Giáo trình Toán học phần 10 potx

Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 147 a 0 + b 0 ln = 2 0 d)(g 2 1 a 0 + b 0 lnR = 2 0 d)(h 2 1 a k k + b k -k = 2 0 dkcos)(g 1 a k R k + b k R -k = 2 0 dkcos)(h 1 c k k + d k -k = 2 0 dksin)(g 1 c k R k + d k R -k = 2 0 dksin)(h 1 (8.6.12) Định lý Cho các hàm g, h C 1 ([0, 2], 3) thoả mn g(0) = g(2), h(0) = h(2). Chuỗi hàm (8.6.11) với các hệ số a k , b k , c k và d k xác định từ hệ phơng trình (8.6.12) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1b. Đ7. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật Bài toán DE2a Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm g a C([0, l], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 2 2 2 2 y u x u + = 0 với (x, y) D 0 (8.7.1) và điều kiện biên u(x, 0) = g a (x), u(x, d) = u(0, y) = u(l, y) = 0 (8.7.2) Tìm nghiệm của bài toán DE2a dạng tách biến u(x, y) = X(x)Y(y) Thay vào phơng trình (8.7.1) đa về hệ phơng trình vi phân X(x) + X(x) = 0 Y(y) - Y(y) = 0 X(0) = X(l) = Y(d) = 0 với 3 (8.7.3) Bài toán (8.7.3) có họ nghiệm riêng độc lập X k (x) = A k sin x l k , Y k (y) = B k sh )yd( l k , k = 2 l k với k * Suy ra có họ nghiệm riêng độc lập của bài toán DE2a u k (x, y) = a k sh )yd( l k sin x l k với a k = A k B k 3, k * Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE2a dạng chuỗi hàm Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Trang 148 Giáo Trình Toán Chuyên Đề u(x, y) = + =1k k )y,x(u = + = 1k k x l k sin)yd( l k sha (8.7.4) Thế vào điều kiện biên (8.7.2) u(x, 0) = + = 1k k x l k sin l dk sha = g a (x) Nếu hàm g a có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, l] thì a k = l 0 a xdx l k sin)x(g l dk lsh 2 (8.7.5) Định lý Cho hàm g a C 1 ([0, l], 3 ) thoả mn g a (0) = g a (l) = 0. Chuỗi hàm (8.7.4) với hệ số a k tính theo công thức (8.7.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE2a. Lập luận tơng tự nh trên, chúng ta giải các bài toán sau đây. Bài toán DE2b Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm g b C([0, d], 3 ). Tìm hàm u C(D, 3 ) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và điều kiện biên u(l, y) = g b (y), u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0 Định lý Cho hàm g b C 1 ([0, d], 3 ) thoả mn g b (0) = g b (d) = 0. Bài toán DE2b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, y) = + = 1k k y d k sinx d k shb với b k = d 0 b ydy d k sin)y(g d lk dsh 2 (8.7.6) Bài toán DE2c Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm g c C([0, l], 3 ). Tìm hàm u C(D, 3 ) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và điều kiện biên u(x, d) = g c (x), u(0, x) = u(x, 0) = u(l, y) = 0 Định lý Cho hàm g c C 1 ([0, l], 3 ) thoả mn g c (0) = g c (l) = 0. Bài toán DE2c có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, y) = + = 1k k x l k siny l k shc với c k = l 0 c xdx l k sin)x(g l dk lsh 2 (8.7.7) Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 149 Bài toán DE2d Cho D = [0, l] ì [0, d] và hàm g d C([0, d], 3). Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và điều kiện biên u(0, y) = g d (y), u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0 Định lý Cho hàm g d C 1 ([0, d], 3) thoả mn g d (0) = g d (d) = 0. Bài toán DE2d có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, y) = + = 1k k y d k sin)xl( d k shd với d k = d 0 d ydy d k sin)y(g d lk dsh 2 (8.7.8) Bài toán DE2 Cho miền D = [0, l] ì [0, d], các hàm g 1 , g 3 C([0, l], 3) và g 2 , g 4 C([0, d], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và điều kiện biên u(x, 0) = g 1 (x), u(l, y) = g 2 (y), u(x, d) = g 3 (x), u(0, y) = g 4 (y) Tìm nghiệm của bài toán DE2 dới dạng u(x, y) = u 0 (x, y) + u â (x, y) + u b (x, y) + u c (x, y) + u d (x, y) Trong đó u (x, y) là nghiệm của bài toán DE2. Hàm u 0 (x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.7.9) là nghiệm của bài toán DE sao cho u (x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật. Do tính liên tục của hàm u(x, y) trên biên D u(0, 0) = g 4 (0) = g 1 (0) = A u(l, 0) = g 1 (l) = g 2 (0) = A + Bl u(l, d) = g 2 (d) = g 3 (l) = A + Bl + Cd + Dld u(0, d) = g 3 (0) = g 4 (d) = A + Cd Giải hệ phơng trình trên suy ra A = g 4 (0) = g 1 (0), B = l )0(g)l(g 11 , C = d )0(g)d(g 44 D = ld )0(g)l(g)0(g)l(g 1133 + = ld )0(g)d(g)0(g)d(g 4422 + (8.7.10) Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Trang 150 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Thế vào điều kiện biên suy ra g a (x) = u a (x, 0) = g 1 (x) - g 1 (0) - l x (g 1 (l) - g 1 (0)) g c (x) = u c (x, d) = g 3 (x) - g 3 (0) - l x (g 3 (l) - g 3 (0)) g b (y) = u b (l, y) = g 2 (y) - g 2 (0) - d y (g 2 (d) - g 2 (0)) g d (y) = u d (0, y) = g 4 (y) - g 4 (0) - d y (g 4 (d) - g 4 (0)) (8.7.11) Kết hợp các công thức (8.7.4) - (8.7.8) nhận đợc công thức u(x, y) = u 0 (x, y) + + = + 1k kk x l k siny l k shc)yd( l k sha + + = + 1k kk y d k sin)xl( d k shdx d k shb (8.7.12) Định lý Cho các hàm g 1 , g 3 C 1 ([0, l], 3) và g 2 , g 4 C 1 ([0, d], 3) thoả mn g 4 (0) = g 1 (0), g 1 (l) = g 2 (0), g 2 (d) = g 3 (l), g 3 (0) = g 4 (d) Chuỗi hàm (8.7.12) với hàm u 0 (x, y) xác định theo các công thức (8.7.9) - (8.7.10) và các hệ số a k , b k , c k và d k xác định theo các công thức (8.7.5) - (8.7.8) trong đó các hàm g a , g b , g c và g d xác định theo công thức (8.7.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE2. Đ8. Bài toán Neumann Bài toán NE1 Cho miền D = [0, R] ì [0, 2] và hàm h C([0, 2], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 2 2 2 u r 1 r u r rr 1 + = 0 với (r, ) D 0 (8.8.1) và điều kiện biên r u (R, ) = h( ) (8.8.2) Tìm nghiệm của bài toán NE1 dạng tách biến u(r, ) = V(r) ( ) Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 151 Thay vào phơng trình (8.8.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân () + () = 0 r 2 V(r) + rV(r) - V(r) = 0, 3 (8.8.3) Bài toán (8.8.3) có họ nghiệm riêng độc lập u 0 = a 0 , u k (r, ) = r k (a k cosk + b k sink) với a k = C k A k , b k = C k B k , k * Tìm nghiệm tổng quát của bài toán NE1 dạng chuỗi hàm u(r, ) = a 0 + + = + 1k kk k )ksinbkcosa(r (8.8.4) Thế vào điều kiện biên (8.8.2) r u (R, ) = + = + 1k kk 1k )ksinbkcosa(kR = h() Nếu hàm h có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì a 0 = u(0, ) a k = 2 0 1k dkcos)(h Rk 1 , b k = 2 0 1k dksin)(h Rk 1 (8.8.5) Định lý Cho h C 1 ([0, 2], 3) thoả mn h(0) = h(2). Chuỗi hàm (8.8.4) với các hệ số a k và b k tính theo công thức (8.8.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE1. Lập luận tơng tự nh các bài toán DE2 chung ta giải các bài toán sau đây Bài toán NE2b Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h b C([0, d], 3). Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 2 2 2 2 y u x u + = 0 với (x, y) D 0 và các điều kiện biên u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0, x u (l, y) = h b (y) Định lý Cho hàm h b C 1 ([0, d], 3). Bài toán NE2b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, y) = + = 1k k y d k sinx d k shb với b k = d 0 b ydy d k sin)y(h d lk chk 2 (8.8.6) Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Trang 152 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Bài toán NE2d Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h d C([0, d], 3). Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và các điều kiện biên u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0, x u (0, y) = h d (y) Định lý Cho hàm h d C 1 ([0, d], 3). Bài toán NE2d có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, y) = + = 1k k y d k sin)xl( d k shd với d k = d 0 d ydy d k sin)y(h d lk chk 2 (8.8.7) Bài toán NE2 Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và các hàm g 1 , g 3 C([0, l], 3) và h 2 , h 4 C([0, d], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và các điều kiện biên u(x, 0) = g 1 (x), u(x, d) = g 3 (x) và x u (l, y) = h 2 (y), x u (0, y) = h 4 (y) Tìm nghiệm của bài toán NE2 dới dạng u(x, y) = u 0 (x, y) + u a (x, y) + u b (x, y) + u c (x, y) + u d (x, y) (8.8.8) Trong đó các hàm u a (x, y) và u c (x, y) là nghiệm của bài toán DE2a và DE2c, các hàm u b (x, y) và u d (x, y) là nghiệm của bài toán NE2b và NE2d, còn hàm u 0 (x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.8.9) là nghiệm của bài toán DE sao cho u (x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật Lập luận tơng tự nh bài toán DE2 suy ra A = g 1 (0) B = l )0(g)l(g 11 C = d )0(g)0(g 13 D = ld )0(g)0(g)l(g)l(g 1313 + (8.8.10) Thế vào điều kiện biên suy ra Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 153 g a (x) = g 1 (x) - g 1 (0) - l x (g 1 (l) - g 1 (0)) g c (x) = g 3 (x) - g 3 (0) - l x (g 3 (l) - g 3 (0)) h b (y) = h 2 (y) - (B + Dy) = h 2 (y) - l )0(g)l(g 11 - l )0(g)0(g)l(g)l(g d y 1313 + h d (y) = h 4 (y) - (B + Dy) = h 4 (y) - l )0(g)l(g 11 - l )0(g)0(g)l(g)l(g d y 1313 + (8.8.11) Kết hợp các công thức (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) và (8.8.8) suy ra công thức u(x, y) = u 0 (x, y) + + = + 1k kk x l k siny l k shc)yd( l k sha + + = + 1k kk y d k sin)xl( d k shdx d k shb (8.8.12) Định lý Cho các hàm g 1 , g 3 C 1 ([0, l], 3) và g 2 , g 4 C 1 ([0, d], 3) thoả mn a g (0) = h d (0), a g (l) = h b (0) và c g (0) = h d (d), c g (l) = h b (d) Chuỗi hàm (8.8.12) với hàm u 0 (x, y) xác định theo các công thức (8.8.9) - (8.8.10) và các hệ số a k và c k xác định theo các công thức (8.7.5) và (8.7.7) còn các hệ số b k và d k xác định theo các công thức (8.8.6) và (8.8.7) với các hàm g a , g c , h b và h d xác định theo công thức (8.8.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE2. Bài tập chơng 8 Giải các bài toán Cauchy 1. t u = a 2 2 2 x u u t=0 = 2 x xe 2. t u = a 2 2 2 x u + 3xt 2 u t=0 = sinx 3. t u = a 2 2 2 x u + xe -t u t=0 = cosx 4. t u = a 2 2 2 x u + te -x u t=0 = sinx Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Trang 154 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Giải các bài toán giả Cauchy 5. t u = a 2 2 2 x u + xsint u t=0 = sinx, u(0, t) = 0 6. t u = a 2 2 2 x u + tsinx u t=0 = xcosx, u(0, t) = e t 7. t u = a 2 2 2 x u + te -x u t=0 = cosx , x u (0, t) = sint 8. t u = a 2 2 2 x u + xe -t u t=0 = sinx , x u (0, t) = cost Giải các bài toán hỗn hợp sau đây 9. t u = a 2 2 2 x u u t=0 = x(l - x), u(0, t) = u(l, t) = 0 10. t u = a 2 2 2 x u + tsinx u t=0 = sinx, u(0, t) = u(l, t) = 0 11. t u = a 2 2 2 x u + tcosx u t=0 = cosx , u(0, t) = 0, u(l, t) = t 12. t u = a 2 2 2 x u + 3xt 2 u t=0 = 0, u(0, t) = 0, u(l, t) = Asint 13. t u = a 2 2 2 x u + (1 - x)e t u t=0 = 1, u(0, t) = e t , u(l, t) = 0 14. t u = a 2 2 2 x u + xe t u t=0 = 2x, u(0, t) = 0, u(l, t) = e t Giải bài toán Dirichlet trong hình tròn 15. u = 0 với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] và u r=2 = x 2 - xy + 2 16. u = 0 với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] và u(2, ) = A + Bsin 17. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và u(1, ) = sin 3 18. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và u(1, ) = cos 4 19. u = 0 với (r, ) [0, R] ì [0, 2] và u(R, ) = 0 Giải bài toán Dirichlet trong hình vành khăn 20. u = 0 với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] và u(1, ) = A, u(2, ) = B 21. u = 0 với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] và u(1, ) = 1 + cos 2 , u(2, ) = sin 2 22. u = 0 với (r, ) [0, R] ì [0, ] và u(r, 0) = u(r, ) = 0, u(R, ) = A Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 155 Giải bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật 23. u = 0 với (x, y) [0, a] ì [0, b] u(0, y) = Ay(b - y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = Bsin a x , u(x, b) = 0 24. u = 0 với (x, y) [0, ] ì [-1, 1] u(0, y) = u(, y) = 0, u(x, -1) = u(x, 1) = sin2x 25. u = 0 với (x, y) [0, a] ì [0, +) u(0, y) = u(a, y) = 0, u(x, 0) = A(1 - a x ), u(x, +) = 0 Giải bài toán Neuman trong hình tròn 26. u = 0 với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] và r u (2, ) = A 27. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và r u (1, ) = 2cos 29. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và r u (1, ) = - sin Giải bài toán hỗn hợp trong hình chữ nhật 29. u = 0 với (x, y) [0, a] ì [0, b] u(0, y) = A, u(a, y) = By, y u (x, 0) = y u (x, b) = 0 30. u = 0 với (x, y) [0, a] ì [0, b] u(0, y) = A, u(a, y) = By, y u (x, 0) = y u (x, b) = 0 31. u = 0 với (x, y) [0, ] ì [0, ] u(x, 0) = A, u(x, ) = Bx, x u (0, y) = cosy, x u (, y) = siny 32. u = -2 với (x, y) [0, a] ì [-b, b] u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = u(x, b) = 0 Trang 156 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Tài Liệu Tham Khảo [1] Đặng Đình Ang - Trần Lu Cờng - Huỳnh Bá Lân - Nguyễn Văn Nhân (2001) Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, Hà nội [2] Đậu Thế Cấp (1999) Hàm một biến phức, NXB Giáo dục, Hà nội [3] Dơng Tôn Đảm (1992) Phơng trình vật lý - toán, NXB Đại học & GDCN, Hà nội [4] G.M Fichtengon (1972) Cơ sở giải tích toán học, Tập 2, NXB Đại học & THCN, Hà nội [5] Phan Bá Ngọc (1980) Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace, NXB Đại học & THCN, Hà nội [6] B.V Sabat (1979) Nhập môn giải tích phức, Tập 1, NXB Đại học & THCN, Hà nội [7] Nguyễn Thuỷ Thanh (1985) Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học & THCN, Hà nội [8] Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Trọng Thái (1977) Phơng trình vật lý - toán, NXB Đại học & THCN, Hà nội [9] A.V Oppenheim & A.S Willsky (1997) Signals & Systems, Prentice Hall, New Jersey [10] J. Monier (1997) Analyse 3 et Analyse 4, Dunod, Paris [11] W. Rudin (1998) Analyse réelle et complexe, Dunod, Paris [12] H. Pc (1978) , 2, H, [...]... 101 Đ1 Trờng vô hớng 101 Đ2 Gradient .102 Đ3 Trờng vectơ 103 Đ4 Thông lợng 104 Đ5 Ho n lu 106 Đ6 Toán tử Hamilton 107 Đ7 Trờng thế .108 Đ8 Trờng ống 110 B i tập chơng 6 111 Chơng 7 Phơng trình truyền sóng .113 Đ1 Phơng trình đạo h m... 113 Đ2 Phơng trình vật lý - toán 116 Đ3 Các b i toán cơ bản .118 Đ4 B i toán Cauchy thuần nhất 120 Đ5 B i toán Cauchy không thuần nhất 122 Đ6 B i toán giả Cauchy .124 Đ7 B i toán hỗn hợp thuần nhất 126 Đ8 B i toán hỗn hợp không thuần nhất .128 B i tập chơng 7 131 Chơng 8 Phơng trình truyền nhiệt... 133 Đ1 B i toán Cauchy thuần nhất 133 Đ2 B i toán Cauchy không thuần nhất 135 Đ3 B i toán giả Cauchy .137 Đ4 B i toán hỗn hợp thuần nhất 140 Đ5 B i toán hỗn hợp không thuần nhất .142 Đ6 B i toán Dirichlet trong hình tròn 144 Đ7 B i toán Dirichlet trong hình chữ nhật 147 Đ8 B i toán Neumann ... thặng d 73 B i tập chơng 4 76 Chơng 5 Biến đổi fourier v Biến đổi laplace 79 Đ1 Tích phân suy rộng 79 Đ2 Các bổ đề Fourier 81 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 157 Đ3 Biến đổi Fourier .83 Đ4 Tính chất của biến đổi Fourier 85 Đ5 Tìm ảnh, gốc của biến đổi Fourier 87 Đ6 Biến đổi Laplace ... Dirichlet trong hình chữ nhật 147 Đ8 B i toán Neumann 150 B i tập chơng 8 153 T i Liệu Tham Khảo .156 Mục lục 157 Trang 158 Giáo Trình Toán Chuyên Đề ... 6 Chơng 1 Số phức 5 Đ1 Trờng số phức 5 Đ2 Dạng đại số của số phức 6 Đ3 Dạng lợng giác của số phức 7 Đ4 Các ứng dụng hình học phẳng 10 Đ5 D y trị phức 12 Đ6 H m trị phức 14 Đ7 Tập con của tập số phức 16 B i tập chơng 1 19 Chơng 2 H m biến phức ... 27 Đ5 H m luỹ thừa 28 Đ6 H m mũ 30 Đ7 H m lợng giác 31 Đ8 Biến hình bảo giác 32 Đ9 H m tuyến tính v h m nghịch đảo 34 10 H m phân tuyến tính v h m Jucop 36 Đ11 Các ví dụ biến hình bảo giác 37 B i tập chơng 2 40 Chơng 3 Tích Phân Phức 43 Đ1 Tích phân phức . thuyết trờng 101 Đ1. Trờng vô hớng 101 Đ2. Gradient 102 Đ3. Trờng vectơ 103 Đ4. Thông lợng 104 Đ5. Hoàn lu 106 Đ6. Toán tử Hamilton 107 Đ7. Trờng thế 108 Đ8. Trờng ống 110 Bài tập chơng. phức, NXB Giáo dục, Hà nội [3] Dơng Tôn Đảm (1992) Phơng trình vật lý - toán, NXB Đại học & GDCN, Hà nội [4] G.M Fichtengon (1972) Cơ sở giải tích toán học, Tập 2, NXB Đại học &. nghiệm của bài toán NE1 dạng tách biến u(r, ) = V(r) ( ) Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 151 Thay vào phơng trình (8.8.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân