu’a G l` a sq = 1 + kq, v´ o.i k ≥ 0 n`ao d¯´o Ngo`ai

ra, 1 + kq chia hˆ e´t pq, nˆen có bôń kha’ n˘ang xa’y ra: 1 + kq = q ho˘ a.c 1 + kq = p

ho˘a.c 1 + kq = pq ho˘a.c 1 + kq = 1 V`ı q không chia hê´t 1 + kq, chı’ còn hai kha’

n˘ang 1 + kq = p ho˘ a.c 1 + kq = 1 V`ı q > p nên 1 + kq 6= p và do d¯ó 1 + kq = 1.

Vˆa.y có d¯úng mô.t nhóm con câ´p q.

b) Sˆo´ p-nh´om con Sylow cˆa´p p cu’a G l` a sp = 1 + kp, v´ o.i k ≥ 0 n`ao d¯ó Lâ.pluâ.n nhu trên, ta có hai kha’ n˘ang xa’y ra: 1 + kp = 1 ho˘a.c 1 + kp = q Tru.ò.ng

ho. p cuôí là không d¯úng theo gia’ thiê´t, nên chı’ có mˆo.t nhóm con câ´p p cu’a G Go.i H là nhóm con câ´p q và K là nhóm con câ´p p cu’a G Khi d¯ó vó.i

(hk)q = kq 6= 1 Vˆa.y câ´p cu’a hk là pq hay G là nhóm cyclic sinh bo ’ i hk..

39. a) V´o.i g, h ∈ G, nˆ e´u g−1ϕ(g) = h−1ϕ(h) th`ı ϕ(g)ϕ(h)−1 = gh−1 hay

ϕ(gh−1) = gh−1 Tù gia’ thiê´t vˆ` ϕ ta pha’i c´e o gh−1 = 1G hay g = h Do d¯ó

V´o.i mo.i α ∈ G, α 6= 1G, ta c´o α 6= ϕ(α) = α−1 Nhu vˆa.y G không có phâ` n

tu.’ câ´p 2 Tù d¯´o suy ra G c´o câ´p le’

Trang 22

B ` AI T ˆ A P CHU . O . NG II – V ` ANH

1. Cho S l`a mô.t tâ.p ho p, k´. y hiˆe.u P(S) là tâ.p gô`m các tˆa.p con cu’a S Chú.ngto’ r˘a`ng P(S) vó.i 2 phép toán cô.ng và nhân nhu sau:

A + B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) , AB = A ∩ B , ∀A, B ∈ P(S)

là mô.t vành giao hoán có d¯o.n vi

2. Cho R l`a mˆo.t vành, Z là vành các sô´ nguyên, trên tâ.p Z × R ta d¯i.nh ngh˜ıa

2 phép toán cô.ng và nhân nhu sau:

(m, x) + (n, y) = (m + n, x + y) , (m, x)(n, y) = (mn, my + nx + xy)

Chú.ng minh r˘a`ng Z × R vó.i 2 phép toán này là mô.t vành có d¯o.n vi và R d¯˘a’ng

câú vó.i mô.t id¯êan cu’a vành này

3. Cho S l`a mô.t tâ.p ho p, R l`. a mˆo.t vành và f là mô.t song ánh tù R lên S.

Chú.ng minh r˘a`ng S vó.i 2 phép toán:

là mˆo.t vành và f là mô.t d¯˘a’ng câú vành Dùng d¯iê` u này d¯ê’ chú.ng minh r˘a`ng

mô.t vành bâ´t k`y có d¯o.n vi 1 c˜ung còn là mô.t vành d¯ôí vó.i 2 phép toán:

b) X´ac d¯i.nh tâm cu’a vành M (3, R) các ma trâ.n vuông câ´p 3 hê sô´ thu c..

5. Mˆo.t vành R d¯u o c go.i là mô.t vành Boole nêú vó.i mô˜i a ∈ R, a2 = a.

Cho R l`a mô.t vành Boole Chú.ng minh r˘a`ng:

a) R c´o d¯˘a.c sˆo´ 2

b) R l`a mô.t vành giao hoán

c) Nˆeú R khˆong có u.ó.c cu’a 0 th`ı ho˘a.c R = {0} ho˘a.c R chı’ có hai phâ` n tu.’

6. Cho R l`a vành có d¯o.n vi 1 6= 0 và x, y ∈ R Chú.ng minh r˘a`ng:

a) Nˆe´u xy v` a yx kha’ nghi.ch th`ı x v`a y kha’ nghi.ch.

Trang 23

b) Nˆeú R khˆong có u.ó.c cu’a không v`a xy kha’ nghi.ch th`ı x và y kha’ nghi.ch.

7. Cho R l`a v`anh c´o d¯o.n vi 1 6= 0

a) Ch´u.ng minh r˘a`ng nêú a ∈ R, a 6= 0, có nghi.ch d¯a’o trái th`ı a không là

u.ó.c cu’a 0 bên trái và d¯iˆ` u ngu.o.e c la.i vâñ d¯úng nˆeú a ∈ aRa.

b) V´o.i a, b ∈ R, ch´u.ng minh r˘a`ng nêú 1 − ba kha’ nghi.ch trái th`ı 1 − ab c˜ung

kha’ nghi.ch tr´ai

8. Cho R l`a v`anh h˜u.u ha.n Ch´u.ng minh r˘a`ng

a) Nˆeú R khˆong có u.ó.c cu’a không th`ı nó có d¯o.n vi và mo.i phâ` n tu.’ kháckhˆong cu’a R d¯ˆ` u kha’ nghi.ch.e

b) Nˆeú R c´o d¯o.n vi th`ı mo.i phâ` n tu.’ kha’ nghi.ch mô.t ph´ıa trong R d¯ê` u kha’nghi.ch

9. Cho R l`a mô.t vành Mô.t phâ` n tu.’ x cu’a R d¯u.o. c go.i là l˜uy linh nêú tˆ`n ta.io

a) Nˆeú x, y l˜uy linh và giao ho´an th`ı x + y c˜ung là l˜uy linh

b) Nˆe´u x l˜uy linh v`a xy = yx th`ı xy c˜ung l`a l˜uy linh

c) Nˆe´u x l˜ uy linh th`ı 1 − x kha’ nghi.ch v`a t´ınh (1 − x)−1

10. Cho p l`a mô.t sô´ nguyên tô´ Chú.ng minh r˘a`ng tâ.p ho p các sô´ h˜u.u tı’ có da.ng

cu’a miˆ` n nguyˆen n`e ay

11. Chú.ng minh r˘a`ng mo.i miê` n nguyên h˜u.u ha.n d¯ê` u là tru.ò.ng

12. Cho R l`a mô.t vành giao hoán, khác không và có d¯o.n vi Chú.ng minh r˘a`ngcác d¯iˆ` u sau lè a tu.o.ng d¯u.o.ng:

a) R l`a mˆo.t tru.`o.ng

sô´ h˜u.u tı’ tùy ý, là mô.t tru.ò.ng d¯ôí vó.i phép cô.ng và phép nhân ma trâ.n, tru.ò.ngnày d¯˘a’ng câú vó.i tru.`o.ng A = {a + b

√

3 | a, b ∈ Q}, Q l`a tru.ò.ng các sô´ h˜u.u tı’

14. Chú.ng minh r˘a`ng tâ.p ho p các ma trâ.n có da.ng

−b a

, v´o.i a, b l`a nh˜u.ng

sô´ thu. c tùy ý, là mô.t tru.ò.ng d¯ôí vó.i phép cô.ng và phép nhân ma trâ.n, tru.ò.ngnày d¯˘a’ng câú vó.i tru.ò.ng C các sô´ phú.c

Trang 24

15. a) Cho p l`a mô.t sô´ nguyên tô´ Ký hiê.u

trong d¯ó Q là tru.ò.ng các sô´ h˜u.u tı’ Chú.ng minh r˘a`ng Q(√p) l`a mô.t tru.ò.ng(tru.ò.ng con cu’a tru.ò.ng R các sô´ thu. c).

b) Ch´u.ng minh r˘a`ng tru.ò.ng Q(√7) không d¯˘a’ng câú vó.i tru.ò.ng Q(√11)

16. Hãy t`ım các tu. d¯ˆ`ng cô aú cu’a tru.ò.ng F:

a) F l`a tru.ò.ng Q các sô´ h˜u.u tı’

b) F l`a tru.ò.ng R các sô´ thu. c.

c) F l`a tru.ò.ng Zp các sô´ nguyên môd¯ulˆo p, v´ o.i p l`a mô.t sô´ nguyên tô´

d) F l`a tru.ò.ng C các sô´ phú.c mà gi˜u nguyên các sô´ thu. c.

17. Trên v`anh M (2, C) c´ac ma trâ.n vuông câ´p 2 hê sô´ trên tru.ò.ng các sô´ phú.c

(Thê’ Q d¯u.o. c go.i là thê’ quaternion.)

18. Cho K l`a mˆo.t thê’ và x, y ∈ K \ {0} sao cho x + y = −1 và x−1+ y−1 = 1.Chú.ng minh r˘a`ng:

(O’ d¯ây ta ký hiê.u n thay cho n1. K, v´o.i n ∈ Z v`a 1K là d¯o.n vi cu’a K.)

19. Tˆ`n ta.i hay không mô.t thê’ K sao cho các nhóm K vó.i phép cô.ng và K \{0}ovó.i phép nhân d¯˘a’ng câú vó.i nhau?

20. Ký hiˆe.u T là vành tâ´t ca’ các ma trâ.n tam giác du.ó.i câ´p 3 trên vành Z các

sˆo´ nguyˆen D- ˘a.t

)

.

Trang 25

Chú.ng minh r˘a`ng I là id¯êan 2 ph´ıa cu’a T , J là id¯êan 2 ph´ıa cu’a I và J là id¯êan pha’i cu’a T nhu.ng không là id¯êan trái.

21. Xét vành Z các sô´ nguyên

a) H˜ay t`ım tâ´t ca’ các id¯êan cu’a vành Z

b) Ch´u.ng to’ r˘a`ng mo.i dãy t˘ang các id¯êan cu’a Z d¯ê` u dù.ng, tú.c là nêú

I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · · là dãy các id¯êan cu’a Z th`ı tˆ`n ta.i sô´ nguyên i sao choov´o.i mo.i j ló n ho.n i th`ı Ij = Ii

D- ôí vó.i dãy gia’m các id¯êan cu’a Z th`ı thê´ nào?

22. Cho R v` a S l`a các vành có d¯o.n vi Chú.ng minh r˘a`ng M là mô.t id¯êan cu’a

v`anh t´ıch R × S khi v` a chı’ khi M = I × J , trong d¯´o I v` a J lˆ` n lu.o.a t là các id¯êan

cu’a R v` a S.

T`ım các id¯êan cu’a các vành t´ıch Z2, R2, trong d¯ó Z và R lˆ` n lu.o.a t là vànhcác sô´ nguyên và các sô´ thu. c.

23. Cho R l`a mô.t vành giao hoán có d¯o.n vi

a) Ch´u.ng to’ mo.i id¯êan cu c d. ¯a.i cu’a R d¯ê` u là id¯êan nguyên tô´

b) Gia’ su.’ R c´o t´ınh chˆa´t: ∀x ∈ R tˆ `n ta.i sˆo´ tu nhiˆen n > 1 sao cho xo n = x.

Chú.ng to’ mo.i id¯êan nguyên tô´ c˜ung là id¯êan cu c d. ¯a.i

24. Ký hiˆe.u Z[ i ] = {a + ib ∈ C | a, b ∈ Z}, trong d¯ó C là tru.ò.ng các sô´ phú.cvà Z là vành các sô´ nguyên V´o.i u ∈ Z[ i ], k´y hiˆe.u (u) = {ux | x ∈ Z[ i ]}.

Ch´u.ng minh:

a) Z[ i ] l`a v`anh con cu’a C v`a (u) l`a id¯ˆean cu’a Z[ i ].

b) V`anh thu.o.ng Z[ i ]/(2) khˆong pha’i l`a tru.`o.ng

c) V`anh thu.o.ng Z[ i ]/(3) l`a tru.`o.ng c´o 9 phˆ` n tu.a ’

25. Cho R l`a mˆo.t vành giao hoán và I là mô.t id¯êan sinh ra bo’ i phˆ. ` n tu.a ’ a ∈ R.

Ch´u.ng minh r˘a`ng:

I =

{ra | r ∈ R} nˆe´u R c´o d

¯o.n vi

{ra + na | r ∈ R v` a n ∈ Z} nˆe´u R khˆong c´o d¯o.n vi..

26. Ký hiˆe.u M (2, F) là vành các ma trâ.n vuông câ´p 2 hê sô´ trên tru.ò.ng F.Chú.ng to’ r˘a`ng:

Trang 26

27. Cho R l`a mô.t vành khác không, không có u.ó.c cu’a không và sao cho mo.inhóm con cu’a nhóm cˆo.ng R là mô.t id¯êan cu’a R Chú ng minh r˘a`ng R d¯˘a’ng câú

vó.i mˆo.t vành con cu’a vành Z các sô´ nguyên ho˘a.c R d¯˘a’ng câú vó.i vành Zp c´

sô´ nguyên môd¯ulˆo p v´ o.i p l`a mô.t sô´ nguyên tô´

28. X´et M = M (n, R) l`a vành các ma trˆa.n vuông câ´p n hê sô´ thu c Ch´. u.ngminh r˘a`ng:

a) Ma trˆa.n A là u.ó.c (bên trái và bên pha’i) cu’a không trong vành M khiv`a chı’ khi |A| = 0.

b) Tˆa.p ho p N tˆ. a´t ca’ ma trâ.n mà tù dòng thú hai tro.’ d¯i d¯ê` u b˘a`ng khônglà mô.t vành con cu’a M và mo.i ma trâ.n khác không cu’a N d¯ê` u là u.ó.c bên pha’icu’a không trong vành N Hãy xét xem nh˜u.ng ma trâ.n nào không pha’i là u.ó.c

bên trái cu’a không trong vành N

c) Trong v`anh N tˆ`n ta.i vô sô´ d¯o.n vi trái.o

29. Xét vành Zn các sô´ nguyên môd¯ulˆo n.

a) T`ım tˆa´t ca’ các d¯ˆ`ng cô aú vành tù Z72 vào Z30

b) T`ım a’nh v`a ha.t nhân cu’a tù.ng d¯ô`ng câú vành o.’ câu a).

30. Cho I v` a J l`a các id¯êan cu’a vành giao hoán có d¯o.n vi R và ánh xa.

a) φ l`a mô.t d¯ô`ng câú vành v`a Kerφ = I ∩ J

b) Nˆeú I + J = R th`ı φ l`a mô.t toàn câú và

31. Cho S l`a v`anh thu.o.ng Z2[x]/(x3+ x).

a) Lˆa.p ba’ng nhˆan cu’a S.

b) T`ım c´ac phˆ` n tu.a ’ kha’ nghi.ch cu’a S.

32. Chú.ng minh r˘a`ng id¯êan ch´ınh (x2− x + 1) là id¯êan cu. c d¯a.i cu’a vành R[x]

vó.i R là tru.ò.ng các sô´ thu. c Tù d¯ó suy ra v`anh thu.o.ng R[x]/(x2− x + 1) là mô.ttru.ò.ng

33. Xét vành C các sô´ phú.c v`a a =

√2

2 + i

√2

2 ∈C Ch´u.ng to’ r˘a`ng tˆa.p ho p

là vành con cu’a C sinh bo.’ i a S có là mô.t id¯êan cu’a C không?

34. Cho miˆ` n nguyên D c´e o d¯o.n vi 1 và 1 có câ´p n Chú.ng to’ r˘a`ng:

a) n l`a mô.t sô´ nguyên tô´

b) ´Anh xa ϕ : D −→ D cho bo ’ i ϕ(x) = x. n là mô.t d¯ô`ng câú vành

Trang 27

TRA’ L ` O . I V ` A HU Ó.NG DÂÑ GIA’I BÀI TÂ P

Go.i p, q, r tu o.ng ú.ng là các mê.nh d¯ê` x ∈ A, x ∈ B, x ∈ C Khi d¯ó x ∈ A+B

ch´ınh là mê.nh d¯ê` tuyê’n loa.i (XOR) p ⊕ q Ba’ng giá tri chân lý sau cho các kê´t

qua’ câu d) tù cô.t 6 và 7, câu e) tù cô.t 8 và 10, câu f) tù cô.t 11 và 13

Ta c`on c´o: g) AB = BA, h) (AB)C = A(BC), i) AS = A,

Trang 28

Vˆa.y P(S) vó.i phép cô.ng (hiê.u d¯ôí xú.ng) và phép nhân (phép giao) là mô.tvành giao hoán có d¯o.n vi

2. Dê˜ dàng có d¯u.o c Z×R vó.i phép cô.ng là mô.t nhóm aben Phép nhân trên Z×R

có t´ınh kê´t ho. p và phân phôí d¯ôí vó.i phép cˆo.ng Thâ.t vâ.y, ∀(m, x), (n, y), (p, z) ∈

Z × R,

((m, x)(n, y))(p, z) = (mn, my + nx + xy)(p, z)

= (mnp, mnz + pmy + pnx + pxy + myz + nxz + xyz)

= (mnp, mnz + mpy + myz + npx + nxz + pxy + xyz)

= (m, x)(np, nz + py + yz)

= (m, x)((n, y)(p, z)), (m, x)((n, y) + (p, z)) = (m, x)(n + p, y + z)

= (mn + mp, my + mz + nx + px + xy + xz)

= (mn, my + nx + xy) + (mp, mz + px + xz)

= (m, x)(n, y) + (m, x)(p, z).

Ngo`ai ra Z × R c´o phˆ` n tu.a ’ d¯o.n vi là (1, 0) Do d¯ó Z × R là mô.t vành có d¯o.n vi

D- ˘a.t I = {(0, x) ∈ Z × R} th`ı I là mô.t id¯êan cu’a Z × R Xét ánh xa.

f : R −→ Z × R : x 7→ (0, x).

Rõ r`ang f l`a mô.t d¯o.n ánh Ngoài ra, ∀x, y ∈ R,

f (x + y) = (0, x + y) = (0, x) + (0, y) = f (x) + f (y),

f (xy) = (0, xy) = (0, x)(0, y) = f (x)f (y).

Vˆa.y f là mô.t d¯o n câú, ngh˜ıa là ta có d¯˘a’ng câú vành R ∼ = Imf = I.

3. V`ı R l`a mô.t vành vó.i phâ`n tu.’ không là 0R nˆen ∀a, b, c ∈ S,

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	432,38 KB