Lãi suất hiệu dụng của kỳ thứ n i nk = i Trong đó : t 0 i : lãi suất k : vốn gốc Riêng đối với hàm tích luỹ và lợi tức thu được của lỳ n, ta có bảng sau : Giá trị tích luỹ đến cuối kỳ t Tổng lợi tức đạt được đến cuối kỳ t t = 1 A(t) đ = A(t) k I tđ =I tk t < 1 A(t) đ > A(t) k I tđ >I tk t > 1 A(t) đ < A(t) k I tđ <I tk Đồ thị: Ở đây, ta giả định mặc nhiên là i>0. Nếu cho vay (đầu tư) trong thời gian < 1 kỳ, nên tính theo phương pháp lãi đơn. Ngược lại, nếu thời gian cho vay (đầu tư) 1, nên tính theo phương pháp lãi kép. Ví dụ: Một người đầu tư vốn gốc ban đầu là 200 triệu đồng với lãi suất là 9%/năm. Tính giá trị tích luỹ người đó đạt được theo hai phương pháp lãi đơn và lãi kép nếu thời gian đầu tư là: 1. 1 năm. 2. 9 tháng. 3. 5 năm. Giải : k = 200.000.000 đồng. i = 9%/năm. Ta có bảng sau: Thời gian đầu tư Giá trị tích luỹ đạt được theo lãi đơn A(t) đ = k(1+ i.t) Giá trị tích luỹ đạt được theo lãi kép A(t) k = k(1+ i) t t = 1 năm A(t) đ = 200(1+9%) = 218 triệu I tđ = 18 triệu A(t) k = 200(1+9%) 1 = 218 triệu I tk = 18 triệu t = 9 tháng A(t) đ = 200(1+9%.9/12) = 213,5 triệu I tđ = 13,5 triệu A(t) k = 200(1+9%) 9/12 = 213,353 triệu I tk = 13,353 triệu t = 5 năm A(t) đ = 200(1+5.9%) = 290 triệu I tđ = 90 triệu A(t) k = 200(1+9%) 5 = 307,725 triệu I tk = 107,725 triệu Ghi chú : Trong một số trường hợp, hàm tích luỹ kết hợp cả hai tình huống : đối với phần nguyên của t, ta sử dụng hàm tích luỹ của lãi kép, và phần lẻ của t, ta sử dụng hàm tích luỹ vốn của lãi đơn. a(t) = (1+i)[t].[1+(t – [t]).i] (12) A(t) = k.a(t) (13) Trong đó : [t] là phần nguyên của t. Tiết 4, 5, 6 1.4. Vốn hoá (capitalization) và hiện tại hoá (actualisation) 1.4.1. Vốn hoá (capitalization) Ví dụ : Ông A đầu tư một khoản tiền ban đầu là 3.000.000 đồng. Trong 3 năm đầu tiên, khoản đầu tư này mang lại cho ông một lãi suất kép là 7%/năm. Cuối năm thứ 3, ông A lại tái đầu tư toàn bộ giá trị tích luỹ đạt được trong vòng 4 năm, mỗi năm đạt lãi suất kép là 8%. Hỏi giá trị tích lũy ông A có được vào cuối năm thứ 7 là bao nhiêu ? Giải : A(3) = k.(1+i 1 ) 3 = 3.000.000 x (1+7%) 3 = 3.675.129 VND A(7) = A(3).(1+i 2 ) 4 = 3.675.129 x (1+8%) 4 = 4.999.972 VND Đây là trường hợp vốn hoá, nghĩa là xác định giá trị của vốn sau một khoảng thời gian. 1.4.2. Hiện tại hoá (actualization) Bây giờ, chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm ngược lại, khái niệm hiện tại hoá, nghĩa là xác định giá trị hiện tại của một khoản vốn trong tuơng lai. Nói cách khác, hiện tại hoá là việc xác định khoản vốn gốc cần đầu tư để đến một thời điểm t, sẽ nhận được giá trị tích luỹ mong muốn. Giả sử ta mong muốn đạt được giá trị tích luỹ là 1VND sau một kỳ đầu tư với lãi suất là i. Khoản vốn phải bỏ ra đầu tư ban đầu sẽ là : Để có giá trị tích luỹ là 1VND sau t kỳ, vốn gốc đầu tư ban đầu phải là : (14) Trong đó : a(t) là hàm vốn hoá a(t) -1 là hàm hiện tại hoá Vốn gốc đầu tư ban đầu để đạt giá trị tích luỹ là k sau k kỳ là : A(t) -1 gọi là giá trị hiện tại của A(t). Như vậy : Nếu dùng phương pháp lãi đơn : (15) Nếu dùng phương pháp lãi kép : (16) Ví dụ: Một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền theo lãi kép với lãi suất 7,8%/năm. Sau 3 năm 9 tháng thu được 50 triệu đồng. Tính giá trị của số tiền gửi ban đầu. Giải: i = 7,8%/năm. t = 3 năm 9 tháng = 3,75. A(t) = 50.000.000 đồng. 1.5. Lãi suất chiết khấu hiệu dụng (effective rate of discount) 1.5.1. Lãi suất chiết khấu hiệu dụng Lãi suất chiết khấu hiệu dụng của kỳ thứ nhất, ký hiệu là d 1 là tỷ số giữa lợi tức thu được trong kỳ này và giá trị tích luỹ cuối kỳ thứ nhất. (17) Có thể viết công thức tính d 1 theo hàm vốn hoá như sau : (18) hay a(1) = (1-d 1 ) -1 vì a(0) = 1 Lãi suất chiết khấu hiệu dụng của kỳ n, d n , là : . lãi suất kép là 8%. Hỏi giá trị tích lũy ông A có được vào cuối năm thứ 7 là bao nhiêu ? Giải : A (3) = k.(1+i 1 ) 3 = 3. 000.000 x (1+7%) 3 = 3. 675.129 VND A(7) = A (3) .(1+i 2 ) 4 = 3. 675.129. lãi suất 7,8%/năm. Sau 3 năm 9 tháng thu được 50 triệu đồng. Tính giá trị của số tiền gửi ban đầu. Giải: i = 7,8%/năm. t = 3 năm 9 tháng = 3, 75. A(t) = 50.000.000 đồng. 1.5. Lãi suất. triệu t = 9 tháng A(t) đ = 200(1+9%.9/12) = 2 13, 5 triệu I tđ = 13, 5 triệu A(t) k = 200(1+9%) 9/12 = 2 13, 3 53 triệu I tk = 13, 3 53 triệu t = 5 năm A(t) đ = 200(1+5.9%) = 290 triệu