Bài tập Đại số đại cương

Bài tập Đại số đại cương

Bộ giáo dục và đào tạo đại học huế trờng đại học khoa học nguyễn gia định BàI TậP ĐạI Số ĐạI CƯƠNG RImR/Ker huế 2007 B`AI TˆA.P CHU.O.NG I – NH´OM1.Trˆen tˆa.pho p Q c´ac sˆo´h˜u.utı’, x´et ph´ep to´an ∗ x´ac d¯i.nh nhu.sau:∀a, b ∈ Q,a∗ b = a + b + ab.a) Q c`ung ph´ep to´an ∗ c´o pha’il`amˆo.t nh´om khˆong? Ta.i sao?b) Ch´u.ng minh Q \{−1} c`ung ph´ep to´an ∗ ta.o th`anh mˆo.t nh´om.2.Ch´u.ng minh tˆa.pho p G = {(a, b) | a, b ∈ R,b=0} c`ung ph´ep to´an k´y hiˆe.unhˆan∀(a, b), (a,b) ∈ G, (a, b)(a,b)=(ab+ a,bb)l`a mˆo.t nh´om v`a H = {(a, 1) | a ∈ R} l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.3.Cho G = R∗× R (v´o.i R l`a tˆa.pho p c´ac sˆo´thu cv`aR∗= R\{0})v`a∗ l`a ph´epto´an trˆen G x´ac d¯i.nh bo.’i:(x, y) ∗ (x,y)=(xx,xy+yx).a) Ch´u.ng minh r˘a`ng (G,∗) l`a mˆo.t nh´om.b) Ch´u.ng to’r˘a`ng v´o.ibˆa´tk`yk ∈ R,tˆa.pho p Hk= {(x, k(x−1x)) | x ∈ R∗}l`a mˆo.t nh´om con giao ho´an cu’a G.c) H˜ay x´ac d¯i.nh tˆam Z(G)cu’a G.4.Trˆen tˆa.pho p G =[0, 1) = {x ∈ R | 0 ≤ x<1}, x´et ph´ep to´an ⊕ nhu.sau:∀x, y ∈ G, x⊕ y = x + y − [x + y](o.’d¯ˆay [x + y] l`a phˆa`n nguyˆen cu’a x + y).a) Ch´u.ng minh (G,⊕) l`a mˆo.t nh´om abel.b) Ch´u.ng minh r˘a`ng ´anh xa.f : G −→ C∗x´ac d¯i.nh bo.’i f (x) = cos 2πx +i sin 2πx, l`a mˆo.td¯ˆo`ng cˆa´u nh´om, trong d¯´o C∗l`a nh´om nhˆan c´ac sˆo´ph´u.c kh´ac 0.5.Ch´u.ng minh r˘a`ng mˆo.t nh´om m`a khˆong c´o nh´om con thu csu l`a nh´om d¯o.nvi.ho˘a.c l`a nh´om cyclic c´o cˆa´p nguyˆen tˆo´.6.Cho G l`a mˆo.t nh´om v`a H l`a mˆo.t nh´om con chuˆa’nt˘a´ccu’a G sao cho H ⊂Z(G). Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u G/H l`a mˆo.t nh´om cyclic th`ı G l`a nh´om abel.7.Cho G l`a mˆo.t nh´om nhˆan v`a H l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.Ch´u.ng minh:a) Nˆe´u[G : H]=2th`ıHG.b) Nˆe´u HGv`a [G : H]=m th`ı am∈ H, ∀a ∈ G.Typeset by AMS-TEX 8.Cho G l`a mˆo.t nh´om nhˆan, A v`a B l`a hai nh´om con cu’a G.K´yhiˆe.u:AB = {ab | a ∈ A v`a b ∈ B},BA= {ba | b ∈ B v`a a ∈ A}.Ch´u.ng minh r˘a`ng AB l`a mˆo.t nh´om con cu’a G khi v`a chı’khi AB = BA.9.Cho G l`a mˆo.t nh´om, A,B,C l`a c´ac nh´om con cu’a G.Ch´u.ng minh:a) A ∩ B l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.b) A ∪ B l`a nh´om con cu’a G khi v`a chı’khi A ⊂ B ho˘a.c B ⊂ A.c) Nˆe´u C ⊂ A ∪ B th`ı C ⊂ A ho˘a.c C ⊂ B.10.Cho G l`a mˆo.t nh´om nhˆan c´o t´ınh chˆa´t: ∀x ∈ G, x2= 1, v´o.i 1 l`a phˆa`ntu.’trung ho`a cu’a nh´om G.Ch´u.ng to’r˘a`ng:a) G l`a mˆo.t nh´om aben.b) Nˆe´u G l`a nh´om h˜u.uha.n th`ı tˆo`nta.isˆo´tu nhiˆen n sao cho sˆo´phˆa`ntu.’cu’anh´om G b˘a`ng 2n.11.Cho G l`a mˆo.t nh´om v`a A,B,C,Kl`a c´ac nh´om con cu’a G.Ch´u.ng minhr˘a`ng:a) Nˆe´u A ⊂ C th`ı AB ∩ C = A(B ∩ C). (Lu.u´yr˘a`ng AB khˆong nhˆa´t thiˆe´tl`a mˆo.t nh´om con cu’a G.)b) Nˆe´u A ⊂ B, A∩ K = B ∩ K v`a AK = BK th`ı A = B.12.a) X´et tru.`o.ng Z13c´ac sˆo´nguyˆen mˆod¯ulˆo 13. H˜ay lˆa.pba’ng nhˆan cu’a Z13.Ch´u.ng to’r˘a`ng Z∗13= Z13\{0} l`a mˆo.t nh´om cyclic.b) X´et tru.`o.ng R c´ac sˆo´thu c. Khi d¯´o R∗= R \{0} c´o pha’i l`a mˆo.t nh´omcyclic khˆong?13.Trong nh´om nhˆan C∗c´ac sˆo´ph´u.c kh´ac khˆong, h˜ay x´ac d¯i.nh nh´om concyclic sinh bo.’i phˆa`ntu.’x ∈ C∗, trong d¯´oa) x = −√22+√22i,b) x = cos4π7+ i sin4π7.14.Cho S3l`a tˆa.pho ptˆa´tca’c´ac ho´an vi.cu’atˆa.pho p {1, 2, 3}.a) H˜ay lˆa.pba’ng nhˆan cu’a S3,ch´u.ng to’S3l`a mˆo.t nh´om.b) T`ım tˆa´tca’c´ac nh´om con chuˆa’nt˘a´ccu’a S3.c) Cho G1v`a G2l`a hai nh´om c´o cˆa´plˆa`nlu.o t l`a 24 v`a 30. Cho G3l`a nh´omkhˆong giao ho´an v`a l`a a’nh d¯ˆo`ng cˆa´ucu’aca’G1v`a G2. Mˆo ta’nh´om G3(quaph´ep d¯˘a’ng cˆa´u).15.X´et nh´om Q c´ac sˆo´h˜u.utı’v´o.i ph´ep cˆo.ng thˆong thu.`o.ng. Ch´u.ng minh r˘a`ng:3 a) Q khˆong l`a nh´om cyclic;b) Q/Z c´o d¯˘a’ng cˆa´uv´o.i Q khˆong?16.K´y hiˆe.u H =mb0 1∈ GL(2, Z7) | m, b ∈ Z7,m= ±1, trong d¯´oGL(2, Z7) l`a nh´om nhˆan c´ac ma trˆa.n vuˆong cˆa´p2kha’nghi.ch lˆa´yhˆe.sˆo´trˆentru.`o.ng Z7c´ac sˆo´nguyˆen mˆod¯ulˆo 7. Ch´u.ng minh r˘a`ng:a) H l`a nh´om con cu’a nh´om GL(2, Z7) c´o 14 phˆa`ntu.’.b) Mo.i phˆa`ntu.’cu’a H c´o thˆe’viˆe´td¯u.o c duy nhˆa´tdu.´o.ida.ng AiBj, trongd¯ ´o 0 ≤ i<7, 0 ≤ j<2v`aA =1 10 1,B=−1 00 1.17.Cho G l`a nh´om nhˆan d¯u.o c sinh bo.’i hai phˆa`ntu.’x v`a y v´o.i c´ac quan hˆe.:x3= y2=(xy)2=1.a) X´ac d¯i.nh c´ac phˆa`ntu.’cu’a nh´om G v`a lˆa.pba’ng nhˆan cu’a G.b) T`ım tˆa´tca’c´ac nh´om con cu’a nh´om G.18.Cho G l`a nh´om v´o.i ph´ep nhˆan ma trˆa.n, d¯u.o c sinh bo.’i hai ma trˆa.nhˆe.sˆo´thu c A =01−10v`a B =0110.a) X´ac d¯i.nh c´ac phˆa`ntu.’cu’a nh´om G.b) T`ım tˆa´tca’c´ac nh´om con cu’a G.19.Cho G l`a mˆo.t nh´om nhˆan v`a n l`a mˆo.tsˆo´nguyˆen du.o.ng sao chofn: G −→ G : x → xnl`a mˆo.t to`an cˆa´u nh´om. Ch´u.ng minh r˘a`ng:a) xn−1y = yxn−1, ∀x, y ∈ G.b) V´o.i n =3,Gl`a mˆo.t nh´om aben.20.Cho G l`a mˆo.t nh´om sao cho c´o mˆo.tsˆo´nguyˆen n>1 thoa’m˜an (xy)n=xnyn, ∀x, y ∈ G.Go.i G(n)= {xn| x ∈ G} v`a G(n)= {x ∈ G | xn=1}.Ch´u.ng minh r˘a`ng:a) G(n)Gv`a G(n)G.b) G/G(n)∼=G(n).21.a) Cho H l`a nh´om con cu’a nh´om nhˆan C∗= C \{0} gˆo`m c´ac sˆo´ph´u.cc´omˆod¯un b˘a`ng 1, R∗+l`a nh´om nhˆan gˆo`m c´ac sˆo´thu cdu.o.ng. Ch´u.ng minh r˘a`ngC∗/H d¯ ˘a’ng cˆa´uv´o.i R∗+.4 b) Cho f : G −→ H l`a mˆo.t to`an cˆa´u nh´om, M l`a mˆo.t nh´om con chuˆa’nt˘a´ccu’a H , N = f−1(M). Ch´u.ng minh r˘a`ng N l`a nh´om con chuˆa’nt˘a´ccu’a G v`aG/N d¯ ˘a’ng cˆa´uv´o.i H/M.22.Ch´u.ng minh r˘a`ng:a) Nˆe´u G l`a nh´om cyclic th`ı Aut(G) l`a nh´om aben.b) Nˆe´u G l`a nh´om cyclic cˆa´p p nguyˆen tˆo´th`ı Aut(G) l`a cyclic cˆa´p p − 1.23.Cho f : G −→ K l`a mˆo.td¯ˆo`ng cˆa´u nh´om. Ch´u.ng minh r˘a`ng:a) Nˆe´ucˆa´pcu’a G l`a h˜u.uha.nth`ıcˆa´pcu’a f(G) chia hˆe´tcˆa´pcu’a G.b) Nˆe´u H l`a nh´om con c´o chı’sˆo´n trong G, Kerf ⊂ H v`a f l`a to`an cˆa´uth`ıf(H) c´o chı’sˆo´n trong K.24.Cho G l`a mˆo.t nh´om, Cg: G −→ G l`a ´anh xa.v´o.i g ∈ G x´ac d¯i.nh bo.’i Cg(x)=gxg−1.Go.i Aut(G)={f : G −→ G | f l`a d¯˘a’ng cˆa´u } , Inn(G)={Cg| g ∈ G}.Ch´u.ng to’r˘a`ng:a) Cgl`a mˆo.ttu d¯ ˘a’ng cˆa´u, Aut(G)l`amˆo.t nh´om v´o.i ph´ep to´an ho p th`anhv`a Inn(G)l`amˆo.t nh´om con chuˆa’nt˘a´ccu’a Aut(G).b) Z(G)={a ∈ G | ax = xa , ∀x ∈ G} l`a mˆo.t nh´om con chuˆa’nt˘a´ccu’a G(go.i l`a tˆam cu’a nh´om G)v`aG/Z(G)∼=Inn(G).25.Cho G l`a mˆo.t nh´om, v´o.i x, y ∈ G,k´yhiˆe.u[x, y]=x−1y−1xy (go.i l`a giaoho´an tu.’cu’a x v`a y). Go.i[G, G] l`a nh´om con cu’a G sinh ra bo.’itˆa.p {[x, y] | x, y ∈G}.Ch´u.ng minh r˘a`ng:a) [G, G] l`a nh´om con chuˆa’nt˘a´c nho’nhˆa´tcu’a G sao cho G/[G, G] l`a aben.b) [xy, z]=y−1[x, z]y[y, z], ∀x,y,z∈ G;c) Nˆe´u[G, G] ⊂ Z(G) (tˆam cu’a G) th`ı v´o.i a ∈ G, ´anh xa.f : G −→ G x´acd¯ i.nh bo.’i f(x)=[x, a] l`a mˆo.td¯ˆo`ng cˆa´u. T`ım Ker(f).d) H˜ay x´ac d¯i.nh [S3,S3], trong d¯´o S3l`a nh´om c´ac ho´an vi.cu’a3sˆo´1, 2, 3v`a ch´u.ng minh S3/S3∼=Z2.26.Cho G l`a mˆo.t nh´om, a ∈ G l`a phˆa`ntu.’c´o cˆa´ph˜u.uha.n n.Ch´u.ng minhr˘a`ng v´o.imo.isˆo´nguyˆen du.o.ng m,cˆa´pcu’a phˆa`ntu.’aml`aord (am)=n(m, n),trong d¯´o (m, n)l`au.´o.c chung l´o.n nhˆa´tcu’a m v`a n.27.a) Cho G =<g>l`a nh´om cyclic cˆa´p 168. T`ım cˆa´pcu’a phˆa`ntu.’g132.b) T`ım tˆa´tca’c´ac phˆa`ntu.’cˆa´p 14 cu’a nh´om cˆo.ng Z140c´ac sˆo´nguyˆen mˆod¯ulˆo140.5 28.Cho C l`a mˆo.t nh´om cyclic sinh bo.’i phˆa`ntu.’a.Ch´u.ng minh r˘a`ng:a) Nˆe´u G l`a mˆo.t nh´om con cu’a C th`ı G c˜ung l`a mˆo.t nh´om cyclic.b) Nˆe´u C l`a nh´om h˜u.uha.nv`am l`a sˆo´nguyˆen du.o.ng u.´o.ccu’a |C| th`ı tˆo`nta.i duy nhˆa´t nh´om con G cu’a C sao cho |G| = m.c) Nˆe´u C l`a nh´om vˆo ha.nth`ıC c´o 2 phˆa`ntu.’sinh l`a a v`a a−1.d) Nˆe´u |C| = n th`ı aml`a phˆa`ntu.’sinh cu’a C khi v`a chı’khi m v`a n nguyˆentˆo´c`ung nhau.29.X´et nh´om cˆo.ng Q c´ac sˆo´h˜u.utı’.Ch´u.ng minh r˘a`ng ´anh xa.f : Q −→ Q l`ad¯ ˆo`ng cˆa´u nh´om khi v`a chı’khi tˆo`nta.i duy nhˆa´tmˆo.tsˆo´a ∈ Q sao cho f(x)=ax, ∀x ∈ Q.30.Cho m v`a n l`a hai sˆo´nguyˆen du.o.ng nguyˆen tˆo´c`ung nhau. Ch´u.ng minhd¯ ˘a’ng cˆa´u nh´om Zm× Zn∼=Zmn.T`u.d¯´o suy ra Z3× Z2khˆong d¯˘a’ng cˆa´uv´o.inh´om d¯ˆo´ix´u.ng S3.31.Cho G l`a mˆo.t nh´om, M v`a N l`a hai nh´om con chuˆa’nt˘a´ccu’a G sao choG = MN.Ch´u.ng minh r˘a`ngG/(M ∩ N )∼=G/M × G/N.32.a) Trˆen tˆa.pho p G = Z3,v´o.i Z l`a tˆa.p c´ac sˆo´nguyˆen, x´et ph´ep to´an haingˆoi:∀(a, b, c), (a,b,c) ∈ G, (a, b, c) ∗ (a,b,c)=(a + a,b+ b,c+ c− ba).Ch´u.ng minh r˘a`ng (G,∗)l`amˆo.t nh´om khˆong aben.b) Trˆen tˆa.pho p R2c´ac c˘a.psˆo´thu c, x´et ph´ep to´an ◦:(x, y) ◦ (x,y)=(xx− yy,yx+ xy).(R2,◦)c´ol`amˆo.t nh´om khˆong?33.X´et nh´om R c´ac sˆo´thu cv´o.i ph´ep to´an hai ngˆoi:∀x, y ∈ R,x∗ y = x1+y2+ y1+x2v`a ´anh xa.f : R −→ R x´ac d¯i.nh bo.’i f(x)=ex− e−x2.Ch´u.ng minh r˘a`ng f l`amˆo.td¯˘a’ng cˆa´ut`u.nh´om (R, +) lˆen nh´om (R,∗).34.K´y hiˆe.u Unl`a nh´om nhˆan c´ac phˆa`ntu.’kha’nghi.ch cu’a v`anh Znc´ac sˆo´nguyˆen mˆod¯ulˆo n.a) Lˆa.pba’ng nhˆan cu’a U22v`a ch´u.ng minh r˘a`ng U22l`a mˆo.t nh´om cyclic.b) U24c´o l`a nh´om cyclic khˆong? V`ı sao?6 35.Cho R l`a mˆo.t v`anh c´o d¯o.nvi.1. Trˆen R, x´et ph´ep to´an ∗:x ∗ y = x + y − xy.K´y hiˆe.u R∗= {x ∈ R |∃y ∈ R, x ∗ y = y ∗ x =0}.Ch´u.ng minh r˘a`ng:a) (R∗,∗)l`amˆo.t nh´om.b) R∗∼=U(R), v´o.i U (R) l`a nh´om c´ac phˆa`ntu.’kha’nghi.ch cu’a v`anh R.36.X´et nh´om thay phiˆen A4(nh´om con cu’a nh´om d¯ˆo´ix´u.ng S4gˆo`m c´ac ph´epthˆe´ch˘a˜nbˆa.c 4).a) Ch´u.ng to’r˘a`ng nh´om A4khˆong c´o nh´om con cˆa´p6.b) T`ım tˆa´tca’c´ac p-nh´om con Sylow cu’a A4v´o.i p = 2 v`a 3.37.Cho G l`a mˆo.t nh´om h˜u.uha.nc´ocˆa´pl`aprm,v´o.i r ≥ 1v`ap |m.Ch´u.ngminh r˘a`ng:a) Nˆe´u P l`a mˆo.t p-nh´om con Sylow cu’a G v`a H l`a mˆo.t p-nh´om sao choP ⊂ H ⊂ G th`ı H = P .b) Nˆe´u G chı’c´o p-nh´om con Sylow duy nhˆa´tl`aP th`ı PG.38.Cho G l`a mˆo.t nh´om h˜u.uha.nc´ocˆa´pl`apq, trong d¯´o p v`a q l`a hai sˆo´nguyˆentˆo´m`a p<q.Ch´u.ng minh r˘a`ng:a) G c´o mˆo.t v`a chı’mˆo.t nh´om con cˆa´p q.b) Nˆe´u q =1+kp v´o.isˆo´nguyˆen k t `u y ´y t h ` ı G l`a nh´om cyclic cˆa´p pq.39.Cho G l`a mˆo.t nh´om nhˆan h˜u.uha.n sao cho G c´o mˆo.ttu d¯ ˘a’ng cˆa´u ϕ thoa’m˜an ϕ(a) = a, ∀a =1G.Ch´u.ng minh r˘a`ng:a) V´o.imo.i α ∈ G,tˆo`nta.i g ∈ G sao cho α = g−1ϕ(g).b) Nˆe´u ϕ c´o cˆa´pb˘a`ng 2, t´u.cl`aϕ = id v`a ϕ2= id th`ı ϕ(α)=α−1v´o.imo.iα ∈ G v`a G l`a mˆo.t nh´om aben c´o cˆa´p l`a mˆo.tsˆo´le’.7 TRA’L`O.IV`AHU.´O.NG DˆA˜N GIA’IB`AI TˆA.PCHU.O.NG I – NH´OM1.∀a, b, c ∈ Q, (a∗ b) ∗ c =(a + b + ab)∗ c = a + b + ab + c + ac + bc + abc =a + b + c + bc + ab + ac + abc = a∗ (b + c + bc)=a ∗ (b ∗ c), hay ph´ep to´an ∗c´o t´ınh kˆe´tho p. ∀a ∈ Q,a∗ 0=0∗ a = a hay 0 l`a phˆa`ntu.’d¯ o.nvi.cu’a Q d¯ ˆo´iv´o.i ph´ep to´an ∗. Do d¯´o Q v´o.i ph´ep to´an ∗ l`a mˆo.tvi.nh´om, nhu.ng khˆong pha’il`a mˆo.t nh´om, v`ı phˆa`ntu.’a = −1 khˆong c´o phˆa`ntu.’nghi.ch d¯a’o.T`u.a + b + ab +1 = (a + 1)(b + 1), ta c´o ∀a, b ∈ Q \{−1},a∗ b = −1haya ∗ b ∈ Q \{−1}. Do d¯´o Q \{−1} l`a mˆo.tvi.nh´om v´o.i ph´ep to´an ∗. Ngo`ai ra,∀a ∈ Q \{−1},ac´o phˆa`ntu.’nghi.ch d¯a’ol`a−a1+a∈ Q \{−1}.Vˆa.y Q \{−1}l`a mˆo.t nh´om v´o.i ph´ep to´an ∗.2.∀(a, b), (a,b), (a,b) ∈ G, ((a, b)(a,b))(a,b)=(ab+ a,bb)(a,b)=(abb+ ab+ a,bbb)=(a, b)(ab+ a,bb)=(a, b)((a,b)(a,b)) hayph´ep to´an nhˆan c´o t´ınh kˆe´tho p. ∀(a, b) ∈ G, (a, b)(0, 1) = (0, 1)(a, b)=(a, b) hay (0, 1) l`a phˆa`ntu.’d¯ o.nvi.cu’a G. ∀(a, b) ∈ G, (a, b)(−ab,1b)=(−ab,1b)(a, b)=(0, 1) hay (a, b) c´o phˆa`ntu.’nghi.ch d¯a’ol`a(−ab,1b). Vˆa.y Gl`a mˆo.t nh´om.H = ∅ v`ı(0, 1) ∈ H. ∀(a, 1), (a, 1) ∈ H, (a, 1)(a, 1)−1=(a, 1)(−a1,11)=(a − a, 1) ∈ H.Vˆa.y H l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.3. a)∀(x, y), (x,y), (x,y) ∈ G,((x, y)∗(x,y))∗(x,y)=(xx,xy+yx)∗(x,y)=(xxx,xxy+xyx+yxx)=(x(xx),x(xy+yx)+yxx)=(x, y) ∗ (xx,xy+yx)=(x, y) ∗ ((x,y) ∗(x,y)).∀(x, y) ∈ G, (x, y) ∗ (1, 0) = (x, y)=(0, 1) ∗ (x, y).∀(x, y) ∈ G, (x, y) ∗ (1x,−y)=(1, 0) = (1x,−y) ∗ (x, y).Vˆa.y G l`a mˆo.t nh´om.b) (1, 0) = (1,k(1−11)) ∈ Hknˆen Hk= ∅.∀(x, k(x−1x)), (y, k(y −1y)) ∈ Hk,(x, k(x−1x))∗(y, k(y−1y))−1=(x, k(x−1x))∗(1y,k(1y−y)) = (xy,k(xy−yx)) ∈Hk.(x, k(x−1x))∗ (y, k(y−1y)) = (xy, k(xy−1xy)) = (y, k(y−1y))∗ (x, k(x−1x)).Vˆa.y Hkl`a mˆo.t nh´om con giao ho´an cu’a G.8 c) Z(G)={(x, y) | (x, y) ∗ (a, b)=(a, b) ∗ (x, y), ∀(a, b) ∈ G}= {(x, y) | (xa, xb +ya)=(ax, ay +bx), ∀(a, b) ∈ G}= {(x, y) | b(x −1x)=y(a −1a), ∀(a, b) ∈ G}= {(x, y) | x −1x=0,y=0}= {(1, 0), (−1, 0)}.4.Tru.´o.chˆe´t ta c´o ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, [x + n]=[x]+n.∀x, y ∈ G, (x⊕ y)=x + y − [x + y]=y + x − [y + x]=y ⊕ x.∀x,y,z∈ G, (x⊕ y)⊕ z = x⊕ y + z − [x⊕ y + z]=x + y − [x + y]+z − [x +y + z− [x + y]] = x + y + z− [x + y]− [x + y + z]+[x +y]=x +y + z−[x +y + z]=x + y + z− [y + z]− [x + y + z]+[y + z]=x+ y + z− [y + z]− [x+ y + z− [y + z]] =x + y ⊕ z − [x + y ⊕ z]=x ⊕ (y ⊕ z).∀x ∈ G, [x]=0nˆenx ⊕ 0=x +0− [x +0]=x.∀x ∈ G,nˆe´u x =0th`ı0⊕ 0=0,nˆe´u x =0th`ı1− x ∈ G v`a x⊕ (1− x)=0.Vˆa.y(G,⊕)l`amˆo.t nh´om aben.b) ∀x, y ∈ G, f(x ⊕ y) = cos 2π(x ⊕ y)+i sin 2π(x ⊕ y) = cos(2πx +2πy−2π[x + y]) + i sin(2πx +2πy − 2π[x + y]) = cos(2πx +2πy)+i sin(2πx +2πy)=(cos 2πx + i sin 2πx)(cos 2πy + i sin 2πy)=f (x)f (y).Vˆa.y f l`a mˆo.td¯ˆo`ng cˆa´u nh´om.5.Gia’su.’G l`a mˆo.t nh´om m`a khˆong c´o nh´om con thu csu n`ao. Nˆe´u G = {1}th`ı tˆo`nta.i a ∈ G v´o.i a = 1. Nh´om con <a>cu’a G sinh ra bo.’i a kh´ac {1}nˆen pha’ib˘a`ng G hay G l`a nh´om cyclic. Nˆe´u G c´o cˆa´p p v`a gia’su.’p = mn v´o.i1 <m,n<pth`ı G c´o nh´om con cˆa´p m, d¯ˆay l`a nh´om con thu csu cu’a G.D-iˆe`umˆau thuˆa’n n`ay dˆa˜n d¯ ˆe´n p l`a sˆo´nguyˆen tˆo´.6.Gia’su.’G/H = <aH>(a ∈ G). ∀x, y ∈ G, ∃m, n ∈ Z sao cho xH =(aH)m= amH, yH =(aH)n= anH. Khi d¯´o x = amu v`a y = anv,v´o.iu, v ∈ H (nˆen thuˆo.c Z(G)).xy = amuanv = amanuv = am+nvu = anamvu = anvamu = yx.Vˆa.y G l`a mˆo.t nh´om aben.7.a) G c´o d¯´ung hai l´o.pkˆe`l`a xH v`a H, trong d¯´o x/∈ H. Khi d¯´o, v´o.imo.ig ∈ G = H ∪ xH,v´o.imo.i a ∈ H,tac´ogag−1∈ H khi g ∈ H v`a khi g/∈ Hngh˜ıa l`a g = xh v´o.i h ∈ H th`ı gag−1= xhah−1x−1∈ H,v`ınˆe´u ngu.o cla.ixhah−1x−1= xhv´o.i h∈ H hay x = h−1hah−1∈ H,d¯iˆe`u n`ay vˆo l´y. Do d¯´oHG.b) Do HG nˆen ta c´o nh´om thu.o.ng G/H c´o cˆa´pl`a|G/H| =[G : H]=m.Do d¯´o v´o.imo.i a ∈ G, aH ∈ G/H,tac´oamH =(aH)m= H hay am∈ H.9 8.– AB ≤ G:x ∈ AB ⇒ x−1∈ AB (v`ı AB ≤ G) ⇒ x−1= ab, a ∈ A, b ∈ B ⇒ x =b−1a−1∈ BA (v`ı b−1∈ B v`a a−1∈ A). Do d¯´o AB ⊂ BA.x ∈ BA ⇒ x = ba, b ∈ B, a ∈ A ⇒ x−1= a−1b−1∈ AB (v`ı a−1∈ A v`ab−1∈ B) ⇒ x ∈ AB (v`ı AB ≤ G). Do d¯´o BA ⊂ AB.Vˆa.y AB = BA.– AB = BA:1=1.1 ∈ AB ⇒ AB = ∅.x, x1∈ AB ⇒ x = ab, x1= a1b1,a,a1∈ A, b, b1∈ B ⇒ xx−11= abb−11a−11.b= bb−11∈ B ⇒ ba−11∈ BA = AB ⇒ ba−11= a2b2,a2∈ A, b2∈ B ⇒xx−11= aba−11= aa2b2∈ AB (v`ı aa2∈ A v`a b2∈ B).Vˆa.y AB l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.9.a) K´y hiˆe.u1l`ad¯o.nvi.cu’a G.1 ∈ A ∧ 1 ∈ B ⇒ 1 ∈ A ∩ B ⇒ A ∩ B = ∅.∀x, y ∈ A ∩ B ⇒ x, y ∈ A ∧ x, y ∈ B ⇒ xy−1∈ A ∧ xy−1∈ B ⇒xy−1∈ A ∩ B.Vˆa.y A ∩ B l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.b) Gia’su.’A ∪ B l`a mˆo.t nh´om con cu’a G v`a A ⊂ B. Khi d¯´o ∃a ∈ A, a /∈ Bv`a ∀b ∈ B, c = ab ∈ A ∪ B (v`ı A ∪ B l`a mˆo.t nh´om con cu’a G)hayc ∈ A ho˘a.cc ∈ B.Nˆe´u c ∈ B th`ı a = cb−1∈ B, mˆau thuˆa’nv´o.i a/∈ B.Vˆa.y c ∈ A, suy rab = a−1c ∈ A. Do d¯´o B ⊂ A.Ngu.o cla.i, nˆe´u A ⊂ B th`ı A∪ B = B l`a mˆo.t nh´om con cu’a G v`a nˆe´u B ⊂ Ath`ı A ∪ B = A l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.c) Gia’su.’C ⊂ A ∪ B v`a C ⊂ A. Khi d¯´o ∃c0∈ C, c0/∈ A nˆen c0∈ B (v`ıc0∈ A ∪ B).∀c ∈ C (⇒ c ∈ A∪B ⇒ c ∈ A ∨ c ∈ B) ⇒ b = cc0∈ C ⇒ b ∈ A ∨ b ∈ B.–V´o.i c ∈ A,nˆe´u b ∈ A th`ı c0= c−1b ∈ A, mˆau thuˆa’nv´o.i c0/∈ A.Vˆa.yb ∈ B,nˆenc = bc−10∈ B.–V´o.i c ∈ B th`ı b`ai to´an d¯u.o cch´u.ng minh; t´u.c l`a, C ⊂ B.10.a) ∀x, y ∈ G, x2y2=(xy)2(= 1) hay xxyy = xyxy, do d¯´o xy = yx.Vˆa.y Gl`a mˆo.t nh´om aben.b) Xem ph´ep to´an trˆen G l`a ph´ep cˆo.ng, khi d¯´o ta c´o 2x =0, ∀x ∈ G.V`ıvˆa.y c´o ph´ep nhˆan vˆo hu.´o.ng cu’a Z2lˆen G:∀a ∈ Z2, ∀x ∈ G, ax = ax.Kiˆe’mch´u.ng dˆe˜d`ang G l`a mˆo.t Z2- khˆong gian vecto.,doG h˜u.uha.nnˆenGl`a khˆong gian vecto.h˜u.uha.nchiˆe`u. Gia’su.’dim G = n. Khi d¯´o G∼=Zn2hay|G| =2n.10 . Bộ giáo dục và đào tạo đại học huế trờng đại học khoa học nguyễn gia định BàI TậP ĐạI Số ĐạI CƯƠNG