Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tính dẹt của mặt đối chiều hai spacelike trong ln+1" pot

Tính dẹt của mặt đối chiều hai spacelike trongLn+1Đặng Văn Cườnga Tóm tắt.. Trong bài báo này chúng tôi giới thiệu cách xây dựngn±r-ánh xạ Gauss cho một mặt đối chiều hai spacelike chính

Tính dẹt của mặt đối chiều hai spacelike trongLn+1

Đặng Văn Cường(a)

Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi giới thiệu cách xây dựngn±r-ánh xạ Gauss cho một mặt đối chiều hai spacelike chính quy trong không gian Lorentz-MinkowskiLn+1 Thông quan±r-ánh xạ Gauss chúng tôi khảo sát tính dẹt của mặt.

1 Mở đầu

Bằng cách đặt tương ứng một điểm trên một mặt đối chiều hai spacelike chính quy trong không gian Lorentz-Minkoski Ln+1 với một cặp vectơ chỉ phương của 2-phẳng pháp trong n-không gian hyperbolic tâm v bán kính 1, trong đó v = (0, 0, , 0, 1) ∈ Ln+1,

ta có khái niệm n±

r-ánh xạ Gauss Từ khái niệm này chúng ta có các khái niệm: n±

r

-ánh xạ Weingarten, n±

r-độ cong chính, n±

r-độ cong Gauss-Kronecker, n±

r-độ cong trung bình, điểm n±

r-dẹt, mặt n±

r-dẹt và thông qua các khái niệm này chúng tôi tiến hành khảo sát tính dẹt của mặt

2 Kiến thức cơ sở

2.1 Không gian Lorentz-Minkowski

Không gian Lorentz-Minkowski n-chiều Ln+1 là không gian vectơ Rn+1 cùng với một dạng song tuyến tính được xác định bởi

hx, yi =

n

X

k=1

xkyk− xn+1yn+1,

với x = (x1, x2, , xn+1), y = (y1, y2, , yn+1) ∈ Rn+1 Dạng song tuyến tính trên được gọi là giả tích vô hướng trên Ln+1

Với x ∈ Ln+1, độ dài của vectơ x được xác định theo (giả) tích vô hướng

||x|| =p|hx, xi|

2.2 Các loại vectơ

Cho x ∈ Ln+1, x 6= 0 Khi đó x được gọi là spacelike nếu hx, xi > 0, timelike nếu

hx, xi < 0và lightlike nếu hx, xi = 0

Hai vectơ x, y ∈ Ln+1được gọi là (giả) trực giao với nhau nếu hx, yi = 0

1 Nhận bài ngày 20/2/2008 Sửa chữa xong ngày 24/3/2008.

Nhận xét 2.1 (i) Hai vectơ lightlike phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau.

(ii) Hệ vectơ gồm hai vectơ khác loại thì độc lập tuyến tính

Bổ đề 2.1 Với a, b ∈ Ln+1, nếu a 6= 0, hb, bi = −c < 0 và ha, bi = 0 thì ha, ai > 0 Nói cách khác, một vectơ khác không trực giao với một vectơ timelike thì nó là vectơ spacelike Chứng minh Từ giả thiết dễ dàng suy ra được điều phải chứng minh

Chú ý, một vectơ trực giao với một vectơ spacelike thì chưa hẳn là vectơ timelike

2.3 Các loại phẳng

Cho Π là m-phẳng trong Ln+1

(+) Π được gọi là m-phẳng spacelike nếu không gian chỉ phương của Π chỉ chứa các vectơ spacelike hoặc vectơ 0;

(+) Π được gọi là m-phẳng timelike nếu không gian chỉ phương của Π có chứa ít nhất một vectơ timelike ;

(+) Π được gọi là m-phẳng lightlike nếu không gian chỉ phương của Π chứa ít nhất một vectơ lightlike và không chứa vectơ timelike nào

Nhận xét 2.2 Cho Π là một m-phẳng trong Ln+1 Khi đó Π chỉ có thể là m-phẳng spacelike, hoặc m-phẳng timelike, hoặc là m-phẳng lightlike

2.4 n-không gian hyperbolic

(i) Siêu mặt hyperbolic n-chiều, ký hiệu Hn(−1), được xác định như sau

Hn(−1) = {x ∈ Ln+1| hx, xi = −1}

(ii) n-không gian hyperbolic, ký hiệu Hn

+(−1), được xác định như sau

H+n(−1) = {x ∈ Ln+1 | hx, xi = −1, xn+1 > 0}

(iii) n-không gian hyperbolic tâm a ∈ Ln+1, bán kính r ∈ R+, ký hiệu Hn

+(a, r), được xác định như sau

H+n(a, r) = {x ∈ Ln+1| hx − a, x − ai = −r, xn+1≥ 0}

3 n±

r- ánh xạ Gauss

Trong mục này chúng tôi giới thiệu khái niệm mặt đối chiều hai spacelike trong

Ln+1, giới thiệu cách xây dựng n±

r-ánh xạ Gauss và các khái niệm liên quan Cuối cùng chúng tôi chứng minh một tính chất của n±

r-ánh xạ Gauss tương tự như ánh xạ Gauss trong hình học vi phân cổ điển

Định nghĩa 3.1 Cho M = X(U) là một mặt tham số hóa đối chiều hai trong Ln+1 M

được gọi là mặt đối chiều hai spacelike nếu (giả) tích vô hướng trên Ln+1cảm sinh một metric Riemann g trên M, xác định như sau

gp(w1, w2) = hw1, w2i, ∀w1, w2 ∈ TpM, ∀p ∈ M

Nói cách khác, M được gọi là mặt đối chiều hai spacelike nếu mọi vectơ trên TpM đều

là vectơ spacelike

Với mỗi p ∈ M, không gian pháp của M tại p, ký hiệu là NpM, được xác định như sau

NpM =N ∈ Ln+1| hN, Xui(p)i = 0, i = 1, 2, , n − 1 Nếu M là một mặt spacelike thì với mỗi p ∈ M không gian tiếp xúc TpM là (n − 1)-phẳng spacelike và không gian pháp NpM là 2-phẳng timelike

Để xây dựng n±

r-ánh xạ Gauss đối với mặt đối chiều hai spacelike M ta quan tâm

đến n-không gian Hyperbolic tâm v, bán kính 1 được xác định

H+n(v, 1) = {x ∈ Rn+1| hx − v, x − vi = −1, xn+1≥ 0}, với v = (0, 0, , 0, −1) ∈ Ln+1 Hn

+(v, 1) nhận được bằng cách tịnh tiến n-không gian hyperbolic dọc theo trục xn+1 đến vị trí có đỉnh nằm ở gốc toạ độ

Bổ đề 3.1 Cho Π là 2-phẳng timelike đi qua gốc toạ độ Khi đó, với mỗi r > 0 cho trước, tập hợp

{x = (x1, x2, , xn+1) ∈ Π ∩ H+n(v, 1) | xn+1= r}

chứa đúng hai vectơ

Chứng minh Π là 2-phẳng timelike nên nó chứa cặp vectơ chỉ phương đơn vị {a, b} sao cho a timelike, b spacelike và ha, bi = 0 Vì Π đi qua gốc toạ độ nên phương trình tham

số của Π được viết dưới dạng

x = λa + àb

Ta tìm λ, à sao cho x ∈ Hn

+(v, 1) và xn+1 = r > 0 Khi đó dễ dàng chỉ ra được hệ phương trình

(

hx − v, x − vi = −1,

xn+1= r ⇔

(

−λ2+ à2− 2(λan+1+ àbn+1) = 0,

λan+1+ àbn+1= r (3.1)

có hai nghiệm phân biệt Suy ra điều phải chứng minh

Cho M là mặt đối chiều hai spacelike trong Ln+1, khi đó với mỗi p ∈ M siêu phẳng {xn+1= r}, (r > 0)cắt hyperbola NpM ∩ H+n(v, 1)tại hai điểm n±

r(p), ta quy ước chọn các vectơ n±

r(p)sao cho

det(Xu1, Xu2, , Xun−1, n+r(p), n−r(p)) > 0

Ký hiệu HSr

+(v, 1) = H+n(v, 1) ∩ {xn+1= r}, r > 0

Định nghĩa 3.2 Với các ký hiệu trên, ánh xạ

n±r : M → HS+r(v, 1)

p 7→ n±r(p)

được gọi là n±

r-ánh xạ Gauss của mặt tham số hóa đối chiều hai spacelike M trong

Ln+1

Cho p = X(u1, u2, , un−1) là một điểm của M, khi đó n±

r(p)được xác định từ hệ phương trình







hXui, ni = 0, i = 1, 2, , n − 1,

hn − v, n − vi = −1,

nn+1= r > 0

(3.2)

Đặt Nn±r

p M = NpM ∩ Tn±

r (p)H+n(v, 1), ta có ánh xạ tuyến tính

dn±r

p : TpM → Tn±

r (p)H+n(v, 1) = TpM ⊕ Nn±r

p M

Xét các phép chiếu trực giao

πn

±

r (p)

T : TpM ⊕ Nn±r

p M → TpM, πn

±

r (p)

N : TpM ⊕ Nn±r

p M → Nn±r

p M ⊂ NpM,

ta có tự đồng cấu tuyến tính

An±r

p : TpM → TpM với An±r

p = −πn

±

r (p)

T ◦ dn±r

p Khi đó:

(i) ánh xạ An±r

p được gọi là n±

r-ánh xạ Weingarten của M tại điểm p;

(ii) n±

r-độ cong Gauss-Kronecker của M tại p, ký hiệu Kn±r

p , được định nghĩa từ n±

r

-ánh xạ Weingarten Kn±r

p = det(An±r

p ); (iii) n±

r-độ cong trung bình của M tại p cho bởi Hn±r

p = n−11 tr(An±r

p );

(iv) Các giá trị riêng kn r

1 (p), knr

2 (p), , knr

n−1(p) của An r

p được gọi là các n±

r-độ cong chính của M tại p

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của M được xác định như sau

gij = hXui, Xuji, i = 1, 2, , n − 1

Các hệ số của dạng cơ bản thứ hai của M tại p ∈ M được xác định như sau

bn±r

ij (p) = h ∂

2X

∂ui∂uj

(p), n±r(p)i, i, j = 1, 2, , n − 1

Mệnh đề 3.1 Cho p là một điểm tuỳ ý của mặt đối chiều hai spacelike M trong Ln+1, khi đó ta có

(1) n±

r- ánh xạ Weingarten là một toán tử tự liên hợp của TpM;

(2) các n±

r-độ cong chính kn±r

i (p), i = 1, 2, , n − 1 của M tại p là các nghiệm của phương trình (ẩn k)

det(bn±r

(3) n±

r-độ cong Gauss-Kronecker Kn±r

p được xác định như sau

Kn±r

p = kn±r

1 (p).kn±r

2 (p) kn±r

n−1(p) = det(b

n±r

ij (p)) det(gij(p)). Chứng minh Lấy p ∈ M Với mỗi (u1, u2, , un−1) ∈ U, ký hiệu

n±r(u1, u2, , un−1) = n±r(X(u1, u2, , un−1))

Khi đó ta có ánh xạ

n±r : U → H+n(v, 1)

Gọi α(t) = X(u1(t), u2(t), , un−1(t)), t ∈ (−ε, ε), ε > 0là một cung trơn trên M sao cho α(0) = p Ta có

β(t) = n±r(α(t)) = n±r(u1(t), u2(t), , un−1(t)), t ∈ (−ε, ε)

là một cung trơn trên Hn

+(v, 1)và β(0) = n±

r(0) Khi đó

dn±r

n−1

X

i=1

Xu i(p)u0i(0)

!

= dn±r(α0(0)) = d

dtn

±

r(u1, u2, , un−1)t=0

=

n−1

X

i=1

(n±r)u i(0)u0i(0)

Đặc biệt, ta có dn±

r(Xui) = (n±r)ui, i = 1, 2, , n − 1 Trước hết ta chứng minh

h(n±r)u i, Xu ji = h(n±r)u j, Xu ii, i, j = 1, 2, , n − 1

Thật vậy, từ đẳng thức hn±

r, Xu ii = 0, lấy đạo hàm hai vế theo uj ta được h(n±r)u j, Xu ii = −hn±r, Xu i u ji (3.4)

Từ đẳng thức hn±

r, Xuji = 0, lấy đạo hàm hai vế theo biến uiđược h(n±r)ui, Xuji = −hn±r, Xujuii = hn±r, Xuiuji (3.5)

Từ (3.4) và (3.5) ta suy ra h(n±

r)ui, Xuji = h(n±

r)uj, Xuii

Do đó hdn±

r(Xui), Xuji = hdn±r(Xuj), Xuii.Mặt khác ta có

dn±r = πn±r

T ◦ dn±r + πn±r

N ◦ dn±r và

hπn±r

N ◦ dn±r(Xui), Xuji = 0, i, j = 1, 2, , n − 1;

nên

hπn±r

T ◦ dn±r(Xui), Xuji = hπn±r

T ◦ dn±r(Xuj), Xuii

Nói cách khác

hAn±r

p (Xu i), Xu ji = hAn±r

p (Xu j), Xu ii

1 Do {Xu 1, Xu 2, , Xu n−1} là cơ sở của TpM nên với mọi w1, w2 ∈ TpM đều có

hAn±r

p (w1), w2i = hAn±r

p (w2), w1ihay An±r

p là toán tử tự liên hợp

2 Gọi (aij)là ma trận của An±r

p đối với cơ sở {Xu 1(p), Xu 2(p), , Xu n−1(p)}của TpM Khi đó

An±r

p (Xuj(p)) =

n−1

X

i=1

aijXui(p), i = 1, 2, , n − 1 (3.6)

Từ hệ phương trình (3.6) ta có

−hdn±r(Xu j(p)), Xu m(p)i = hA±p(Xu j(p)), Xu m(p)i =

n−1

X

i=1

ajihXui(p), Xu m(p)i

=

n−1

X

i=1

ajigim(p), m = 1, n − 1, j = 1, n − 1

Lưu ý bn±r

jm(p) = hXujum(p), n±r(p)i = −hdn±r(Xuj(p)), Xum(p)i với m = 1, n − 1, j =

1, n − 1.Suy ra

(bn±r

jm(p)) = (aji)(gim(p)) ⇒ (aji) = (bn±r

jm(p))(gim(p))−1,

vì {Xu 1(p), Xu2(p), , Xun−1(p)}độc lập tuyến tính và là các vectơ spacelike nên det(gim(p)) 6=

0 Suy ra tồn tại (gim)−1

Khi đó các n±

r-độ cong chính của M tại p là nghiệm của phương trình (theo ẩn k) det[(aij) − kI] = 0 ⇔ det[bn±r

jm(p) − k(gij(p))] = 0

Vậy, các n±

r-độ cong chính của M tại p là các giá trị riêng của (aij)hay nghiệm của phương trình (3.3)

3 Theo định nghĩa ta có Kn±r

p = det(aij) = det(b

n±r

p (p)) det(g ij (p))

4 Tính dẹt của mặt

Trong mục này chúng tôi đưa ra các khái niệm dẹt của mặt đối chiều hai spacelike trong Ln+1, sau đó tiến hành khảo sát một số tính chất liên quan đến tính dẹt của mặt

Định nghĩa 4.1 Cho M là một mặt tham số hóa đối chiều hai spacelike trong Ln+1 Chúng ta có các khái niệm

1 Với r cố định, điểm p ∈ M được gọi là điểm n+

r-dẹt (n−

r-dẹt) (flat) nếu An+r

p = 0 (An−r

p = 0);

2 M được gọi là mặt n+

r-dẹt nếu mọi điểm thuộc M đều n+

r-dẹt, (r cố định) M được gọi là mặt n±

r-dẹt nếu M là mặt n+

r-dẹt và n−

r-dẹt;

3 M được gọi là mặt dẹt nếu với mọi p ∈ M, p là n+

r-dẹt hoặc p là điểm n−

r-dẹt, với mọi r > 0;

Định lí sau cho ta quan hệ tương đương giữa tính n+

r-dẹt của mặt với tính hằng của hàm n+

r

Định lí 4.1 Cho M là một mặt đối chiều hai spacelike trong Ln+1, khi đó các phát biểu sau tương đương

1 M là mặt n+

r-dẹt (n−

r-dẹt);

2 n+

r(n−r)là một hàm hằng

Chứng minh 1 ⇒ 2 Ta sẽ chứng minh (n+

r)u i = 0, i = 1, 2, , n − 1 Giả sử tồn tại i sao cho (n+

r)u i 6= 0 Từ giả thiết M là n+

r-dẹt ta suy ra các hệ số của dạng cơ bản thứ hai ứng với n+

r bằng 0, nghĩa là

hXuiuj, n+ri = 0, i, j = 1, 2, , n − 1

Mặt khác ta có

hXuj, n+ri = 0, j = 1, 2, , n − 1 ⇒ hXujui, n+ri = −hXuj, (n+r)uii,

nên hXu j, (n+r)u ii = 0, j = 1, 2, , n − 1 Suy ra (n+

r)u i ∈ NpM, j = 1, 2, , n − 1 Vậy nên tồn tại λ, à ∈ R sao cho

(n+r)ui = λn+r + àn−r, i = 1, 2, , n − 1

Từ giả thiết (n+

r)n+1 = (n−r)n+1= rta suy ra (n+r)u i = λ(n+r − n−r) = λ[(n+r − v) − (n−r − v)] (4.1)

Sử dụng giả thiết hn+

r − v, n+

r − vi = −1lấy đạo hàm hai vế theo uita được h(n+

r)ui, n+r −

vi = 0, kết hợp với (4.1) ta có

λh(n+r − v) − (n−r − v), n+

r − vi = 0 ⇒ λ(−1 − hn+

r − v, n−r − vi) = 0

Với giả thiết (n+

r)u i 6= 0nên λ 6= 0 ta suy ra hn+

r − v, n−r − vi = −1.Ta có h(n+r)ui, (n+r)uii = λ2(−2 − 2hn+r − v, n−r − vi) = 0

Mặt khác, (n+

r)n+1 = rnên h(n+

r)u i, (n+r)u ii =

n

P

j=1

[(n+r)j]2ui = 0, mâu thuẫn với giả thiết (n+

r)ui 6= 0 Vậy n+

r là hàm hằng

2 ⇒ 1 Theo định nghĩa xác định n+

r ta có hXu i, n+ri = 0, i = 1, 2, , n − 1, nên

bij(n+r) = hXu i u j, n+ri = −hXui, (n+r)u ji = 0, i = 1, 2, , n − 1

Từ chứng minh của Mệnh đề 3.1, với (aij)là ma trận của An±r

P đối với cơ sở {Xu i}i=1,n−1 thì

(aij) = (bij(n+r)).(gij)−1 = 0

Suy ra M là mặt n+

r-dẹt

Định lí được chứng minh

Mệnh đề 4.1 Cho M là mặt tham số hóa đối chiều hai spacelike trong Ln+1 Khi đó (a) Nếu tồn tại r > 0 sao cho n+

r (hoặc n−

r) là một hàm hằng thì M chứa trong một siêu phẳng spacelike

(b) Nếu tồn tại r > 0 sao cho n+

r và n−

r là các hàm hằng hoặc tồn tại r1, r2 (r1 6= r2) sao cho n+

r 1, n+

r 2 (hoặc n+

r 1, n−r2) là các hàm hằng thì M chứa trong (n − 1)-phẳng,

và khi đó n±

r hằng với mọi r > 0 Trong không gian L4 thì lúc này M chứa trong một mặt phẳng

Chứng minh (a) Giả sử n+

r là hàm hằng, ta chứng minh hX, n+

ri = c ∈ R Thật vậy

∂

∂ui

hX, n+ri = hXui, n+ri + hX, (n+r)uii = 0, i = 1, 2, , n − 1

Suy ra hX, n+

ri = c ∈ R.Nói cách khác M chứa trong một siêu phẳng spacelike

(b) Là hệ quả trực tiếp của (a)

Nhận xét 4.1 (i) Nếu M là mặt dẹt thì M là mặt n±

r-dẹt

(ii) Nếu mặt M thỏa mãn điều kiện: tồn tại r > 0 sao cho n+

r và n−

r là các hàm hằng hoặc tồn tại r1, r2(r1 6= r2)sao cho n+

r 1, n−r2 là các hàm hằng thì cả hai khái niệm dẹt trong Định nghĩa 4.1 trùng nhau Như vậy, một mặt n±

r-dẹt là một mặt dẹt Chú ý.Mặt M là n+

r-dẹt thì không suy ra được nó là n−

r-dẹt và n+

r-dẹt không suy ra

được mặt đó là dẹt Ví dụ sau làm rõ điều này

Ví dụ 4.1 Trong L4 xét mặt tham số hóa

X : (0,π

2) ì (0,

π

2) → L4 (u, v) 7→ (u, v, sin v cos u, u + v − ε), ε > 0

Dể dàng chỉ ra được M = X((0,π

2) ì (0,π2))chứa trong một siêu phẳng spacelike nên

nó là một mặt 2-chiều spacelike trong L4

Với r = 2, giải hệ phương trình (3.2) ta nhận được

n+2 = (2, 2, 0, 2), n−2 = 2(1 + cos(u + v) sin v sin u, 1 − cos(u + v) cos v cos u, 1)

Từ kết quả của Định lí 4.1 ta suy ra M là n+

2-dẹt mà không là n−

2-dẹt

Với r = 1 giải hệ phương trình (3.2) ta nhận được

n±1 = (1 + sin v sin u2 cos(u + v) ±pcos2(u + v) + 2

1 − cos v cos u2 cos(u + v) ±pcos2(u + v) + 2

2 cos(u + v) ±pcos2(u + v) + 2

Rõ ràng n+

1 và n−

1 đều không là các hàm hằng, nên theo Định lí 4.1 ta suy ra mặt M không là mặt n+

1-dẹt và không là mặt n−

1-dẹt

tài liệu tham khảo

[1] Manfredo P do Carmo, Differential Geometry of Curves and surfaces, China Machine Press

[2] S Izumiya, On Legendrian singularities, Proceedings of AMS, 101, 1987, 748-752

[3] S Izumiya, D-H Pei and T Sano, The lightcone Gauss map and the lightcone developable of a spacelike curve in Minkowski 3-space, Glasgow Math J., 42, 2000, 75-89

[4] S Izumiya, D-H Pei and T Sano, Singularities of hyperbolic Gauss maps, Pro-ceedings of the London Mathematical Society, 86, 2003, 485-512

[5] S Izumiya, D Pei and M C Romero-Fuster, Umbilicity of spacelike submani-folds of Minkowski space, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 134A, 2004, 375-387

[6] S Izumiya, D-H Pei and T Sano, Horospherical surface of curve in Hyperbolic space, Publictiones Mathematicae (Debrecen), 64, 2004, 1-13

[7] S Izumiya, and María del Romero-Fuster, The lightlike flat geometry on space-like submanifolds of codimension two in Minkowski space, Prerint, April, 2006

Summary

The flatness of spacelike surfaces of codimension two inLn+1

In this paper we introduce the notion of n±

r -Gauss map for a spacelike surface of codimension two in the Lorentz-Minkowski space Ln+1and study the flatness of such surfaces

(a)Khoa KH-TN trường Đại học Duy Tân, Đà Nẵng.

... Tính dẹt mặt

Trong mục đưa khái niệm dẹt mặt đối chiều hai spacelike Ln+1, sau tiến hành khảo sát số tính chất liên quan đến tính dẹt mặt

Định nghĩa 4.1 Cho M mặt. ..

r -dẹt mặt với tính hàm n+

r

Định lí 4.1 Cho M mặt đối chiều hai spacelike Ln+1, phát biểu sau tương đương

1 M mặt n+... n−r2 hàm hai khái niệm dẹt Định nghĩa 4.1 trùng Như vậy, mặt n±

r -dẹt mặt dẹt Chú ý .Mặt M n+

r -dẹt khơng suy n−