Đề thi thử đại học Toán 2010
Trn S Tựng TRNG THPT CHUYấN HSP H NI s 19 THI TH I HC V CAO NG NM 2010 Mụn thi: TON Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) I. PHN CHUNG (7 im) Cõu I (2 im): Cho hm s yxmx 422 21=++ (1). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1. 2) Chng minh rng ng thng yx1=+ luụn ct th hm s (1) ti hai im phõn bit vi mi giỏ tr ca m. Cõu II (2 im): 1) Gii phng trỡnh: xxx 22 2sin2sintan 4 p ổử -=- ỗữ ốứ 2) Gii h phng trỡnh: ( ) xxx 222 333 2log43log(2) log(2)4++-= Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn: I = x dx xx 3 2 0 sin cos3sin p + ũ Cõu IV (1 im): Cho tam giỏc vuụng cõn ABC cú cnh huyn AB = 2a. Trờn ng thng d i qua A v vuụng gúc mt phng (ABC) ly im S sao cho mp(SBC) to vi mp(ABC) mt gúc bng 60 0 . Tớnh din tớch mt cu ngoi tip t din SABC. Cõu V (1 im): Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s: xxxx fx xx 432 2 4885 () 22 -+-+ = -+ II. PHN T CHN (3 im) 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a (2 im): 1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho elớp (E) cú tiờu im th nht l ( ) 3;0- v i qua im M 433 1; 5 ổử ỗữ ốứ . Hóy xỏc nh ta cỏc nh ca (E). 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im A(0; 1; 3) v ng thng d: xt yt z 1 22 3 ỡ =- ù =+ ớ ù = ợ . Hóy tỡm trờn ng thng d cỏc im B v C sao cho tam giỏc ABC u. Cõu VII.a (1 im): Chng minh: nn nnnn CCCnCnn 212223222 123 .().2 - ++++=+ , trong ú n l s t nhiờn, n 1 v k n C l s t hp chp k ca n. 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b (2 im): 1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(2; 7) v ng thng AB ct trc Oy ti E sao cho AEEB2= uuuruuur . Bit rng tam giỏc AEC cõn ti A v cú trng tõm l G 13 2; 3 ổử ỗữ ốứ . Vit phng trỡnh cnh BC. 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d: xyz11 311 -+ == v mt phng (P): xyz2220+-+=. Lp phng trỡnh mt cu (S) cú tõm nm trờn ng thng d cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi (P) v i qua im A(1; 1; 1). Cõu VII.b (1 im): Gii h phng trỡnh: xyyx yx 33 22 416 15(1) ỡ ù +=+ ớ +=+ ù ợ . ============================ Trn S Tựng Hng dn: I. PHN CHUNG Cõu I: 2) Xột PT honh giao im: xmxx 422 211++=+ xmxx 422 20+-= ( ) xxmx 32 210+-= x gxxmx 32 0 ()210(*) ộ = ờ =+-= ở Ta cú: gxxm 22 ()32 0 Â =+ (vi mi x v mi m ) ị Hm s g(x) luụn ng bin vi mi giỏ tr ca m. Mt khỏc g(0) = 1 ạ 0. Do ú phng trỡnh (*) cú nghim duy nht khỏc 0. Vy ng thng yx1=+ luụn ct th hm s (1) ti hai im phõn bit vi mi giỏ tr ca m. Cõu II: 1) iu kin: xcos0ạ xk. 2 p p ạ+ (*). PT x x x 2 2 2 1cos2sintan p ổử - ỗữ ốứ = xxx1sin2tan(sin21)= x x sin21 tan1 ộ = ờ =- ở xk xl 2.2 2 . 4 p p p p ộ =+ ờ ờ ờ =-+ ở xk xl . 4 . 4 p p p p ộ =+ ờ ờ ờ =-+ ở xk. 42 pp =+ . (Tha món iu kin (*) ). 2) iu kin: x x 2 2 3 40 log(2)0 ỡ ->ù ớ + ù ợ x x 2 2 40 (2)1 ỡ ù -> ớ + ù ợ x x 2 3 ộ > ờ Ê- ở (**) PT ( ) xxx 2 222 333 log43log(2) log(2)4++-= xx 22 33 log(2)3log(2)40+++-= ( )( ) xx 22 33 log(2)4log(2)10+++-= x 2 3 log(2)1+= x 2 (2)3+= x 23=- Kim tra iu kin (**) ch cú x 23=-- tha món. Vy phng trỡnh cú nghim duy nht l: x 23=-- Cõu III: t tx 2 3sin=+ = x 2 4cos- . Ta cú: xt 22 cos4= v xx dtdx x 2 sincos 3sin = + . I = x dx xx 3 2 0 sin . cos3sin p + ũ = xx dx xx 3 22 0 sin.cos cos3sin p + ũ = dt t 15 2 2 3 4 - ũ = dt tt 15 2 3 111 422 ổử - ỗữ +- ốứ ũ = t t 15 2 3 12 ln 42 + - = 115432 lnln 4 15432 ổử ++ ỗữ - ỗữ -- ốứ = ( ) ( ) ( ) 1 ln154ln32 2 +-+. Cõu IV: Ta cú SA ^ (ABC) ị SA ^ AB; SA ^ AC Tam giỏc ABC vuụng cõn cnh huyn AB ị BC ^ AC ị BC ^ SC. Hai im A,C cựng nhỡn on SB di gúc vuụng nờn mt cu ng kớnh SB i qua A,C. Vy mt cu ngoi tip t din SABC cng chớnh l mt cu ng kớnh SB. Ta cú CA = CB = AB sin 45 0 = a 2 ; ã SCA 0 60= l gúc gia mp(SBC) v mp(ABC). SA = AC.tan60 0 = a 6 . T ú SBSAABa 2222 10=+= . Vy din tớch mt cu ngoi tip t din SABC l: S = d 2 p = p .SB 2 = a 2 10 p . Cõu V: Tp xỏc nh: D = R . Ta cú: fxxx xx 2 2 1 ()222 22 =-++ -+ ( BT Cụsi). Du "=" xy ra xxx 2 221 1+== . Vy: min f(x) = 2 t c khi x = 1. II. PHN T CHN 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a: 1) Ta cú ( ) ( ) FF 12 3;0,3;0- l hai tiờu im ca (E). Trn S Tựng Theo nh ngha ca (E) suy ra : aMFMF 12 2 =+= ( ) 2 2 433 13 5 ổử ++ ỗữ ốứ + ( ) 2 2 433 13 5 ổử -+ ỗữ ốứ = 10 ị a = 5. Mt khỏc: c = 3 v abc 222 = ị bac 222 22=-= Vy ta cỏc nh ca (E) l: A 1 ( 5; 0) ; A 2 ( 5; 0) ; B 1 ( 0; 22 ) ; B 2 ( 0; 22 ). 2) d cú VTCP d u (1;2;0)=- r . Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn d. Gi s ( ) t tH 1;22;3+ ị ( ) AHtt1;12;0=-+ uuuur M AH ^ d nờn d AHu^ uuur r ị ( ) ( ) tt112120-+-+= t 1 5 =- ị H 68 ;;3 55 ổử ỗữ ốứ ị AH = 35 5 . M DABC u nờn BC = AH2215 5 3 = hay BH = 15 5 . Gi s Bss(1;22;3)-+ thỡ ss 22 1215 2 5525 ổửổử --++= ỗữỗữ ốứốứ ss 2 251020+= s 13 5 - = Vy: B 63823 ;;3 55 ổử -+ ỗữ ốứ v C 63823 ;;3 55 ổử +- ỗữ ốứ hoc B 63823 ;;3 55 ổử +- ỗữ ốứ v C 63823 ;;3 55 ổử -+ ỗữ ốứ Cõu VII.a: Xột khai trin: nnn nnnnn xCxCxCxCxC 012233 (1) .+=+++++ Ly o hm 2 v ta c: nnn nnnn nxCxCxCnxC 112231 (1)23 . -- +=++++ Nhõn 2 v cho x, ri ly o hm ln na, ta c: nnnn nnnn xnxnxCxCxCnxC 22222112231 (1)(1)(1)123 . --- ộự +-+ ởỷ +=++++ Cho x = 1 ta c pcm. 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b: 1) Gi M l trung im ca BC. Ta cú AGAM 2 3 = uuuruuur ị M(2; 3). ng thng EC qua M v cú VTPT AG 8 0; 3 ổử =- ỗữ ốứ uuur nờn cú PT: y 3= ị E(0; 3) ị C(4; 3). M AEEB2= uuuruuur nờn B(1; 1). ị Phng trỡnh BC: xy2570-+=. 2) Gi I l tõm ca (S). I ẻ d ị Ittt(13;1;)+-+ . Bỏn kớnh R = IA = tt 2 1121-+. Mt phng (P) tip xỳc vi (S) nờn: t dIPR 53 (,()) 3 + == tt 2 37240-= tR tR 01 2477 3737 ộ =ị= ờ =ị= ờ ở . Vỡ (S) cú bỏn kớnh nh nht nờn chn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; 1; 0). Vy phng trỡnh mt cu (S): xyz 222 (1)(1)1-+++=. Cõu VII.b: xyyx yx 33 22 416(1) 15(1)(2) ỡ ù +=+ ớ +=+ ù ợ T (2) suy ra yx 22 54= (3). Th vo (1) c: ( ) yxxyyx 2233 5 .16+=+ xxy x 32 5160= x 0= hoc xxy 2 5160= ã Vi x 0= ị y 2 4= y 2= . ã Vi xxy 2 5160= x y x 2 16 5 - = (4). Th vo (3) c: x x x 2 2 2 16 54 5 ổử - -= ỗữ ốứ Trần Sĩ Tùng Û xxxx 4242 –32256–125100+= Û xx 42 124132–2560+= Û x 2 1= Û xy xy 1(3) 1(3) é ê ë ==- =-= . Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) ===================== . Tựng TRNG THPT CHUYấN HSP H NI s 19 THI TH I HC V CAO NG NM 2010 Mụn thi: TON Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) I. PHN CHUNG (7 im). CHUNG (7 im) Cõu I (2 im): Cho hm s yxmx 422 21=++ (1). 1) Kho sỏt s bin thi n v v th (C) ca hm s khi m = 1. 2) Chng minh rng ng thng yx1=+ luụn