Báo cáo nghiên cứu khoa học: "PHƯƠNG PHÁP MUSIC XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ VẬT TÁN XẠ ĐIỂM TRONG MÔI TRƯỜNG THUẦN NHẤT, ĐẲNG HƯỚNG Rd (d = 2, 3)" pot

PHƯƠNG PHÁP MUSIC XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ VẬT TÁN XẠ ĐIỂM TRONG MÔI TRƯỜNG THUẦN NHẤT, ĐẲNG d = 2, 3 THE MUSIC METHOD TO FIND THE POINT SCATTERERS IN THE HOMOGENEOUS, ISOTROPIC SPACE R D D =

PHƯƠNG PHÁP MUSIC XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ VẬT TÁN XẠ ĐIỂM TRONG MÔI TRƯỜNG THUẦN NHẤT, ĐẲNG

(d = 2, 3)

THE MUSIC METHOD TO FIND THE POINT SCATTERERS IN THE HOMOGENEOUS, ISOTROPIC SPACE R D (D = 2, 3)

PHẠM QUÝ MƯỜI

Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT

Mục tiêu của bài báo này là trình bày phương pháp MUSIC (viết tắt cho MUltiple-SIgnal-Classification) xác định vị trí của vật tán xạ điểm trong môi trường không thuần nhất đẳng hướng R d (d = 2, 3) và sử dụng hệ kỳ dị của toán tử tuyến tính để áp dụng phương pháp trong việc giải số bài toán Từ đó áp dụng giải số một số bài toán với dữ liệu giả định

ABSTRACT

This paper presents MUSIC method (standing for MUltiple-SIgnal-Classification) to find the point scatterers in the homogeneous, isotropic space Rd (d = 2, 3) Then, using singular system of the linear operator to apply in a numerical implementation by MUSIC method Then,

we apply it to some numerical examples with synthetic data

1 Đặt vấn đề

Trước hết, chúng ta phát biểu lại bài toán tán xạ điểm và một số kết quả được trình bày

trong [3]: cho một tập M vật tán xạ điểm có vị trí y1 , y2, , yM  Rd(d = 2, 3) trong môi

trường thuần nhất, đẳng hướng Rd

Sóng phẳng tới u inc (x,



 ) := exp( )





ikx , x  Rd,

1





 d

S

) bị tán xạ bởi các vật tán xạ tại yi Bỏ qua sự tán xạ giữa các

mục tiêu, sóng tán xạ u s xác định bởi









 M

i

i inc

i s

y x x

u t x

u

1

), , ( ) , ( )

C

t i là độ tán xạ của vật tán xạ thứ i(i = 1, ,M) và Φ là nghiệm cơ bản của

phương trình Helmholtz trong không gian Rd cho bởi



























3 4

) exp(

2 ),

( 4 ) , (

) 1 ( 0

d y

x

y x ik

d y x k H i y x



,

với ( 1 )

0

H là hàm Hankel bậc không kiểu một Ta có

, ),

1 ( )

,





x x

O e

x

e y

x ik d



đều theo

x

x

đây, suy ra

,

) (

) , ( )

, (

1

2 / ) 1 (

2 / ) 1













x x

O e

y u t x

e x

u

M

m

d y

x ik m inc m d

x ik d

và nền trường xa của sóng tán xạ xác định bởi

1 , )

, ( )

, (

1











 x t u y e  x u

M

m

y ik m inc m d

m







Bài toán tán xạ ngược là xác định vị trí các vật tán xạ y1 , y 2 , , y M khi biết

1

,

),

,









S x

x















  d

Phương pháp MUSIC(Viết tắt cho MUltiple-SIgnal-Classification) nổi tiếng trong các ứng dụng xử lý tín hiệu Như Devenay đã chỉ ra trong [1], phương pháp này cũng có thể được dùng cho xử lý ảnh, nghĩa là nó là một phương pháp để xác định một hoặc nhiều mục tiêu

chưa biết (vật tán xạ điểm) từ một ma trận phản hồi đa tỉnh F, F là ma trận vuông cấp N trong

đó Fij là dữ liệu đo được ứng với ănten nhận i và ănten phát j Trong trường hợp tổng quát, F là

một ma trận đối xứng nhưng không phải là ma trân Hermitean Hơn nữa, với những giả thiết

về hình học của các vật tán xạ và với dữ liệu chính xác, hạng của ma trận F trùng với số M các mục tiêu với điều kiện M ≤ N Chính xác hơn, người ta có thể định nghĩa một vectơ N



phụ thuộc vào điểm z tùy ý của không gian, sao cho z thuộc miền giá trị R(F) của F khi và chỉ khi z trùng với một trong các mục tiêu Sử dụng kết quả này, chúng ta có thể xác định vị trí

các mục tiêu bằng cách kiểm tra điều kiện z R(F)

Trong [1], [3] đã chỉ ra phương pháp MUSIC xác định vật tán xạ điểm đối với sóng cầu và song phẳng Trong 2, chúng ta sẽ trình bày lại phương pháp MUSIC đối với sóng phẳng Trong 3, chúng ta trình bày phương pháp sử dụng hệ kỳ dị để vào việc giải số bài toán

và áp dụng vào giải một số bài toán giả định

2 Phương pháp MUSIC

Chúng ta xét bài toán ngược nêu ở trên trong trường hợp hữu hạn, chúng ta luôn giả sử

N > M và định nghĩa ma trận phản hồi đa tĩnh FC NN xác định bởi

)

, , 1 , ( ,

) , ( )

, ( :

1

).

( 1

.

N l

j e

t

e y u t u

F

M

m

y ik m d

M

m

y ik l m inc m d l j jl

m l j

m j





















































(1)

C

S  và TC MM bởi

M m

N j

e

S ik j y m

jm:   . , 1, , ; 1, ,

và T:diag(d t m)

Khi đó, dễ thấy

F = STS * (2)

với S * là ma trân liên hợp của S Từ kết quả cơ bản của đại số tuyến tính, ta có nếu N > M và nếu vị trí của các ym sao cho ma trân S có hạng lớn nhất bằng M thì miền giá trị R(F),R(S) của

F và S trùng nhau

Với mỗi điểm z  Rd, chúng ta định nghĩa một vectơ N

T z ik z ik z ik z

N

e e

(













   



Chú ý rằng

1

y

2

y

 , ,

M

y

 là các cột của ma trân S Chúng ta có kết quả sau

, , 1















  d

giải tích xác định trên d 1

S bằng không tại n,nN, thì đồng nhất bằng không Khi đó, tồn

tại một số tự nhiên N0N sao cho với bất kỳ n > N 0 tính chất sau thỏa mãn

)

( , ,

, 2

y

Vì miền giá trị của F và S trùng nhau nên tính chất trên tương đương với

, 0 )

( , ,

, 2

y y y M z R F P z

trong đó P:C N R(F) Ker(F*)

là phép chiếu trực giao lên không gian con Ker(F * ) của

F

,

, :

) )(

1

M

m

y x ik

x









Trước hết ta chứng minh K là đơn ánh Thật vậy, cho λ  CM sao cho (Kλ)(



x ) = 0, 



x S d-1 Điều này có nghĩa là nền trường xa của hàm 





M

m

m

1

) (.,

trên S d-1 Theo bổ đề Rellich, hàm 





M

m

m

1

) , (

 = 0 với mọi x  R d \{y1, , yM} Cho x dần đến ym ta suy ra λm = 0(m = 1, ,M) Vậy K là đơn ánh

Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng, tồn tại N0  N sao cho

T N

K K

(

0

2 1



















từ CM

vào C N là đơn ánh với mọi N > N0 Giả sử không tồn tại N0 như thế Khi đó, tồn tại dãy

 N l N và  l M

C

 )

1 ) 





M

m

l m

 và l)(n)0

K  với mọi n = 1, 2, , N Vì C l M

là một không gian Banach nên dãy  (l) có một dãy con hội tụ Không mất tính tổng quát, ta

1







M

m m

thức tam giác, ta có



































M

m

l

m

y ik l n

l n

l n

l

e K

K

1

)

1

) )

)

, 0

) )(

( ) )(

( ) (





















Do đó Kλ(n ) = 0,  n  N Vì Kλ là hàm giải tích trên Sd-1 nên theo giả thiết ta có Kλ

= 0 Theo chứng minh phần trên ta có λ = 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết 1

1







M

m m



Từ định lý trên, ta thấy đồ thị của hàm



P z W

z

, ) (

1 : ) (

sẽ cho giá trị kỳ dị tại các điểm y1, y2, , yM

3 Hệ kỳ dị và ứng dụng phương pháp MUSIC giải số bài toán

Trước hết chúng ta nhắc lại một số định nghĩa và định lý cần thiết sau

Định nghĩa Cho X,Y là các không gian Hilbert và K : X → Y là toán tử tuyến tính compact

: Y→ X Gọi j , j  J là các giá trị riêng của toán tử K * K Các căn

hoặc J = N

: Y→ X

là toán tử liên hợp của nó, và ν1 > ν2 > > 0 là dãy các giá trị kỳ dị dương được sắp xếp theo thứ tự giảm dần và được đếm với số bội tương ứng Khi đó tồn tại hệ vectơ trực chuẩn

 x j  X và  y j  Y thỏa mãn tính chất sau

j

j

Kx  và K*y j j x j

, j J

Hệ (j,x j,y j: jJ) được gọi là hệ kỳ dị của toán tử K

Chứng minh Xem tài liệu tham khảo [2], Định lý A.50, tr 241

Định lý 3.3 (Picard) Cho K : X→ Y là toán tử tuyến tính compact với hệ kỳ dị

) :

,

,

(j x j y j jJ Phương trình

Kx = y giải được nếu và chỉ nếu

) (K* Ker

J

j

y y

2

2

) , (



Chứng minh Xem tài liêu tham khảo [2], Định lý A51, tr.242

Bây giờ ta quay lại toán tử phản hồi đa tỉnh F xác định bỡi (1) Gọi F1 là toán tử xấp xỉ

của F và (νj , xj , yj : j = 1, ,N) là hệ kỳ dị của F1 Ta định nghĩa























 y y z z

W

N

j

, ) , ( :

) (

1

1 2

2

d

Từ định lý Picard và định lý 2.1, chúng ta thấy rằng giá trị của hàm W(z) với z  {y 1 , , y M } lớn hơn rất nhiều so những điểm z  {y1, , y M }

Dưới đây, chúng ta minh họa phương pháp qua hai bài toán giả định Các chương trình

giải số viết trong môi trường maple Trong hai ví dụ, chúng ta xét bài toán trong R2

(d = 2) và chọn một lưới điểm z Ứng với mỗi điểm z, chúng ta tính z và W(z) Các đồ thị của W(z) ứng với N = 10, k = 2π và các điểm chia đều j , j = 1, 2, , N trên đường tròn đơn vị S Ứng với

mỗi hình là hai đồ thị bên trái và bên phải tương ứng với đồ thị đường viền và đồ thị 3D của

W(z)

Hình 1

Hình 2

Hình 1 ứng với M = 2 và tm tương ứng là 1 + i, 1.5+I tại các điểm (−1, 1), (-0.5, -1) Hình 2 ứng với M = 3 và tm bằng 1, 1.5 + i và 2 tại các điểm (−1, 1), (0, 0), (1, 0.5)

4 Kết luận

Bài báo này đã trình bày một tiêu chuẩn để xác định ví trị của vật tán xạ điểm từ dữ liệu trường xa của sóng tán xạ(trong thực tế nó được xác định thông qua một thiết bị đo và tác giả chưa được biết về thiết bị này) Từ phương pháp MUSIC và lý thuyết về hệ kỳ dị, bài báo

đã nêu ra một tiêu chuẩn để giải số bài toán Tuy nhiên, bài báo này chưa đề cập đến tính ổn định của giải thuật Tính ổn định của giải thuật sẽ được trình bày trong các bài báo sau

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] A J Devaney, Super-resolution processing of multi-static data using time reversal

and MUSIC, IEEE Trans Image Process Submitted

[2] A Kirsch, Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, New York:

Springer, 1998

[3] A Kirsch, The MUSIC algorithm and the factorization method in inverse scattering

theory for inhomogeneous media, Inverse Problems 18: 1025–1040, 2002