Đường trung trực cạnh OB có phương trình 3x+ + =.
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm
đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004
Đề chính thức Môn: Toán, Khối A
(Đáp án - thang điểm có 4 trang)
I.1 (1,0 điểm)
2
3 3
2
ư
ư +
ư
=
x
x x
x 1
ư
a) Tập xác định: R \ 1{ }
b) Sự biến thiên:
x(2 x)2
y ' 2(x 1)
ư
=
yCĐ = y(2) = 1
2
ư , yCT = y(0) = 3
2
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng
Đường thẳng 1
2
Bảng biến thiên:
2
ư 3
c) Đồ thị:
0,25
Trang 2I.2 ( 1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = m là :
x x
=
ư
ư +
ư
1 2
3 3
2
⇔ x2 +(2mư3)x+3ư2m=0 (*) 0,25 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
0
>
∆ ⇔ 4m2ư4m 3 0ư > ⇔ m 3
2
> hoặc m 1
2
< ư (**) 0,25 Với điều kiện (**), đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B có hoành
độ x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*)
AB = 1 ⇔ x1 ư x2 =1 ⇔ 2
x ưx = 1 ⇔ ( 1 2)
2
1 2
x +x ư4x x =1
0,25 ⇔ (2mư3)2 ư4(3ư2m)=1 ⇔ 1 5
m
2
±
= (thoả mãn (**)) 0,25
II.1 (1,0 điểm)
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
+ Nếu x > 5 thì bất phương trình được thoả mãn, vì vế trái dương, vế phải âm 0,25 + Nếu 4 x 5≤ ≤ thì hai vế của bất phương trình không âm Bình phương hai vế ta
được: ( 2 ) ( )2 2
2 x ư16 > 10 2xư ⇔x ư20x 66 0+ < ⇔ ư10 34 x 10< < + 34 Kết hợp với điều kiện 4 x 5≤ ≤ ta có: 10ư 34 x 5< ≤ Đáp số: x 10> ư 34 0,25
II.2 (1,0 điểm)
Điều kiện: y > x và y > 0
log ( ) log4 1 1
4
y x
y x
y
ư
4
3y
Thế vào phương trình x2 + y2 = 25 ta có:
2 2
3y
4
So sánh với điều kiện , ta được y = 4, suy ra x= 3 (thỏa mãn y > x)
III.1 (1,0 điểm)
+ Đường thẳng qua O, vuông góc với BA( 3 ; 3)JJJG
có phương trình 3x+3y 0= Đường thẳng qua B, vuông góc với OA(0; 2)JJJG
có phương trình y = 1ư ( Đường thẳng qua A, vuông góc với BO( 3 ; 1)
JJJG
có phương trình 3x+ ư = ) y 2 0 0,25 Giải hệ hai (trong ba) phương trình trên ta được trực tâm H( 3 ; ư 1) 0,25 + Đường trung trực cạnh OA có phương trình y = 1
Đường trung trực cạnh OB có phương trình 3x+ + = y 2 0 ( Đường trung trực cạnh AB có phương trình 3x 3y+ = ) 0 0,25
Trang 3Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c
III.2.a (1,0 ®iÓm)
+ Ta cã: C 2; 0; 0(− ), D 0;( −1; 0), M(−1;0; 2) ,
SA=(2;0;−2 2), BMJJJJG= − −( 1; 1; 2) 0,25 Gäi α lµ gãc gi÷a SA vµ BM
cos cos SA, BM
2
SA BM
JJJG JJJJG JJJG JJJJG
JJJG JJJJG ⇒ α = °30
0,25 + Ta cã: ⎡⎣SA, BMJJJG JJJJG⎤ = −⎦ ( 2 2; 0; 2− ), ABJJJG= −( 2; 1; 0) 0,25 VËy:
d SA, BM
3
SA, BM
JJJG JJJJG JJJG
III.2.b (1,0 ®iÓm)
Ta cã MN // AB // CD ⇒ N lµ trung ®iÓm SD ⇒ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
; 0
0,25
SAJJJG= 2; 0; −2 2 ,SM=(−1;0;− 2), SB=(0;1;−2 2), 1
2
=⎜ − − ⎟
JJJG
SA, SM 0; 4 2; 0
S.ABM
S.AMN
= ⎣JJJG JJJG JJJG⎦⋅ = ⇒ VS.ABMN =VS.ABM +VS.AMN = 2 0,25
IV.1 (1,0 ®iÓm)
2
1
x
=
∫ §Æt: t= x−1⇒ x= t2+1⇒ dx 2= tdt
Trang 4Ta cã:
2
0,25
I
1
0
IV.2 (1, 0 ®iÓm)
1 x 1 x C C x 1 x C x 1 x C x 1 x C x 1 x
BËc cña x trong 3 sè h¹ng ®Çu nhá h¬n 8, bËc cña x trong 4 sè h¹ng cuèi lín h¬n 8 0,25 VËy x8 chØ cã trong c¸c sè h¹ng thø t−, thø n¨m, víi hÖ sè t−¬ng øng lµ:
Gäi M=cos2A+2 2cosB+2 2cosC−3
2
cos 2
cos 2 2 2 1 cos
2
2
M 2cos A 4 2 sin 4
2
MÆt kh¸c tam gi¸c ABC kh«ng tï nªn cosA≥0, cos2A cos≤ A Suy ra:
4 2 sin 2 4 cos
2 sin 2 4 2 sin 2 1
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
2 sin 2 4 2 sin
−
2 sin 2 2
2
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
−
Theo gi¶ thiÕt: M = 0 ⇔
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−
=
2
1 2 sin
1 2 cos
cos cos2
A
C B
A A
⇔ A 90
B C 45
= °
⎧
⎨
= = °⋅
⎩
0,25