iu khin t ng (1) Bùi H Trang - 33 - Hình 2-1: Hình dạng các hàm đầu vào cơ bản Hàm bước (step function) f(t) = 0 v t<0 A v Ae - 2-4 = = 0 ; Tr h riêng khi A=1 ta gi hàm b là , có d sau: f Laplace c nó có d: 2-5 1() = (1 × ) = 0 1 ; Hàm dốc (Ramp Function) Hàm dc có d sau: iu khin t ng (1) Bùi H Trang - 34 - f(t) = 0 v t<0 A.t v Trong A= const. Laplace c nó xác nh sau: 2-6 = = 0 = 0 0 = 0 = 2 Hàm Sin (Sinunoidal Function) Hàm sin có d f(t) = 0 v t<0 v Bng cách vi l hàm Sin d d hàm m tng ng: 2-7 sin = 1 2 e jt e jt Ta s tìm Laplace nh sau 2-8 sin = 2 ( 0 ) = 2 1 2 1 + = 2 2 Tng t, ta có 2-9 cos = 2 + 2 Hàm trễ Laplace c hàm tr 2-10 . 1 trong àm này bXem HÌNH 2-1. Theo nh ngha, phép bin i Laplace ca . 1 s nh sau iu khin t ng (1) Bùi H Trang - 35 - 2-11 . 1 = . 1 0 B cách th bin c lp t - ta có . 1 0 = . 1 (+) Lu ý rng, trong tài liu này ta luôn cho . 1 = 0 y ta có th i cn tích phân - . Do vy ta có, . 1 + = . 1 0 + = . 1 0 = 0 = Trong = = 0 Do v 2-12 . 1 = , 0 Ngh là, Laplace c hàm f(t)1(t) khi b tr i m l là tìm bng cách nhân Laplace c hàm f(t) là F(s) e s . Hàm xung răng lược (Pulse function). Hàm xung r mô t nh sau: 2-13 = 0 < 0, 0 < ; = 0 0 < < 0 ; 0 Có th coi hàm này là cng gp c hàm b 0 b hàm b 0 bt u khi t 0 . Do vy, = 0 . 1 0 . 1 0 . Laplace c nó s tìm nh sau: 2-14 = 1 0 . 1 0 = 0 0 0 = 0 1 0 iu khin t ng (1) Bùi H Trang - 36 - 2.1.3 Các định lý cơ bản 2.1.3.1 Định lý Vi phân thực lý vi phân thc th hin nh sau. Laplace c hàm c hàm f(t) có d 2-15 = 0 và có th chg minh nh sau. L tích phân Laplace c hàm f(t) ta có = 0 = 0 0 Do v, = (0) + 1 Cho nên ng nhiên = 0 Tng t, v hàm bc hai, ta có 2-16 2 2 = 2 0 0 và hàm bc n 2-17 = 1 0 2 0 2 0 1 0 Lu ý rng theo ngh phép bi Laplace thun thì m iu kin u bng không, cho nên Laplace c hàm bc n c f(t) s là . 2-18 = Định lý tích phân thực. iu khin t ng (1) Bùi H Trang - 37 - N f(t) có th bi din theo hàm s m c e thì () có Laplace và cho d d 2-19 = () + 1 (0) trong : F(s) là Laplace c f(t) 1 0 = () @=0 , l giá khi t=0. lý này chng minh nh sau: = 0 ] = 0 0 = 1 =0 + 1 0 = 1 (0) + () Nu các iu kin u bng không, ta có 2-20 = () Định lí giá trị cuối. giá tr cu cho bit m liên h gia giá tr ca hàm f(t) tr thái n (cân bng) v giá tr c sF(s) t lân cn s=0 . lí này áp d nu tn t lim () , ngh là f(t) nhn giá tr h h nào ó khi t lí phát biu nh sau: () , thì () = 0 () ch minh lí này, trong phng trình c Laplace c df(t)/dt ta cho s tin t 0, hay lim 0 = lim 0 (0) Do lim = 1 , cho nên ta có 0 = 0 = 0 = 0 (0) T ó ta có iu khin t ng (1) Bùi H Trang - 38 - 2-21 = = 0 D vào lí này ta có th xác giá tr cân bng n c f(t) t giá tr c sF(s) t lân c s=0. Không nh thi ph luôn tìm Laplace nh trên. Trong t ng, các hàm s mà ta th kh sát th có m s d c bn, do v ng ta lp ra bng nguyên hàm và Laplace c nó ta tin tra cu. Ngoài ra các b có th dùng các chng trình MATLAB, MAPLE tìm Laplace c các hàm khá d dàng. 2.1.4 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace thuận (Bảng 2-1) Bảng 2-1: Các tính chất của biến đổi Laplace 1 = 2 1 ± 2 = F 1 ± F 2 (s) 3 = 0 4 2 2 = 2 0 0 5 = =1 1 0 ± ; 1 0 ± = 1 1 6 = () + =0± 7 0 = () 2.2 - Hàm truyền 2.2.1 Khái niệm hàm truyền: Trong t ng iu khin, hàm truyn th c dùng c trng cho quan h vào-ra c các thành phn hay c các h thng vn có th mô t c bng các phng trình vi phân tuyn tính h s hng. iu khin t ng (1) Bùi H Trang - 39 - V, hàm truyn c m h thng phng trình vi phân tuyn tính h s hng ngh là t s gia Laplace c u ra (hay hàm ng) chia cho Laplace c u vào (hay hàm tác ng) v gi là m iu kin u u bng không. 2.2.2 Biểu thức tổng quát của hàm truyền: Gi s có mt h thng tuy tính h t (h s hng) mô t bng phng trình vi phân sau 2-22 0 + 1 1 + + 1 + = 0 + 1 1 + + 1 + ; Trong y là u ra, còn x là u vào. Ta có hàm truyn c h thng này nh phép bin i Laplace c hai v c phng trình có Laplace c u ra và u vào v gi là m iu kin u u bng không: 2-23 = [] / @ =0 = 0 + 1 1 + + 1 + 0 + 1 1 + + 1 + V khái nim hàm truyn ta có th biu din ng lc hc h thng bng các phng trình s c s . Nu s m cao nh c s m s c hàm truyn là n thì ta nói rng h thng có bc n . 2.2.1 Nhận xét về hàm truyền Các ng d c hàm truyn b gii h trong các h thng tuyn tính h s hng (ngh là các thông s c h không thay i theo th gian) và s d th xuyên trong phân tích các h thng d này. 1- Hàm truyn c mt h thng là m mô hình toán hc ch ng phng thc biu din bng phng trình vi phân m liên h c bin ra i v bin vào. 2- Hàm truyn chính là mt thuc tính c m h thng, c l v c và bn ch c u vào (hay tác ng). 3- Hàm truyn bao g các phn t cn thi th hin mi liên h c u vào i v u ra. Tuy nhiên, nó không cho ta bi b k thông tin nào v cu trúc v lý c h thng mà nó mô t. Ngh là, hàm truyn c r nhiu h thng v lý khác nhau l hoàn toàn ging nhau. 4- N ta bi hàm truyn c mt h thng, ta có th nghiên c u ra hay ng c h thng i v m lo d u vào khác nhau nhm hiu rõ bn ch c h thng. 5- N ta không th tìm hàm truyn c m h thng bng các phép mô t toán hc thông d, ta có th tìm hàm truyn c h bng thc nghim, bng cách áp d mt s các tín hi vào cho tr ri nghiên c ra c h thng. Khi tìm c, hàm truyn này th hin các c trng ng lc hc c h thng, khác v mô t v lý c h. iu khin t ng (1) Bùi H Trang - 40 - 2.3 Xây dựng và biến đổi sơ đồ khối 2.3.1 Sơ đồ khối của mạch kín. HÌNH 2-2 gi thiu m s khi c m kín. Tín hiu ra, hay là bin c iu khin Y(s)=G(s).E(s) theo ngh v hàm truyn. Tín hiu Y(s) s hi tip v im so sánh. Tín hiu ra im so sánh là k qu c s c hai tín hiu vào: cho tr (hay tham chiu) R(s) và hi tip C(s) C(s). Nh v, quan h gia các tín hiu, chc nng c tng kh c th hin r rõ ràng trên s khi. Trong m s kh s có nhiu kh, im so sánh và các im r nhánh. Hình 2-2: Sơ đồ khối của mạch kín (có phản hồi) Bin c iu khin khi c a v im so sánh ph có cùng d tín hiu, bn ch v lí, n v o v tín hiu vào cho tr nh các chuyn i cn thi. Ví d trong HÌNH 2-2, n R(s) có d là lc, áp su hay in áp din cho nhi cho tr (nhi ta mun có), còn Y(s) là nhi cn iu khin, v trc khi Y(s) c g v im so sánh cng hoc tr vi R(s) t ra tín hiu lch E(s), nó cn ph c chuyn i thành l C(s) ging v R(s) thông qua khi cm bin có hàm truyn H(s), C(s)=H(s).Y(s). 2.3.2 Hàm truyền của hai khâu mắc nối tiếp 1 (s) và G 2 (s), xem HÌNH 2-3 A 2-24 1 = 1 ; = 2 1 ; () () = 1 2 ; . (1) Bùi H Trang - 35 - 2-1 1 . 1 = . 1 0 B cách th bin c lp t - ta có Laplace c nó có d: 2 -5 1() = (1 × ) = 0 1 ; Hàm dốc (Ramp Function) Hàm dc có d sau: iu khin t ng (1) Bùi H Trang - 34 - f(t) = 0 v t<0. 2-7 sin = 1 2 e jt e jt Ta s tìm Laplace nh sau 2-8 sin = 2 ( 0 ) = 2 1 2 1 + = 2 2 Tng t, ta có 2-9