toan_4_Bai6_HePTVPC1 pptx

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006) NỘI DUNG 1 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2 – PHƯƠNG PHÁP KHỬ 3 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG: PHƯƠNG PHÁP TRỊ RIÊNG (CHÉO HOÁ MA TRẬN) KHÁI NIỆM (SGK, TRANG 165) Hệ m phtrình vi phân (cấp n) với m hàm ẩn: Minh hoạ m = 2 : dạng chuẩn hoá ( ) ( )    = = 0',',,, 0',',,, yxyxtG yxyxtF ( ) ( )    = = ⇔ yxtgy yxtfx ,,' ,,' VD: Hệ cấp 1    ++= +−−= t eyxty tyxtx 310)(' sin3)(' VD: Hệ cấp 2    += += txty tytx sin10)('' cos)('' Vấn đề: Biến đổi hệ cấp 1 trên về 1 ptrình vi phân và giải? PHƯƠNG PHÁP KHỬ (SGK, TRANG 166) Đưa hệ n phương trình vi phân cấp 1 về 1 phương trình vi phân cấp n: Đạo hàm lên, lần lượt khử (n – 1) ẩn khác VD: Giải ( ) ( )    ++= += 2310)(' 123)(' t eyxty yxtx ( ) ( ) ( ) ( ) )()( 0 ,, 310 23 tbtAX dt dX e tb ty tx tXA t +=⇒       =       =       = Chú ý: Hệ phương trình tuyến tính → Cách viết dạng ma trận Hệ 2 phương trình cấp 1 : Xem như tương đương 1 phương trình cấp 2 ⇒ Nghiệm chứa đúng 2 hằng số C 1 , C 2 ( ) ( ) ( ) t etxtxtx 211'6'' =−−⇒ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (SGK, TRANG 170) Hệ n hàm ẩn, n phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính: ( ) E tbxtaxtaxtatx tbxtaxtaxtatx tbxtaxtaxtatx nnnnnnn nn nn        ++++= ++++= ++++= )()()()()(' )()()()()(' )()()()()(' 2211 222221212 112121111    Ma trận: )()( tbXtA dt dX += : hệ pt ttính không thuần nhất             = )()()( )()()( )()()( 21 22221 11211 tatata tatata tatata A nnnn n n                = )( )( )( 2 1 tx tx tx X n             = )( )( )( )( 2 1 tb tb tb tb n HỆ PTVP TTÍNH THUẦN NHẤT (SGK, TRANG 170) Hệ n hàm ẩn x 1 (t), x 2 (t) … x n (t) & n phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính thuần nhất (không có vế phải) ( ) ( ) ( ) tXtA dt dX E xtaxtaxtatx xtaxtaxtatx xtaxtaxtatx nnnnnn nn nn =⇔        +++= +++= +++= 0 2211 22221212 12121111 )()()()(' )()()()(' )()()()('    Cấu trúc nghiệm hệ thuần nhất: Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất: X tq.tn (t) = c 1 X 1 (t) + c 2 X 2 (t) + … + c n X n (t), c k ∈ ℜ với hệ nghiệm X 1 (t), X 2 (t) … X n (t) là hệ nghiệm cơ sở (tức n vectơ {X 1 (t), X 2 (t) … X n (t)} độc lập tuyến tính ∀ t ∈ (a, b)) TTÍNH THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (SGK, TRANG 173) Hệ p/trình vi phân cấp 1 tuyến tính thuần nhất hệ số hằng ( ) ( ) 0 2211 22221212 12121111 )(' )(' )(' EtAX dt dX xaxaxatx xaxaxatx xaxaxatx nnnnnn nn nn =⇔        +++= +++= +++=    ( ) ( )       =             ⇒       =       2 1 2 1 2 1 12 32 c c c c ec ec ty tx t t λ λ λ ⇒ Vectơ v = [c 1 , c 2 ] T : vectơ riêng ma trận A ứng trò riêng λ! Ma trận A (cấp 2): 2 giá trò riêng thực λ 1 , λ 2 & 2 vectơ riêng độc lập tuyến tính: v 1 , v 2 ⇒ 2211tq.tn 21 vecvecX tt λλ += VD: Giải    += += yxty yxtx 2)(' 32)(' NHẮC LẠI: TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG Trò riêng: det(A – λI) = 0. Vectơ riêng v: (A – λI)v = 0 VD:       = 12 32 A ( )    = −= ⇒= − − =− 4 1 0 12 32 det 2 1 λ λ λ λ λ IA VTR v 1 = [α, β] T ứng λ 1 = –1: Av 1 = λ 1 v 1 ⇔ (A – λ 1 I)v 1 = 0 ( )       − =⇒=+⇔=             ⇔=+ 1 1 00 22 33 0 11 vvIA βα β α 2 trò riêng thực, phân biệt ⇒ 2 VTR ĐLTT ⇒ Chéo hoá 1 21 31 40 01 21 31 12 32 −       −       −       − =       =A Vectơ riêng v 2 = [α, β] T ứng với λ 2 = 4: v 2 = [3, 2] T KẾT QUẢ TỔNG QUÁT Đònh Lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A – n giá trò riêng thực λ 1 , λ 2 … λ n (không bắt buộc phân biệt), tương ứng n vectơ riêng v 1 , v 2 … v n độc lập tuyến tính ⇒ Nghiệm tổng quát thuần nhất: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ∑ = == n k k t k T n vectxtxtxtX k 1 21 ,,, λ  VD: Giải hệ    += += yxy yxx 2' 32'       = 12 32 A : 2 GTP thực, VTR ĐLTT ( ) ( )    +−= += ⇒       +       − =       =⇒ − − − tt tt tt ececty ecectx ecec y x tX 4 21 4 21 4 21 2 3 2 3 1 1 )( [ ] [ ] TT vv 23,4;11,1 2211 ==−=−= λλ Trò riêng, vectơ riêng: TỔNG QUÁT: PHƯƠNG PHÁP CHÉO HOÁ MA TRẬN Ma trận A của hệ được chéo hoá bởi ma trận P: A = PDP -1 X’(t) = AX(t) = (PDP -1 )X(t) ⇔ P -1 X’(t) = D.P -1 X(t). Đổi biến ( ) ⇒= − tXPY 1 ⇒= )()(' tDYtY ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                         =             ty ty ty ty ty ty nnn 00 00 00 ' ' ' 2 1 2 1 2 1 λ λ λ           = = = ⇔ )()(' )()(' )()(' 222 111 tyty tyty tyty nnn λ λ λ ({v 1 , … v n }: vectơ riêng) ( ) ( ) ( )        = = = ⇔ t nn t t n ecty ecty ecty λ λ λ 2 1 22 11 ∑ = ==⇒ n k k t k vecPYX k 1 λ Phải tính các vectơ riêng v 1 , … v n ; Không tính ma trận P –1 . )    +−= += ⇒       +       − =       =⇒ − − − tt tt tt ececty ecectx ecec y x tX 4 21 4 21 4 21 2 3 2 3 1 1 )( [ ] [ ] TT vv 23 ,4; 11,1 2211 ==−=−= λλ Trò riêng, vectơ riêng: TỔNG QUÁT: PHƯƠNG PHÁP. mới:       + − +             − =       ⇒+=       = te te v u v u bDYY v u Y t t sin sin32 40 01 ' ' '. ~ Hệ    ++= −+−= ⇒ tevv teuu t t sin4' sin32' ( ) ( ) ( ) ( )      +−−= −++= ⇒ − tteeCtv tteeCtu tt tt sin4cos 17 1 3 1 sincos 2 3 4 2 1 Quay. )             − +       +             − −       =       tteCtteC ty tx tt cos 1 0 sin 2 1 sin 1 0 cos 2 1 4 2 4 1 HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (THAM KHẢO) Ma trận A của X’ = AX + b(t) chéo hoá bởi ma trận P: