THI TH TON I HC - CAO NG NGY 8 THNG 6 - NM 2010 PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 ủim) Cõu I (2 ủim) Cho hàm số 1 12 + = x x y có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . 2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B . Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất Cõu II (2 ủim) : 1. Gii h phng trỡnh: 2 2 2 2 12 12 x y x y y x y + + = = 2.Gii phng trỡnh: ( ) ( ) 3 sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ + = . Cõu III: Tớnh din tớch ca min phng gii hn bi cỏc ủng 2 | 4 |y x x= v 2y x= . Cõu IV (1 ủim) Cho hỡnh chúp ct tam giỏc ủu ngoi tip mt hỡnh cu bỏn kớnh r cho trc. Tớnh th tớch hỡnh chúp ct bit rng cnh ủỏy ln gp ủụi cnh ủỏy nh. Cõu V (1 ủim) Cho phng trỡnh ( ) ( ) 3 4 1 2 1 2 1 x x m x x x x m + + = Tỡm m ủ phng trỡnh cú mt nghim duy nht. PHN RIấNG (3 ủim): Thớ sinh ch lm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2) 1. Theo chng trỡnh chun . Cõu VI.a (2 ủim) 1. Cho ABC cú ủnh A(1;2), ủng trung tuyn BM: 2 1 0x y + + = v phõn giỏc trong CD: 1 0x y + = . Vit phng trỡnh ủng thng BC. 2. Cho ủng thng (D) cú phng trỡnh: 2 2 2 2 x t y t z t = + = = + .Gi l ủng thng qua ủim A(4;0;-1) song song vi (D) v I(-2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua , hóy vit phng trỡnh ca mt phng cú khong cỏch ủn (D) l ln nht. Cõu VII.a (1 ủim) Cho x, y, z l 3 s thc thuc (0;1]. Chng minh rng 1 1 1 5 1 1 1 xy yz zx x y z + + + + + + + 2. Theo chng trỡnh nõng cao . Cõu VI.b (2 ủim) 1. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú din tớch bng 4. Bit A(1;0), B(0;2) v giao ủim I ca hai ủng chộo nm trờn ủng thng y = x. Tỡm ta ủ ủnh C v D. 2. Cho hai ủim A(1;5;0), B(3;3;6) v ủng thng cú phng trỡnh tham s 1 2 1 2 x t y t z t = + = = .Mt ủim M thay ủi trờn ủng thng , tỡm ủim M ủ chu vi tam giỏc MAB ủt giỏ tr nh nht. Cõu VII.b (1 ủim) Cho a, b, c l ba cnh tam giỏc. Chng minh 1 1 2 2 3 3 2 3 3 b c a a b a c a b c a c a b + + + + < + + + + + + Ht http://laisac.page.tl Kỳ thi thử đại học- cao đẳng năm 2010 Hớng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm I.1 Khảo sát hàm số y= 1 12 + x x 1,00 1. Tập xác định: R\{1} 2. Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 22 )1( 3 )1( )12()1(2 ' = + = xx xx y Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+) . Cực trị : Hàm số đ cho không có cực trị 0,25 . Tiệm cận: = + = 1 12 limlim 1 1 x x y x x += + = + + 1 12 limlim 1 1 x x y x x Do đó đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng 2 1 12 limlim = + = x x y x x Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang 0,25 * Bảng biến thiên: x - 1 + y' - - y 2 - + 2 3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số. 0,5 I.2 Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. 1,00 Gọi M + 1 3 2; 0 0 x x (C) * Tiếp tuyến tại M có dạng: 1 3 2)( )1( 3 0 0 2 0 ++ = x xx x y Câu Nội dung Điểm Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A + 1 6 2;1 0 x B(2x 0 -1; 2) ; I(1; 2) * Ta có: S IAB = 2 1 . IA. IB= 63.212 1 6 2 1 0 0 == x x (đvdt) 0,25 0,25 * IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB (HS tự chứng minh). = += = 31 31 12 1 6 0 0 0 0 x x x x * Vậy có hai điểm M thỏa mn điều kiện M 1 ( 32;31 ++ ) M 2 ( 32;31 ) Khi đó chu vi AIB = 6234 + 0,5 Cõu í Ni dung i m II 2,00 1 1,00 1) CõuII:2. Gii phng trỡnh: ( ) ( ) 3 sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0 x x c x c x x + + = . 3)sincos.3(833cos36cos.32cos.sin6cos.sin2 033)sincos.3(82cos.33cos.32)3(cos2sin 232 3 +++ =++ xxxxxxxx xxxxxx 0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2 =+ xxxxxxxx = = = =+ = =+ )(4cos 1cos 3tan 04cos3cos 0sincos3 0)8cos6cos2)(sincos3( 2 2 loaix x x xx xx xxxx = += k kx kx , 2 3 0,50 1 1,00 iu kin: | | | | x y t 2 2 ; 0 u x y u v x y = = + ; x y = khụng tha h nờn xột x y ta cú 2 1 2 u y v v = . H phng trỡnh ủó cho cú dng: 0,25 2 12 12 2 u v u u v v + = − = 4 8 u v = ⇔ = hoặc 3 9 u v = = + 2 2 4 4 8 8 u x y v x y = − = ⇔ = + = (I) + 2 2 3 3 9 9 u x y v x y = − = ⇔ = + = (II) 0,25 Sau ñó hợp các kết quả lại, ta ñược tập nghiệm của hệ phương trình ban ñầu là ( ) ( ) { } 5;3 , 5;4 S = 1,00 III 0,25 Diện tích miền phẳng giới hạn bởi: 2 | 4 | ( ) y x x C = − và ( ) : 2 d y x = Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (C) và (d): 2 2 2 2 2 0 0 0 | 4 | 2 2 4 2 6 0 6 4 2 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x ≥ ≥ = − = ⇔ ⇔ ⇔ = − = − = = − = − − = Suy ra diện tích cần tính: ( ) ( ) 2 6 2 2 0 2 4 2 4 2 S x x x dx x x x dx = − − + − − ∫ ∫ 0,25 Tính: ( ) 2 2 0 | 4 | 2 I x x x dx = − − ∫ Vì [ ] 2 0;2 , 4 0 x x x ∀ ∈ − ≤ nên 2 2 | 4 | 4 x x x x − = − + ⇒ ( ) 2 2 0 4 4 2 3 I x x x dx = − + − = ∫ 0,25 Tính ( ) 6 2 2 | 4 | 2 K x x x dx = − − ∫ Vì [ ] 2 2;4 , 4 0 x x x ∀ ∈ − ≤ và [ ] 2 4;6 , 4 0 x x x ∀ ∈ − ≥ nên ( ) ( ) 4 6 2 2 2 4 4 2 4 2 16 K x x x dx x x x dx = − − + − − = − ∫ ∫ . 0,25 Vậy 4 52 16 3 3 S = + = 1,00 IV 0,25 Gọi H, H’ là tâm của các tam giác ñều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’ là trung ñiểm của AB, A’B’. Ta có: ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' AB IC AB CHH ABB A CII C AB HH ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai ñáy tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại ñiểm ' K II ∈ . 0,25 Gọi x là cạnh ñáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh ñáy lớn. Ta có: 1 3 1 3 ' ' ' ' ' ; 3 6 3 3 x x I K I H I C IK IH IC= = = = = = Tam giác IOI’ vuông ở O nên: 2 2 2 2 3 3 ' . . 6r 6 3 x x I K IK OK r x= ⇒ = ⇒ = 0,25 Thể tích hình chóp cụt tính bởi: ( ) ' . ' 3 h V B B B B = + + Trong ñó: 2 2 2 2 2 4x 3 3 3r 3 3 6r 3; ' ; 2r 4 4 2 x B x B h = = = = = = 0,25 Từ ñó, ta có: 2 2 3 2 2 2r 3r 3 3r 3 21r . 3 6r 3 6r 3. 3 2 2 3 V = + + = 0,25 VIa 2,00 1 1,00 ðiểm ( ) : 1 0 ;1 C CD x y C t t ∈ + − = ⇒ − . Suy ra trung ñiểm M của AC là 1 3 ; 2 2 t t M + − . 0,25 ðiểm ( ) 1 3 : 2 1 0 2 1 0 7 7;8 2 2 t t M BM x y t C + − ∈ + + = ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ − 0,25 0,25 Từ A(1;2), kẻ : 1 0 AK CD x y ⊥ + − = tại I (ñiểm K BC ∈ ). Suy ra ( ) ( ) : 1 2 0 1 0 AK x y x y − − − = ⇔ − + = . Tọa ñộ ñiểm I thỏa hệ: ( ) 1 0 0;1 1 0 x y I x y + − = ⇒ − + = . Tam giác ACK cân tại C nên I là trung ñiểm của AK ⇒ tọa ñộ của ( ) 1;0 K − . ðường thẳng BC ñi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0 7 1 8 x y x y + = ⇔ + + = − + 2 Gọi (P) là mặt phẳng ñi qua ñường thẳng ∆ , thì ( ) //( ) P D hoặc ( ) ( ) P D ⊃ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH IA ≤ và IH AH ⊥ . Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , d D P d I P IH H P = = ∈ Trong mặt phẳng ( ) P , IH IA ≤ ; do ñó axIH = IA H A m ⇔ ≡ . Lúc này (P) ở vị trí (P 0 ) vuông góc với IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là ( ) 6;0; 3 n IA = = − r uur , cùng phương với ( ) 2;0; 1 v = − r . Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là: ( ) ( ) 2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0 x z− − + = . VIIa ðể ý rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 xy x y x y + − + = − − ≥ ; và tương tự ta cũng có 1 1 yz y z zx z x + ≥ + + ≥ + 0,25 Vì vậy ta có: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 zx+y 1 5 1 1 5 5 x y z x y z xy yz zx yz zx xy x y z yz xy z z y x yz zx y xy z z y x z y y z + + + + ≤ + + + + + + + + + + + ≤ + + + + + = − − + + + + ≤ − − + + + = vv 1,00 Ta có: ( ) 1;2 5 AB AB= − ⇒ = uuur . Phương trình của AB là: 2 2 0 x y + − = . ( ) ( ) : ; I d y x I t t ∈ = ⇒ . I là trung ñiểm của AC và BD nên ta có: ( ) ( ) 2 1;2 , 2 ;2 2 C t t D t t − − . 0,25 Mặt khác: D . 4 ABC S AB CH = = (CH: chiều cao) 4 5 CH⇒ = . 0,25 Ngoài ra: ( ) ( ) ( ) 4 5 8 8 2 ; , ; | 6 4 | 4 3 3 3 3 3 ; 5 5 0 1;0 , 0; 2 t C D t d C AB CH t C D = ⇒ − = ⇔ = ⇔ = ⇒ − − Vậy tọa ñộ của C và D là 5 8 8 2 ; , ; 3 3 3 3 C D hoặc ( ) ( ) 1;0 , 0; 2 C D − − 0,50 2 1,00 Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB không ñổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. ðường thẳng ∆ có phương trình tham số: 1 2 1 2 x t y t z t = − + = − = . ðiểm M ∈∆ nên ( ) 1 2 ;1 ;2 M t t t − + − . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 9 20 3 2 5 4 2 2 6 2 9 36 56 3 6 2 5 3 2 5 3 6 2 5 AM t t t t t BM t t t t t t AM BM t t = − + + − − + = + = + = − + + − − + − + = − + = − + + = + + − + 0,25 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta xét hai vectơ ( ) 3 ;2 5 u t= r và ( ) 3 6;2 5 v t= − + r . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 | | 3 2 5 | | 3 6 2 5 u t v t = + = − + r r Suy ra | | | | AM BM u v + = + r r và ( ) 6;4 5 | | 2 29 u v u v+ = ⇒ + = r r r r Mặt khác, với hai vectơ , u v r r ta luôn có | | | | | | u v u v + ≥ + r r r r Như vậy 2 29 AM BM+ ≥ 0,25 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , u v r r cùng hướng 3 2 5 1 3 6 2 5 t t t ⇔ = ⇔ = − + ( ) 1;0;2 M⇒ và ( ) min 2 29 AM BM+ = . 0,25 Vậy khi M(1;0;2) thì minP = ( ) 2 11 29 + 0,25 VIIb 1,00 Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên: a b c b c a c a b + > + > + > . ðặt ( ) , , , , 0 , , 2 2 a b c a x y a z x y z x y z y z x z x y + + = = = > ⇒ + > + > + > . Vế trái viết lại: 2 3 3 2 a b a c a VT a c a b a b c x y z y z z x x y + + = + + + + + + = + + + + + 0,50 Ta có: ( ) ( ) 2 2 z z x y z z x y z z x y x y z x y + > ⇔ + + < + ⇔ > + + + . Tương tự: 2 2 ; . x x y y y z x y z z x x y z < < + + + + + + Do ñó: ( ) 2 2 x y z x y z y z z x x y x y z + + + + < = + + + + + . Tức là: 1 1 2 2 3 3 2 3 3 b c a a b a c a b c a c a b + + + + < + + + + + + 0,50 V.Phương trình ( ) ( ) 3 4 1 2 1 2 1 x x m x x x x m + − + − − − = (1) ðiều kiện : 0 1 x ≤ ≤ Nếu [ ] 0;1 x ∈ thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên ñể (1) có nghiệm duy nhất thì cần có ñiều kiện 1 1 2 x x x = − ⇒ = . Thay 1 2 x = vào (1) ta ñược: 3 0 1 1 2. 2. 1 2 2 m m m m = + − = ⇒ = ± * Với m = 0; (1) trở thành: ( ) 2 4 4 1 1 0 2 x x x − − = ⇔ = Phương trình có nghiệm duy nhất. * Với m = -1; (1) trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − − − − − = − ⇔ + − − − + + − − − = ⇔ − − + − − = + Với 4 4 1 1 0 2 x x x − − = ⇔ = + Với 1 1 0 2 x x x − − = ⇔ = Trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất. HẾT * Với m = 1 thì (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 4 1 2 1 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x + − − − = − − ⇔ − − = − − Ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm 1 0, 2 x x = = nên trong trường hợp này (1) không có nghiệm duy nhất. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1. . http://laisac.page.tl Kỳ thi thử đại học- cao đẳng năm 2010 Hớng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm I.1 Khảo sát hàm số y= 1 12 + x x 1,00 1. Tập xác định: R{1} 2. Sự biến thi n:. thi n: + Chiều biến thi n: 22 )1( 3 )1( )12()1(2 ' = + = xx xx y Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+) . Cực trị : Hàm số đ cho không có cực trị 0,25 . Tiệm cận:. (2 ủim) : 1. Gii h phng trỡnh: 2 2 2 2 12 12 x y x y y x y + + = = 2.Gii phng trỡnh: ( ) ( ) 3 sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ + = . Cõu III: Tớnh