Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 1 Chơng 13 Các chứng minh không tiết lộ thông tin 13.1.các hệ thống chứng minh tơng hỗ Một cách đơn giản, một hệ thống chứng minh không tiết lộ thông tin sẽ cho phép một đối tợng thuyết phục đợc một đối tợng khác tin một điều nào đó mà không để lộ một tý thông tin nào về phép chứng minh. Trớc tiên ta sẽ thảo luận ý tởng về một hệ thống chứng minh tơng hỗ. Trong một hệ thống chứng minh tơng hỗ có hai thành viên: teggy và Vic. Teggy là ngời chứng minh và Vic là ngời kiểm tra. Teggy biết một điều gì đó và cô ta muốn chứng minh cho Vic rằng cô ta biết điều đó. Điều cần thiết là phải mô tả đợc các kiểu tính toán mà Peggy và Vic đợc phép thực hiện và các tác động qua lại xảy ra. Ta có thể coi các thuật toán mà Peggy và Vic thực hiện là các thuật toán xác suất. Peggy và Vic sẽ thực hiện các tính toán riêng và mỗi ngời đều có một bộ tạo số ngẫu nhiên riêng. Họ sẽ liên lạc với nhau qua một kênh truyền tin. Thoạt đầu cả Peggy và Vic đều có một giá trị x. mục đích của phép chứng minh tơng hỗ là Peggy phảI thuyết Vic rằng x có một tính chất xác đình nào đó. Chính xác hơn x là câu trả lời có của một bái toán quyết định xác định . Phép chứng minh tơng hỗ (là một giao thức hỏi-đáp) gồm một số vòng xác định. Trong mỗi vòng .Peggy và Vic luân phiên thực hiện các công việc sau: 1. Nhận một thông báo từ nhóm khác . 2.Thực hiện một tính toán riêng. 3. Gửi một thông báo toi nhóm khác Một vòng đIển hình của giao thức sẽ gồm một yêu cầu của Vic và một đáp ứng của Peggy. Tới cuối phép chứng minh ,Vic hoặc sẽ chấp nhận hoặc từ chối tuỳ thuộc vào việc liệu Peggy có đáp ứng thành công các yêu câù của Vic hay không. Ta định nghĩa giao thức là một hệ thông chứng minh tơng hỗ đối với vái toán quyết định nếu hai tính chất sau đợc thoả mãn mỗi khi Vic tuân theo giao thức đó: Tính đầy đủ Giỏo trỡnh tin hc: Hng dn cỏc chng minh m khụng cn tit l thụng tin Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 2 Nếu x là câu trả lời có của hai bái toán quyết định thì Vic sẽ luôn luôn chấp nhận chứng minh của Peggy. Tính đúng đắn Nếu x là câu trả lời không của thì xác suất để Vic chấp nhận phép chứng minh là rất nhỏ. Ta hạn chết chỉ xét các hệ thống chứng minh tơng hỗ mà các tính toán do Vic thức hiện nằm trong thoì gian đa thức song không hàn chế thời gian tính toán mà prggy thực hiên.(Peggy đợc coi là toàn năng). Ta sẽ bắt đầu bằng việc trình bày một hệ thống chứng minh tơng hỗ cho bái toán đồ thị không dẳng cấu. Bái toán đẳng cẩu đồ thị đợc mô tả trên hình 13.1. Đây là một bái toán thú vị mà cho tới nay ngời ta cha biết thuật giải nào có thời gian đa thức tuy rằng không đợc coi là bái toán NP đầy đủ. Hình 13.1 . tính đẳng cấu đồ thị Sau đây sẽ trình bày một hệ thống chứng minh tơng hỗ cho phép Peggy chứng tỏ với Vic rằng 2 đồ thị chỉ ra là không đẳng cấu. Để đơn giản, giả sử rằng mỗi đồ thị G1 và G2 có tập đỉnh {1 n}. Hệ thông chứng minh tơng hỗ đối với tính không đẳng cấu đồ thị đợc mô tả trên hình 13.2. Đặc trng của bái toán : 2 đồ thị n đỉnh G 1 =(V 1 ,E 1 ) và G 2 =(V 2 ,E 2 ) Câu hỏi: liệu có một song ánh : V 1 ặV 2 sao cho {u,v}E 1 khi và chỉ khi {(u), (v)} E 2 không ?. (nói cách khác liệu G 1 và G 2 có đẳng cấu không ?) Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 3 Hình 13.2. Một hệ thống chứng minh tơng hỗ đối với tính không đẳng cấu đồ thị Hình 13.3 các đồ thị không đẳng cấu của Peggy và yêu cầu của Vic ????????????????????? Ví dụ nhỏ sau đây sẽ minh hoạ cho hoạt động của thuật toán Ví dụ 13.1 Đầu vào :mỗi đồ thị G1 và G2 có tập đỉnh {1, ,n} 1. Hãy lặp lại các bớc sau n lần: 2. Vic chọn một số ngẫu nhiên I=1 hoặc 2 và một phép hoán vị ngẫu nhiên của {1, ,m}.Vic sẽ tính H là ảnh của G theo hoán vị và gửi H cho Peggy. 3. Peggy xác định giá trị j sao cho G j là đẳng cấu với H và gửi j cho Vic 4. Vic sẽ kiểm tra xem liệu i=j không . 5. Vic chấp nhận chứng minh của Peggy nếu I=j trong mỗi vòng. Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 4 Giả sử G1 = (V, E 1 )và G 2 =(V, E 2 ) trong đó V = (1, 2, 3, 4), E 1 = {12, 14, 23, 34}, E2 ={112,13,14,34}. Gỉa sử ở một vòng nào đó của giao thức,Vic trao cho Peggy đồ thị H=(V, E 3 ) trong đó E 3 ={13, 14, 23, 24}(xem hình 13.3). Đồ thị H là đẳng cấu với G 1 . (Một phép đẳng cấu từ H vào G1 là phéo hoán vị (1 3 4 2)). Bởi vậy Peggy sẽ trả lời 1 Dễ dàng nhận thấy rằng, hệ thống chứng minh này thoả mãn tính đầy đủ và tính đúng đắn. Nếu G 1 không đẳng cấu với G 2 thì j sẽ bằng i ở mỗi vòng và Vic sẽ chấp nhận với xác suất 1. Bởi vậy giao thức là đầy đủ. Mặt khác, giả sử rằng G 1 đẳng cấu với G 2 . Khi đó một đồ thị yêu cầu bất kỳ H đợc Vic đa ra đẳng cấu với cả G 1 và G 2 . Peggy sẽ không có cách nào để xác định xem H là phiên bản đẳng cấu nào của G 1 hay G 2 nên Peggy không còn cách nào khác hơn là phải trả lời bằng cách giả định j=1 hoặc 2. Cách duy nhất để Vic chấp nhận là xem Peggy có khả năng phán đoán tất cả n phép chọn i do Vic thực hiện hay không. Xác suất Peggy thực hiện điều này là 2 n . Bởi vậygiao thức là đúng đắn. Chú ý rằng các tính toán của Vic đều trong thời gian đa thức. Ta không thể nói tý gì về thời gian tính toán củ Peggy vì bái toán đồ thị đẳng cấu cha có một thuật giải nào theo thờigian đa thức. Tuy nhiên hãy nhớ lại rằng ta đã cho Peggy có năng lực tính toán không hạn chế và bởi vậy đều này đợc chấp nhận theo các quy tắc của trò chơi. 13.2. Các chứng minh không tiết lộ thông tin hon thiện. Mặc dù các hệ thống chứng minh tơng hỗ khã hay ho nhng kiểu chứng minh thú vị nhất lại là kiêu chứng minh không để lộ thông tin. Vấn đề là Peggy phảI thuyết phục Vic rằng x có một tính chất xác định nào đó, nhng vào lúc kết thúc giao thức Vic vẫn không có chút ý niệm nào về cách chứng minh (cho chính anh ta ) rằng có tính chất đó. Đây là một khái niệm rất khó định nghĩa hình thức ,bởi vậy ta sẽ đa ra trớc khi định nghĩa nó. Trên hình 13.4 mô tả một phép chứng minh tơng hỗ không tiết lộ thông tin đối với tính đẳng cấu của đồ thị. Ví dụ nhỏ sau sẽ minh hoạ cho hoạt động của thuật toán. Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 5 Ví dụ 13.2: Giả sử G 1 = (V, E 1 ) và G 2 = (V, E 2 ), trong đó V = {1, 2, 3, 4}, E 1 = {12, 13, 14, 34} và E 2 ={12, 13, 23, 24}. Một phép đẳng cấu từ G 2 sang G 1 là hoán vị =(4 1 2 3). Bây giờ giả sử ở trong vòng nào đó của giao thức Peggy chọn hoán vị = (2 4 1 3). Khi đó H có tập cạnh {12, 13, 23, 24} (xem hình 13.5) Nếu yêu cầu của Vic là i=1 thì Peggy sẽ cho Vic phép hoán vị và Vic sẽ kiểm tra xem ảnh của G 1 theo có phải là H không. Nếu yêu cầu của Vic là i=2 thì thì Peggy sẽ cho Vic phép hợp p= 0 =(3 2 1 4) và Vic sẽ kiểm tra xem ảnh của G2 theo p có phải là H không. Dễ dàng diểm tra đợc tính đầy đủ và tính đúng đắn của giao thức. Không khó khăn thấy rằng xác suất để Vic chấp nhận sẽ bằng 1 nếu G 1 đẳng cấu với G 2 . Mặt khác nếu G 1 không đẳng cấu với G2 thì chỉ có một cách để Peggy lừa dối đợc Vic là có ta phải giả định đúng giá trị i mà Vic sẽ chọn ở Đầu vào :hai đồ thị G1 và G2 mỗi đồ thị có tập đỉnh {1 n} 1. Lặp lại các bớc sau n lần 2. Peggy chọn một phứp hoán vị ngẫy nhiên vủa {1 n} cô ta tính H là ảnh của G 1 theo và gửi H cho Vic 3. Vic chọn một số nguyên ngẫu nhiên I=1 hoặc 2 và gửi nó cho Peggy 4. Peggy tính một phép hoán vị của {1 n} sao cho H là ảnh của G 1 theo p. Peggy sẽ gửu p cho Vic (nếu i= 1 thì Peggy sẽ xác định p= nếu I=2 thì Peggy sẽ xác định p là hợp của và trong là một phép hoán vị cố định nào đó sao cho ảnh của G 2 theo là G 1 ) 5. vic sẽ kiểm tra xem H có phải là ảnh của G 1 theo p hay không 6. vic sẽ chấp nhận chứng minh của Peggy nếu H là ảnh của G 1 ở mỗi một trong n vòng. . Hong Cng Trang 1 Chơng 13 Các chứng minh không tiết lộ thông tin 13 .1 .các hệ thống chứng minh tơng hỗ Một cách đơn giản, một hệ thống chứng minh không tiết lộ thông tin sẽ cho phép. tính toán không hạn chế và bởi vậy đều này đợc chấp nhận theo các quy tắc của trò chơi. 13 .2. Các chứng minh không tiết lộ thông tin hon thiện. Mặc dù các hệ thống chứng minh tơng. nhận chứng minh của Peggy nếu I=j trong mỗi vòng. Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 4 Giả sử G1 = (V, E 1 )và G 2 =(V, E 2 ) trong đó V = (1, 2, 3, 4), E 1 = {12 , 14 , 23, 34}, E2 = {11 2 ,13 ,14 ,34}.