H p = d 1 + d 2 + … + d p = d 1 + d 1 (1 + r) + … + d 1 (1 + r) p-1 H p = d 1 x Mà d 1 = N x Nên H p = N x x = N x H p = N x Trong trường hợp phát hành bình giá: i = r H p = N x * Số trái phiếu còn lưu hành sau kỳ thanh toán thứ p, N p : N p = N - H p = N - N x = N [1- ] = N x N p = N x Trường hợp hoàn trái bình giá, i = r: N p = N x Ví dụ: Một công ty phát hành 20.000 trái phiếu mệnh giá 200.000 đồng, lãi suất 11%/năm và hoàn trả trong 10 năm với số tiền thanh toán cuối mỗi năm bằng nhau. Trái phiếu được hoàn trả với giá 210.000 đồng Xác định số trái phiếu còn lưu hành sau kỳ thanh toán thứ 7. Giải: r = = = = 0,1048 Số trái phiếu được hoàn trả sau kỳ thanh toán thứ 7: H 7 = N x = 20.000 x = 11.807 trái phiếu. Số trái phiếu còn lưu hành sau kỳ thanh toán thứ 7 N – H 7 = 20.000 - 11.807 = 8.193 trái phiếu. 7.2.3.3.Bảng hoàn trái Trên lý thuyết, bảng hoàn trái trái phiếu cũng giống như bảng hoàn trả trái khoản. Tuy nhiên, lập bảng hoàn trái trái phiếu gặp khó khăn hơn vì thực tế số trái phiếu hoàn trái mỗi kỳ phải là số nguyên. Do đó, cần phải điều chỉnh số trái phiếu hoàn trái mỗi kỳ sao cho tổng số trái phiếu được hoàn trả phải bằng tổng số trái phiếu được phát hành. N = d 1 + d 2 + … + d n = Thông thường, có hai cách điều chỉnh số trái phiếu được hoàn trả: - Điều chỉnh trị số nguyên của số trái phiếu hoàn trả có phần thập phân lớn nhất. - Điều chỉnh liên tục. Qua bảng hoàn trái trái phiếu, ta sẽ biết được: - Số trái phiếu còn sống đầu kỳ, N k-1 . - Số trái phiếu hoàn trả vào cuối kỳ, d k . - Số tiền lãi phải trả cuối kỳ, N k-1 .I. - Số tiền hoàn trái cuối kỳ, d k .R. - Số tiền thanh toán cuối kỳ, a: a = N k-1 .I + d k .R. Ví dụ: 1. Lập bảng hoàn trái của một khoản vay bằng trái phiếu gồm 20.000 trái phiếu, mệnh giá 50.000 đồng, lãi suất trái phiếu là 12%/năm, hoàn trái ngang giá và được thanh toán bằng 5 kỳ khoản đều vào cuối mỗi năm. Giải: N = 20.000 R = C = 50.000 r = i = 12%/năm n = 5 a = N.C x = 20.000 x 50.000 x = 277.409.732 d 1 = N x = 20.000 x = 3.148,19464 d 2 = d 1 (1 + i) = 3.148,19464 (1+12%) = 3.525,97799 d 3 = d 2 (1 + i) = 3.525,97799 (1+12%) = 3.949,09535 d 4 = d 3 (1 + i) = 3.949,09535 (1+12%) = 4.422,98679 d 5 = d 4 (1 + i) = 4.422,98679 (1+12%) = 4.953,74521 - Theo cách điều chỉnh trị số nguyên của số trái phiếu hoàn trả có phần thập phân lớn nhất: d 1 = 3.148,19464 => phần nguyên: 3.148 d 2 = 3.525,97799 => phần nguyên: 3.525 d 3 = 3.949,09535 => phần nguyên: 3.949 d 4 = 4.422,98679 => phần nguyên: 4.422 d 5 = 4.953,74521 => phần nguyên: 4.953 Tổng: 20.000 19.997 Số trái phiếu cần điều chỉnh là 3 => bổ sung vào d 2 , d 4 và d 5 . Vậy, số trái phiếu hoàn trả trong 5 năm là : d 1 = 3.148 d 2 = 3.526 d 3 = 3.949 d 4 = 4.423 d 5 = 4.954 - Theo cách điều chỉnh liên tục: Năm Luỹ kế của số trái phiếu được hoàn trả Luỹ kế lý thuyết Luỹ kế điều chỉnh Số trái phiếu được hoàn trả thực sự 1 d 1 3.148,19464 3.148 3.148 2 d 1 + d 2 6.674,172630 6.674 3.526 3 d 1 + d 2 + d 3 10.623,26798 10.623 3.949 4 d 1 + d 2 + d 3 + d 4 15.046,254770 15.046 4.423 5 d 1 + d 2 + d 3 + d 4 + d 5 19.999,99998 20.000 4.954 Ta cũng thu được kết quả tương tự như cách điều chỉnh trên Bảng hoàn trái của một khoản vay bằng trái phiếu gồm 20.000 trái phiếu, mệnh giá 50.000 đồng, lãi suất trái phiếu là 12%/năm, hoàn trái bình giá và được thanh toán bằng 5 kỳ khoản đều lý thuyết vào cuối mỗi năm là a = 277.409.732 đồng. Số trái phiếu Kỳ khoản thanh toán Năm Lưu hành, N k- 1 Hoàn trả, d k Tiền lãi, N k-1 .I Tiền hoàn trái, d k .R Tổng số a k = N k-1 .I + d k .R 1 20.000 3.148 120.000.000 157.400.000 277.400.000 2 16.852 3.526 101.112.000 176.300.000 277.412.000 3 13.326 3.949 79.956.000 197.450.000 277.406.000 4 9.377 4.423 56.262.000 221.150.000 277.412.000 5 4.954 4.954 29.724.000 247.700.000 277.424.000 Tổng 20.000 387.054.000 1.000.000.000 1.387.054.000 Các kỳ khoản trả nợ sẽ không hoàn toàn bằng nhau mà sẽ có một khoản chênh lệch nhỏ do các số đã được quy tròn. 2. Một doanh nghiệp muốn thu hút một khoản vốn vay bằng cách phát hành 3.000 trái phiếu mệnh giá 100.000 đồng, lãi trái phiếu là 11%/năm, hoàn giá bình trái. Khoản vay này sẽ được thanh toán bằng các kỳ khoản đều vào cuối mỗi năm trong vòng 10 năm. Trình bày 2 dòng 8 và 9 của bảng hoàn trái cho khoản vay bằng trái phiếu trên. Giải: N = 3.000 R = C = 100.000 r = i = 11%/năm n = 10 a = N.C x = 3.000 x 100.000 x a = 50.940.428 đồng. Số trái phiếu còn lưu hành sau kỳ thanh toán thứ 8: N 8 = N x = 3.000 x = 872 Số trái phiếu hoàn trả trong kỳ thanh toán thứ 9: d 9 = d 1 (1 + i) 8 d 1 = N x d 9 = N x x (1 + i) 8 = 3.000 x x (1 + 11%) 8 = 413 Số trái phiếu Kỳ khoản thanh toán Năm Lưu hành, N k- 1 Hoàn trả, d k Tiền lãi, N k-1 .I Tiền hoàn trái, d k .R Tổng số a k = N k-1 .I + d k .R 9 872 413 9.592.000 41.300.000 50.892.000 10 459 459 5.049.000 45.900.000 50.949.000 Tổng 872 14.641.000 87.200.000 101.841.000 7.2.4. Trái phiếu thanh toán với số lượng trái phiếu hoàn trả bằng nhau ở mỗi kỳ 7.2.4.1.Công thức liên hệ a. Công thức cơ bản Số trái phiếu được hoàn trả ở mỗi kỳ: d 1 = d 2 = … = d n = = d b. Số trái phiếu còn lưu hành ở các kỳ: N 1 = N – d 1 = N - d N 2 = N 1 – d 2 = N – d – d = N -2d N 3 = N 2 – d 3 = N - 2d – d = N -3d … N n = N n-1 - d n = N –nd = 0 . d 1 3. 148 ,1 946 4 3. 148 3. 148 2 d 1 + d 2 6.6 74, 172630 6.6 74 3.526 3 d 1 + d 2 + d 3 10.623,26798 10.623 3. 949 4 d 1 + d 2 + d 3 + d 4 15. 046 ,2 547 70 15. 046 4. 423 5. = 3.525,97799 => phần nguyên: 3.525 d 3 = 3. 949 ,09535 => phần nguyên: 3. 949 d 4 = 4. 422,98679 => phần nguyên: 4. 422 d 5 = 4. 953, 745 21 => phần nguyên: 4. 953 Tổng: 20.000. 56.262.000 221.150.000 277 .41 2.000 5 4. 9 54 4. 9 54 29.7 24. 000 247 .700.000 277 .42 4.000 Tổng 20.000 387.0 54. 000 1.000.000.000 1.387.0 54. 000 Các kỳ khoản trả nợ sẽ không hoàn toàn