241289

MÅÍ ÂÁƯU. Cáúu trục âải säú âỉåüc xạc âënh båíi viãûc cho trãn táûp nãưn mäüt hay nhiãưu phẹp toạn trong hay ngoi tha mn cạc tiãn âãư â cho. Ngoi ra chụng ta cọ thãø xáy dỉûng mäüt cáúu trục âải säú bàòng cạch láúy âäúi ngáùu mäüt cáúu trục â cọ. Âải säú l mäüt cáúu trục phong phụ, nọ cọ cáúu trục mä âun (phẹp toạn cäüng v phẹp nhán ngoi) âäưng thåìi cng cọ cáúu trục vnh (phẹp nhán trong). Âáy l cáúu trục âỉåüc sỉí dủng nhiãưu trong toạn hc hiãûn âải. Âäúi âải säú l mäüt cáúu trục âỉåüc xáy dỉûng trãn viãûc láúy âäúi ngáùu ca âải säú thäng qua ngän ngỉỵ tenxå. Chênh vç váûy cáúu trục ny ráút gáưn våïi cáúu trục âải säú. Trong tiãøu lûn ny chụng täi trçnh by mäüt säú âënh nghéa v tênh cháút cå bn ca âäúi âải säú âäưng thåìi âỉa ra cạc vê dủ âãø minh hoả cho âënh nghéa, tênh cháút âọ cng nhỉ viãûc so sạnh hai cáúu trục nọi trãn. Tiãøu lûn ny l sỉû cäú gàõng ca bn thán chụng täi trong quạ trçnh tiãúp thu, hc táûp, tham kho cạc ti liãûu. Tuy nhiãn, tiãøu lûn cng cn nhiãưu hản chãú. Mong âỉåüc sỉû thäng cm ca qu tháưy cä. Xin chán thnh cm ån! I. TỌM TÀÕT L THUÚT 1. Têch tenxå 1.1. Âënh nghéa: Cho M R ; R N l cạc mä dun 1 Càûp ( T, τ) bao gäưm: T nhọm aben τ: M x N → T l ạnh xả song tuún tênh âỉåüc gi l têch tenxå ca M v N nãúu våïi mi nhọm aben A v våïi mi ạnh xả song tuún tênh. β: M x N → A Täưn tải duy nháút Z - âäưng cáúu f: T → A sao cho gin âäư sau giao hoạn: M x N → T f β A 2. Âải säú v âäúi âải säú: Âải säú hay âäúi âải säú âỉåüc xáy dỉûng trãn mäüt vnh cå såí R. ÅÍ pháưn ny ta chè xẹt R l vnh giao hoạn cọ âån vë 1 ≠ 0. 2.1.Âải säú. 2.1.1. Âënh nghéa: Chụng ta chè xẹt âënh nghéa ca âải säú qua ngän ngỉỵ tenxå (mủc âêch l âãø láúy âäúi ngáùu). Âënh nghéa: Mäüt R - mäâun A âỉåüc gi l R - âải säú nãúu täưn tải mäüt âäưng cáúu R - mäâun µ: A ⊗ R A → A (µ âỉåüc gi l phẹp nhán ca A). 2.2. Âäúi âải säú. Láúy âäúi ngáùu ca âënh nghéa âải säú ta cọ âënh nghéa âäúi âải säú. 2.2.1. Âënh nghéa: Mäüt R - mänâun C âỉåüc gi l R- âäúi âải säú nãúu täưn tải mäüt R- âäưng cáưu ∆: C → C ⊗ R C (∆ âỉåüc gi l âäúi nhán ca C) 2.3. Nháûn xẹt: -µ (∆) l cạc R- âäưng cáúu ⇒ A ⊗ A (C ⊗ C) l cạc mäâun ⇒ A (C) l cạc song mäâun âiãưu ny âỉåüc gii thêch båíi R l vnh giao hoạn. - R- âải säú A ráút gáưn våïi R- âäúi âải säú C. Âiãưu ny do kh nàng láûp âỉåüc mäüt têch cạc R- âäưng cáúu tỉì C. 2 τ Củ thãø: Täưn tải R- âäưng cáúu. Hom R (C, A) ⊗ Hom R (C, A) → Hom (C, A) f ⊗ g [C → C ⊗ C → A ⊗ A → A] 3. Tênh cháút ca âäúi âải säú: Cạc âải säú âỉåüc phán loải tu theo tênh cháút ca phẹp nhán trong nọ. Âiãưu ny cng âỉåüc diãùn âảt theo ngän ngỉỵ tenxå v bàòng cạch láúy âäúi ngáùu ta cng cọ cạc tênh cháút tỉång ỉïng ca âäúi âải säú 3.1. Tênh âäúi kãút håüp. 3.1.1. Âënh nghéa: Cho ∆: C → C ⊗ C l mäüt âäúi âải säú. C âỉåüc gi l âäúi kãút håüp nãúu våïi mi R- âải säú kãút håüp µ : A ⊗ A → A, Hom R (C, A) l mäüt âải säú kãút håüp. Nháûn xẹt: Tênh âäúi kãút håüp ca âäúi âải säú âỉåüc chuøn qua tênh kãút håüp ca âải säú Hom R (C, A). 3.1.2. Mãûnh âãư. Cạc âiãưu kiãûn sau l tỉång âỉång âäúi våïi R- âäúi âải säú C. (1) C l âäúi kãút håüp. (2) Gin âäư l giao hoạn C C ⊗ R C id ⊗ ∆ C ⊗ R C C ⊗ R C ⊗ R C Nghéa l (id ⊗ ∆) o ∆ = (∆ ⊗ id) o ∆ 3.2. Tênh âäúi giao hoạn. 3.2.1. Âënh nghéa: Cho ∆ : C → C ⊗ R C l âäúi âải säú. C âỉåüc gi l âäúi giao hoạn nãúu våïi mi R- âải säú giao hoạn µ : A ⊗ R A → A, Hom (C, A) l âải säú giao hoạn. Nháûn xẹt: Tênh âäúi giao hoạn ca âäúi âải säú âỉåüc chuøn qua tênh giao hoạn ca âải säú Hom (C, A). 3.2.2. Mãûnh âãư: Cạc âiãưu kiãûn sau l tỉång âỉång âäúi våïi âäúi âải säú C (1) C l âäúi giao hoạn. (2) Gin âäư sau l giao hoạn. C ∆ C ⊗ R C 3 ∆ f ⊗ g µ ∆ ∆ ⊗ id τ ∆ C ⊗ R C Trong âọ: τ: C ⊗ R C → C ⊗ R C x ⊗ y → y ⊗ x 3.3. Âäúi âån vë. 3.3.1. Âënh nghéa: Cho ∆: C → C ⊗ R C l mäüt âäúi âải säú. Mäüt R- âäưng cáúu ε: C → R âỉåüc gi l âäúi âån vë ca C nãúu våïi mi R- âải säú cọ âån vë A, R- âải säú Hom R (C, A) l mäüt âải säú cọ âån vë âàûc biãût ε l âån vë ca Hom R (C 1 , R). 3.3.2. Mãûnh âãư. Cạc âiãưu kiãûn sau l tỉång âỉång âäúi våïi R- âäúi âải säú C. (1) C cọ âäúi âån vë ε: C → R (2) Gin âäư sau giao hoạn: R ⊗ R C C ⊗ R C C ⊗ R R ∆ 1 − l υ C 1 − r υ Trong âọ: l υ (r ⊗ c) = r c v r υ (c ⊗ r) = c r Nghéa l: (ε ⊗ id) o ∆ = 1 − l υ ( id ⊗ ε) o ∆ = 1 − r υ II. CẠC VÊ DỦ 1. Âäúi âải säú: Vê dủ 1: R vnh báút k thç R l Z- âäúi âải säú. Chỉïng minh: R-Z modun Xẹt R- âäưng cáúu: ∆: R → R ⊗ Z R r → r ⊗ r 0 ;(r 0 ∈ R) ∆(r 1 + r 2 ) = (r 1 + r 2 ) ⊗ r 0 = r 1 ⊗ r 0 + r 2 ⊗ r 0 = ∆ (r 1 ) + ∆ (r 2 ) ∆ (z.r) = z.r ⊗ r 0 = (r + r + r + r) ⊗ r 0 = z.( r ⊗ r 0 ) =z.∆(r) z láưn Vê dủ 2: R l vnh giao hoạn cọ âån vë 1 ≠ 0 tỉì R l R - âäúi âải säú. Chỉïng minh: R l R-mäâun 4 ε ⊗ id id ⊗ ε Xẹt R-âäưng cáúu ∆: R → R ⊗ R r → r ⊗ 1 ∆(r 1 + r 2 ) =(r 1 + r 2 ) ⊗1= r 1 ⊗1+ r 2 ⊗1=∆ (r 1 ) + ∆ (r 2 ) ∆ (r.r’) = (r.r’) ⊗1 = r ⊗ r’.1 = (r ⊗ 1) r’ = ∆ (r) r’ Vê dủ 3: Cho F l R- mäâun tỉû do våïi cå så í f x X X l táûp no âọ Khi âọ : F l R- âäúi âải säú Xẹt ∆: F → F ⊗ F f x → f x ⊗ f x0 Vê dủ 4: Cho R l vnh giao hoạn cọ âån vë 1 ≠ 0. Vnh âa thỉïc mäüt biãún R [x] cng phẹp nhán vä hỉåïng thäng thỉåìng ca âa thỉïc l mäüt R- âäúi âải säú. Xẹt ∆: R [x] → R [x] ⊗ R[x] f(x) → f ( x) ⊗ f 0 (x) Täøng quạt: Vnh âa thỉïc n biãún cng l R _âäúi âải säú. Vê dủ 5: R-modun M n (R) = { } njiRanxna ijij 1,,,)( =∈ cng våïi phẹp nhán thäng thỉåìng cạc ma tráûn vng cáúp n l mäüt R-âäúi âải säú. Xẹt ∆ : M n (R) → M n (R) ⊗ M n (R) A → A ⊗ I 2. Âäúi kãút håüp Vê dủ 1: R l vnh giao hoạn cọ âån vë 1 ≠ 0 . R l âäúi âải säú v R l âäúi kãút håüp ∆ R R ⊗ R R ∆ id ⊗ ∆ ∆ ⊗ id R ⊗ R R R ⊗ R R ⊗ R R Trong âọ: ∆ (r) = r ⊗ 1 så âäư trãn giao hoạn 3. Âäúi giao hoạn Vê dủ 1: R l vnh giao hoạn cọ âån vë 1 ≠ 0 . R l R-âäúi âải säú v R l âäúi giao hoạn 5 Xẹt R-âäưng cáúu ∆(r) = r ⊗ 1 v τ(x ⊗ y) = y ⊗ x så âäư sau giao hoạn ∆ R R ⊗ R R τ ∆ R ⊗ R R (∆(r) = r ⊗ 1= 1⊗ r = τ∆(r) ) 4 . Âäúi âån vë Vê dủ 1: Âàóng cáúu chênh tàõc R → R ⊗ R R xạc âënh mäüt R-âäúi âải säú trãn R våïi âån vë R → R nhỉ l âäúi âån vë Vê dủ 2: F l R- mä âun tỉû do våïi cå såí f x X .X l táûp no âọ F l R- âäúi âải säú våïi R-âäưng cáúu ∆: F → F ⊗ R F , f x → f x ⊗ f x Khi âọ âäúi âån vë l âäưng cáúu ε : F → R f x →1 (ε ⊗ id)∆(f x ) = (ε ⊗ id)(f x ⊗ f x ) = 1⊗ f x = 1 − l υ (f x ) (id ⊗ ε)∆(f x ) = (id ⊗ ε)(f x ⊗ f x ) = f x ⊗ 1= 1 − r υ (f x ) 6 TI LIÃÛU THAM KHO 1-Lã Vàn Thuút, Cạc cáúu trục Âải säú cå bn, NXB GD 1999 2-Nguùn Hỉỵu Viãût Hỉng, Âải säú âải cỉång, NXB GD 1998 3-Frank W Anderson, Kent R Fuller Rings and Categories of Modules 7 123doc.vn