Cách 2 Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó AB⊥AC... -Nếu TS làm sai ở bước nào thì kể từ đó trở đi sẽ không được điểm.. Nếu TS làm sai ở bước nào thì kể từ đó trở đi sẽ
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng năm 2002
Môn Toán, khối D
Đáp án và thang điểm đề thi chính thức Câu Nội dung Điểm ĐH CĐ I 3đ 4đ 1 1 1,5 Khi m = -1 ,ta có 1 x 4 3 1 x 1 x y − − − = − − − = -TXĐ : x ≠ 1 - CBT : ( − ) > ∀ ≠ ⇒ = 0, x 1 1 x 4 y, 2 hàm số không có cực trị 1/4 1/4 limy 3 x − = ∞ → ; =+∞ =−∞ + − → → 1 x 1 x y lim ; y lim - BBT : x - ∞ 1 + ∞
y/ + +
+ ∞
y -3 -3
- ∞ 1/4 1/4
- TC: x=1 là tiệm cận đứng vì =
→ y
lim
1
y=-3 là tiệm cận ngang vì limy 3
∞
- Đồ thị :
x y
1/4 1/2
Trang 2Diện tích cần tính là :
dx
1 x
1 x S
0 3 /
1∫
ư
ư
ư
ư
=
1/4 1/2
ư
3 / 1
0 3 /
1 x 1
dx 4
dx 3
1/4 1/4 3
/ 1
0 1 x ln 4 3
1 3
ư
ư
ư
ư
=
1/4 1/2 3
4 ln 4
1 +
ư
1/4 1/4
1 x
m x 1 m 2 ) x (
2
ư
ư
ư
m để hệ phương trình sau có nghiệm:
(H)
( )
=
= x ) x ( f
x ) x (
/ /
1/4 1/4
Ta có (H)
=
ư
ư
ư
=
ư
ư
ư
⇔
0 1
x
m x
0 1 x
m x
/ 2 2
1/4 1/4
=
ư
ư +
ư
ư
ư
=
ư
ư
ư
⇔
0 1
x
m x 1 x m x 2
0 1 x
m x
2
2 2
1/4 1/4
Ta thấy với ∀m ≠1 ; x = m luôn thoả mãn hệ ( H ) Vì vậy∀m ≠1, (H)
luôn có nghiệm , đồng thời khi m = 1 thì hệ ( H ) vô nghiệm Do đó đồ
thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x khi và chỉ khi m ≠ 1
Bất phương trình
≥
ư
>
ư
ư
=
ư
ư
⇔
0 x x
0 2 x x 2
0 2 x x 2
2 2 2
1/4 1/2
2
1 x 2 x 0 2 x x 0 2 x
TH 2:
≥
ư
>
ư
ư
⇔
≥
ư
>
ư
ư
0 x x
0 2 x x 0
x x
0 2 x x
2 2 2
2
≥
∨
≤
>
∨
ư
<
⇔
3 x 0 x
2 x 2
1 x
1/4
Trang 3x 3
2
1
x<ư ∨ ≥
1/4 1/4
Từ hai trường hợp trên suy ra ĐS: x 2 x 3
2
1
1/4 1/4
Hệ phương trình
=
ư
=
⇔
y 2
y y 2
x
2 x
1/4 1/2
= +
ư
>
=
⇔
0 y y 5 y
0 y 2
2 3 x
1/4 1/4
=
∨
=
∨
=
>
=
⇔
4 y 1 y 0 y
0 y
2x
1/4 1/4 ⇔
=
=
∨
=
=
4 y
2 x 1 y
0 x
1/4 1/2
III
1đ 1đ
Phương trình ⇔(cos x+3cosx) (ư4 cos x+1)=0
⇔4cos3xư8cos2x=0
⇔4cos2 x(cosxư2)=0
⇔ = π+kπ
2
1/4 1/4
x∈[ ]0;14 ⇔k=0∨k =1∨k =2∨k=3 1/4
2
x= π 2
3
x = π
;
2
5
x= π
;
2
7
x= π
1/4 1/4
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó AB⊥AC 1/4 1/4 Lại có AD⊥mp(ABC)⇒AD⊥AB và AD⊥AC, nên AB, AC, AD đôi
Do đó có thể chọn hệ toạ độ Đêcac vuông góc, gốc A sao cho B(3;0;0) ,
C(0;4;0), D( 0;0;4) Mặt phẳng (BCD) có phương trình :
1 0
4
z 4
y 3
x
=
ư +
1/4 1/4
Khoảng cách cần tính là :
17
34 6
16
1 16
1 9 1
1
= + +
(cm)
1/4 1/4
Trang 4Cách 2
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó AB⊥AC 1/4 1/4 Lại có AD⊥mp(ABC)⇒AD⊥AB và AD⊥AC, nên AB, AC, AD đôi
D
H C
A E
B
Gọi AE là đường cao của tam giác ABC; AH là đường cao của tam giác
ADE thì AH chính là khoảng cách cần tính
Dễ dàng chứng minh được hệ thức:
2 2
2 2
AC
1 AB
1 AD
1 AH
1/4 1/4 Thay AC=AD=4 cm; AB = 3 cm vào hệ thức trên ta tính được:
cm 17
34 6
AH =
1/4 1/4
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó AB⊥AC 1/4 1/4 Lại có AD⊥mp(ABC)⇒AD⊥AB và AD⊥AC, nên AB, AC, AD đôi
Gọi V là thể tích tứ diện ABCD, ta có V= AB AC AD 8
6
1
=
⋅
⋅
áp dụng công thức
) BCD ( dt
V 3 AH
∆
17
34 6
1/2 1/2
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến →n(2;ư1;0) Đường thẳng d có vec m
tơ chỉ phương →u( (1ưm)(2m+1) (;ư2m+1)2;ưm(1ưm) ) 1/4 1/4 Suy ra
→
u
→
n =3(2m+1)
m
d song song với (P)
⊄
⊥
) P ( d
n u
Trang 5
( )
∉
∈
∃
=
P A , d A
0 n u
m
Ta có : điều kiện →u.→n=0
2
1
m=ư
⇔
1/4 1/4 Mặt khác khi m = - 1/2 thì d có phương trình : m
=
=
ư 0 x
0 1 y
, mọi điểm A( 0;1;a) của đường thẳng này đều không nằm trong (P), nên điều kiện
( )P A , d
Viết phương trình dm dưới dạng tham số ta được
ư
ư
ư
=
+
ư
=
+
ư
=
m)t
m(1 2 z
t 1) (2m 1 y
1)t m)(2m (1
x
2
1/4 1/4
m
d // (P) ⇔ hệ phương trình ẩn t sau
= +
ư
ư
ư
ư
=
+
ư
=
+
ư
=
0 2 y x 2
t ) m 1 ( m 2 z
t ) 1 m 2 ( 1 y
t ) 1 m 2 )(
m 1 ( x
2
vô nghiệm
1/4 1/4
m
d // (P) ⇔ hệ phương trình ẩn x, y, z sau
= + + + +
=
ư +
ư + +
= +
ư
0 2 m 4 z ) 1 m 2 ( mx
0 1 m y x 1 x 1 m 2
0 2 y x 2
Từ 2 phương trình đầu của hệ phương trình trên suy ra
+
=
ư
= 3
4 m 2 y 3
1 m x
Thế x , y tìm được vào phương trình thứ ba ta có :
) 6 m 11 m ( 3
1 z ) 1 m 2
1/4 1/4
Hệ (H) vô nghiệm
2
1
m=ư
1/4 1/4
Ta có : ( ) ∑
=
=
0 k
k k n n
x C 1
1/4 Cho x = 2 ta được ∑
=
= n
0 k
k k n
3
1/4 ⇒3n =243=35 ⇔n=5 1/2
Trang 62 1
Giả sử M(m;0) và N(0;n) với m > 0 , n > 0 là hai điểm chuyển động trên
hai tia Ox và Oy
Đường thẳng MN có phương trình : 1 0
n
y m
x
=
ư +
1/4
Đường thẳng này tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi :
1
n
1 9 m
1 16
2 2
=
+
1/4 Theo BĐT Côsi ta có :
2 2 2
2 2 2 2
2 2
n
m 9 m
n 16 25 n
9 m
16 n m n
m
+
= +
=
49 9 16 2
Đẳng thức xảy ra
>
>
= +
=
⇔
0 n , 0 m
49 n m
n
m 9 m
n 16
2 2
2 2 2
2
⇔ m=2 7,n= 21
KL: Với M(2 7;0) (,N0; 21) thì MN đạt GTNN và GTNN (MN) = 7 1/4
Giả sử M(m;0) và N(0;n) với m > 0 , n > 0 là hai điểm chuyển động trên
hai tia Ox và Oy
Đường thẳng MN có phương trình : 1 0
n
y m
x
=
ư +
1/4
Đường thẳng này tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi :
1
n
1 9 m
1 16
2 2
=
+
1/4 Theo bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có
n
3 n m
4 m n
9 m
16 n m n m MN
2 2
2 2 2 2 2
≥
+
= +
7
MN ≥
- Đẳng thức xảy ra
>
>
= +
=
⇔
0 n , 0 m
7 n m
n
3 : n m
4 : m
2 2
⇔ m=2 7,n= 21
KL: Với M(2 7;0) (,N0; 21) thì MN đạt GTNN và GTNN (MN) = 7 1/4
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (x0 ; y0) thuộc (E) : 1
9
yy 16
=
1/4
Trang 7Suy ra toạ độ của M và N là
0
; x
16 M
0
0
y
9
; 0 N
+
+
= +
0
2 2 0
2 2 0 2 0 2 0
2 2 0
2 2
y
9 x
16 9
y 16
x y
9 x
16 MN
1/4
Sử dụng bất đẳng thức Côsi hoặc Bunhiacôpski (nh− cách 1 hoặc cách 2)
ta có : MN ≥2 72
- Đẳng thức xảy ra
7
21 3 y
; 7
7 8
-Hết -
Trang 8- -
Hướng dẫn chấm thi môn toán khối D
Câu I:
1 -Nếu TS làm sai ở bước nào thì kể từ đó trở đi sẽ không được điểm
-Nếu TS xác định đúng hàm số và chỉ tìm đúng 2 tiệm cận thì được 1/4 điểm
2 Nếu TS làm sai ở bước nào thì kể từ đó trở đi sẽ không được điểm
3 -Nếu TS dùng điều kiện nghiệm kép thì không được điểm
-Nếu TS không loại giá trị m = 1 thì bị trừ 1/4 điểm
Câu II:
1 -Nếu TS làm sai ở bước nào thì kể từ đó trở đi sẽ không được điểm
-Nếu TS kết luận nghiệm sai bị trừ 1/4 điểm
-Nếu TS sử dụng điều kiện sai:
≤
<
≥
≥
⇔
≥
0 ) x ( g
0 ) x (
0 ) x ( g
0 ) x ( 0
) x ( g )
x
bị trừ 1/4 điểm
2 TS làm đúng ở bước nào được điểm ở bước đó
Câu III:
TS làm đúng bước nào được điểm bước đó
Câu IV:
TS làm đúng bước nào được điểm bước đó
Câu V:
1 TS làm đúng bước nào được điểm bước đó
2 TS làm đúng bước nào được điểm bước đó