Copy (2) of 5.Chuong 4 docx

Sức bền vật liệu chơng 4 xoắn thanh tròn Mục đích : Trình bày khái niệm về thanh tròn chịu xoắn và cách tính toán sức bền cho thanh tròn chịu xoắn ấy Yêu cầu : Nắm đợc khái niệm về thanh tròn chịu xoắn, bài toán siêu tĩnh khi xoắn và giải thành thạo 3 bài toán sức bền về thanh tròn chịu xoắn 4.1. Khái niệm chung 4.1.1.Định nghĩa : Một thanh cân bằng dới tác dụng của các ngoại lực là các ngẫu lực nằm trong các mặt cắt của thanh thì thanh ấy gọi là thanh chịu xoắn . Ta chỉ nghiên cứu dạng mặt cắt đơn giản nhất là mặt cắt tròn . m m Hình 4.1. Thanh tròn chịu xoắn Ví dụ thực tế: m Hình 4.2. Thanh tròn chịu xoắn trong thực tế 4.1.2.Mô men xoắn nội lực : Xét một thanh tròn chịu xoắn, ta dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh tại một vị trí bất kỳ. Xét sự cân bằng của phần bên trái, ta thấy nội lực trên mặt cắt phải thu gọn thành một mô -men có độ lớn bằng mô- men ngoại lực và ngợc chiều. Đó là mô- men xoắn nội lực. Mô- men xoắn nội lực ký hiệu là M z m m m Mz Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 52 Sức bền vật liệu m Hình 4.3.Nội lực trong thanh tròn chịu xoắn Mặt cắt 1-1 chọn tại vị trí bất kỳ vì vậy ta có thể kết luận: Trong thanh chịu xoắn nh trên ở mọi mặt cắt ngang nội lực chỉ có một thành phần là mô- men xoắn nội lực M z Kết luận: Vậy thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt của thanh nội lực chỉ có thành phần M z. Dấu của M z quy ớc nh sau : m m Mz . Mz M z > 0 M z < 0 Hình 4.4. Quy ớc về dấu của thanh tròn chịu xoắn Từ ngoài nhìn vào mặt cắt nếu mô- men xoắn ngoại lực quay cùng chiều kim đồng hồ thì mô- men xoắn nội lực dơng và ngợc lại Chú ý: Khi giải toán nếu cha biết chắc chiều của M z thì cứ giả thiết cho nó một chiều dơng ( quay ngợc chiều kim đồng hồ ) nếu tính ra đợc giá trị dơng thì chiều giả thiết đúng và ngợc lại . - Các mặt cắt khác nhau có mô- men xoắn nội lực khác nhau. Để thấy rõ sự biến thiên đó ngời ta cũng dùng biểu đồ nh trong ví dụ sau đây . Ví dụ 1: Tính và vẽ biểu đồ cho thanh chịu xoắn nh hình vẽ. Biết : m C = 1 kNm , m D = 3 kNm , m E = 2 kNm Bài giải : Căn cứ vào điểm đặt của mô-men xoắn ngoại lực chia thanhthành 4 đoạn : AC , CD , DE và EB Xét đoạn AC , dùng mặt cắt 1-1 cắt AC tại một vị trí bất kỳ .Giữ lại phần bên phải xét sự cân bằng của nó ,dễ thấy đoạn này không có mô-men ngoại lực tác động nên mô-men xoắn nội lực bằng 0. Xét đoạn CD, dùng mặt cắt 2-2 cắt CD tại một vị trí bất kỳ ,xét sự cân bằng của phần bên phải : m Z = M Z1 - m C = 0 Từ đó : M Z1 = m C = 1 kNm Xét đoạn DE , dùng mặt cắt 3-3 cắt DE tại một vị trí bất kỳ ,xét sự cân bằng của phần bên phải : m Z = M Z2 + m D - m C = 0 M Z2 = m C - m D = - 2 kNm Đoạn EB tơng tự nh đoạn AC không có mô-men xoắn nội lực . Biểu đồ đợc trình bày nh hình vẽ . 3 D Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 53 Sức bền vật liệu E m E m D 2 C 1 B A 1 2 3 m C Mz 1 m D m C 1kNm Mz 2 - 2 kNm Hình 4.5. Biểu đồ nội lực Mz Chú ý : ở các đoạn thanh không có mô -men ngoại lực biểu đồ là một đoạn thẳng trùng với đờng chuẩn . Tại vị trí đặt mô-men ngoại lực m biểu đồ có bớc nhảy , trị số bớc nhảy đúng bằng trị số m. Giá trị dơng của M Z đặt ở trên đờng chuẩn , giá trị âm đặt ở dới đờng chuẩn . Trong một số bài toán thờng cho các số liệu N , n , lúc đó tính m nh sau : . m = N ; hay : m = 9,55 n N 4.1.3. ứng suất xoắn : a/ Thí nghiệm : Xét một thanh chịu xoắn nh hình vẽ .Kẻ trên mặt ngoài của thanh những đờng sinh cách đều và song song với trục biểu thị cho thớ dọc , các đoạn thẳng vuông góc với trục biểu thị cho các mặt cắt ngang . Tác dụng mô- men xoắn ngoại lực m vào thanh ta thấy : Các đờng sinh đều lệch đi một góc nào đó do vậy các ô chữ nhật đều biến thành các ô hình bình hành . Các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh vẫn giữ thẳng có bán kính không đổi về độ dài. Khoảng cách giữa các đoạn thẳng vuông góc với trục biểu thị cho các mặt cắt ngang không đổi Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 54 Sức bền vật liệu Trớc khi biến dạng Sau khi biến dạng m Hình 4.6. Biến dạng khi xoắn b/ Các giả thuyết về xoắn : Coi biến dạng xảy ra bên trong thanh cũng nh biến dạng quan sát đợc ở bên ngoài, dựa vào các nhận xét trên ngời ta nêu ra ba giả thuyết sau: 1/ Sau khi biến dạng mặt cắt của thanh xoay quanh trục một góc nào đó nhng vẫn giữ phẳng và vuông góc với trục của thanh . 2/ Khoảng cách giữa hai mặt cắt ngang trớc và sau biến dạng về xoắn không thay đổi . 3/ Trớc và sau khi chịu biến dạng xoắn bán kính của mặt cắt vẫn là đoạn thẳng có chiều dài không đổi . Từ những giả thuyết trên ta suy ra rằng : Khi chịu xoắn chỉ xẩy ra hiện tợng xoay của các mặt cắt ngang quanh trục thanh. Do đó tại mọi điểm trên mặt cắt ngang chỉ phát sinh ứng suất tiếp vuông góc với bán kính đi qua điểm đó . c/ Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp : Trên một thanh chịu xoắn xét một điểm A tại một mặt cắt bất kỳ cách ngàm một khoảng là l , cách trục một đoạn . Khi có mô - men xoắn ngoại lực theo giả thuyết trên , điểm A chuyển dời trên một cung tròn tới vị trí mới A' . Nh vậy thớ dọc BA đã xoay đi một góc tới vị trí mới BA' . Lúc đó độ trợt tơng đối đợc tính: = l AA ' . hay : = l Theo định luật Húc về cắt ứng suất tiếp tại A sẽ là : A = G. Vậy A = G. l . (1 ) Lấy một diện tích vô cùng nhỏ dF bao quanh điểm A, nội lực trên đó sẽ là ( A .dF ) và mô-men do nội lực đó gây ra là : ( A .dF ) . = A . . dF A Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 55 Sức bền vật liệu B l Hình 4.7. ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn Tổng hợp mô - men nội lực trên toàn bộ diện tích F của mặt cắt chính là mô- men xoắn nội lực trên toàn bộ mặt cắt ngang đó Từ ngoài nhìn vào mặt cắt nếu mô- men xoắn ngoại lực quay cùng chiều kim đồng hồ thì mô- men xoắn nội lực dơng và ngợc lại M Z = F A dF M Z = F dF l G 2 M Z = G . l . dF. 2 Ngời ta gọi đại lợng = dF. 2 là mô- men quán tính độc cực của mặt cắt đối với tâm O và ký hiệu J O .Nghĩa là : J O = dF. 2 Vậy : M Z = G l . J O Hay : l = O Z JG M . (2 ) Thay (2 ) vào (1 ) ta có : A = O z J M (3 ). Đối với mỗi mặt cắt ngang ta có : O z J M . không đổi , vậy : ứng suất tại một điểm trên mặt cắt ngang ( A ) tỉ lệ với bán kính . Khi = R thì đạt giá trị lớn nhất : Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 56 Sức bền vật liệu max = R J M O Z . Ngời ta đặt O O W R J = . Vậy : max = O Z W M Rõ ràng max tỉ lệ nghịch với W O . Nên W O càng lớn thì max càng nhỏ . Vì vậy W O đợc gọi là mô -đun chống xoắn của mặt cắt ngang . Với mặt cắt tròn đặc có đờng kính là D thì : J O 0,1 D 4 W O 0,2 D 3 ma x min Hình 4.8. Sự phân bố của ứng suất xoắn trên mặt cắt ngang 4.1.4.Góc xoắn : Theo công thức (2 ) ta có : O Z JG M l . = Vậy : = O Z JG lM . . ( Rađian) Đổi ra độ ta có : . = 0 180 . O Z JG lM . . ( độ ) . . Để so sánh góc xoắn của thanh có chiều dài khác nhau ngời ta dùng khái niệm góc xoắn tơng đối . Ký hiệu .Ta có : = l = 0 .JG M Z ( Rađian / m ) Đổi ra độ ta có : . Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 57 Sức bền vật liệu = 0 180 0 .JG M Z ( độ/m ) . . Trong đó G.J O tỉ lệ nghịch với và đợc gọi là độ cứng khi xoắn . GJ O phụ thuộc vào từng loại vật liệu . Chú ý : Xét sự phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang ta thấy mặt cắt ngang chịu ứng suất không hợp lý , ở tâm ứng suất bằng 0 ,càng ra ngoài chu vi ứng suất càng lớn .Vì vậy ở những kết cấu quan trọng ngời ta làm các thanh chịu xoắn có mặt cắt hình vành khăn .Tỉ số D/d càng cao càng tốt .Tuy nhiên không thể chọn quá gần 1 vì lúc đó ống rất mỏng .Vì vậy tuỳ theo điều kiện thực tế phải chọn d, D cho hợp lý . 4.2.tính thanh tròn chịu xoắn Khi tính toán thanh tròn chịu xoắn thờng ta phải tính cả hai điều kiện sau đây : 4.2.1.Điều kiện bền : Thanh chịu xoắn đảm bảo điều kiện bền khi ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt nguy hiểm không vợt quá ứng suất cho phép . max = O Z W M [ ] Trong đó [ ] là ứng suất tiếp cho phép của vật liệu , có thể xác định theo công thức kinh nghiệm sau đây : [ ] = ( 0,5 ữ 0,6 ) [ ] Thực tế với thép [ ] ( 2 ữ 13 ) kN/ cm 2 Từ điều kiện bền ta cũng có ba bài toán cơ bản khi tính thanh chịu xoắn 4.2.2.Điều kiện cứng : Thanh chịu xoắn đảm bảo điều kiện cứng khi góc xoắn tơng đối lớn nhất của thanh không vợt quá góc xoắn tơng đối cho phép . [ ] = O Z O JG M . . 180 . . Từ điều kiện cứng ta cũng có ba bài toán cơ bản . Tính thanh chịu xoắn phải tính theo cả hai điều kiện trên .Kết quả lấy theo hớng thoả mãn cả hai điều kiện đó Ví dụ : Trục truyền rỗng AB có đờng kính không đổi d 1 = 10 cm , d 2 = 5 cm chịu tác dụng của mô-men xoắn m C = 1kNm , m D = 3 kNm , m E = 1kNm , m F =1kNm . Hày : - Vẽ biểu đồ mô-men xoắn nội lực . - Tính ứng suất max và vẽ biểu đồ ứng suất trên mặt cắt nguy hiểm . - Tính góc xoắn của từng đoạn thanh và của toàn trục ,biết G = 8.10 3 kN/cm 2 Bài giải : Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 58 Sức bền vật liệu a/ Biểu đồ mô-men xoắn nội lực : Bằng phơng pháp vẽ nhanh ta xác định đợc biểu đồ mô-men xoắn nội lực nh hình vẽ. Trên biểu đồ này ta thấy các mặt cắt ngang trên đoạn thanh DE có mô- men xoắn nội lực là lớn nhất : M max z = 2kNm = 200 kNcm b/ Tính ứng suất max và vẽ biểu đồ ứng suất trên mặt cắt nguy hiểm : Ta có : )43 1 maxã max 1(.2,0 == d M W M z O m z = ) 10 5 1(10.2,0 200 4 4 3 = 1,07kN/ cm 2 ứng suất 1 ứng với đờng kính d 2 có thể xác định nh sau : 5,0 10 5 1 2 max 1 === d d vậy : 1 = 0,5 . max = 0,5 . 1,07 = 0,535 kN / cm 2 c / Tính góc xoắn : - Đoạn CD : O CD Z CD JG lM . . . 180 = = = 4 43 10 5 110.1,0.10.8.14,3 200).100(180 - 0,153 (độ) - Đoạn DE : O DE Z DE JG lM . . . 180 . = = = 4 43 10 5 1.10.1,0.10.8.14,3 200.200.180 0,306 (độ) A C D E F B 200cm 200cm 200cm 200cm 200cm 2kNm 1kNm max Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 59 Sức bền vật liệu min d D Hình 4.9. Biểu đồ nội lực của thanh tròn , rỗng chịu xoắn - Đoạn EF : O EF Z EF JG lM . . . 180 = = 4 43 10 5 1.10.1,0.10.8.14,3 200.100.180 = 0,153 (độ) Vậy góc xoắn trên toàn bộ thanh là : =++= DECDBC 0,306 (độ) 4.2.3. Bài toán siêu tĩnh khi xoắn : Nhiều khi tính thanh chịu xoắn ta gặp bài toán siêu tĩnh. Nghĩa là khi đó nếu chỉ dùng các phơng trình cân bằng tĩnh học thì không đủ để giải bài toán .Lúc đó phải bổ xung thêm phơng trình dựa vào điều kiện biến dạng. Thí dụ : Cho một thanh tròn bị ngàm cả hai đầu. Một mô- men ngoại lực m tác dụng vào thanh tại điểm C. Cho GJ O bằng hằng số , hãy vẽ biểu đồ nội lực của thanh ! Bài giải : A 2a A C B M A M B m o 2/3 m 0 Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 60 Sức bền vật liệu 1/3 m 0 Hình 4.10. Biểu đồ ứng suất của thanh siêu tĩnh khi xoắn Dới tác dụng của m tại hai đầu ngàm phát sinh hai mô - men M A và M B quay quanh trục thanh . Ta có : m Z = M A + M B - m 0 = 0 Tởng tợng bỏ ngàm A , thanh trở thành tĩnh định .Để tác dụng cơ học không thay đổi ta phải có A = 0 , Vậy : M A . a M A - m 0 A = AC + CB = + . 2a = 0 GJ O GJ O Tính ra : M A = 2/3 m 0 M B = 1/3 m 0 Ta có biểu đồ nh hình vẽ . câu hỏi và bài tập chơng 4 Câu hỏi : 1/ Thế nào là thanh chịu xoắn thuần tuý ? Cho ví dụ ? 2/Trong thanh chịu xoắn thuần tuý có các thành phần nội lực gì ? Cách xác định 3/Trình bày quy ớc về chiều của Mô - men xoắn nội lực? 4/ Nêu cách vẽ biểu đồ mô - men xoắn nội lực M z ? 5/ Trình bày các giả thuyết cơ bản khi nghiên cứu về thanh tròn chịu xoắn ? 6/ Giải thích công thức tính ứng suất tại một điểm bất kỳ trong thanh tròn chịu xoắn ? Nêu quy luật phân bố của chúng qua biểu đồ ? 7/ Khi tính về xoắn phải tính theo những điều kiện nào? các bài toán suy ra từ đó ? 8/ Thế nào là các mặt cắt ngang hợp lý của thanh tròn chịu xoắn ? Cho thí dụ 9/ Thế nào là bài toán siêu tĩnh khi xoắn ? Bài tập 1 .Trục có đờng kính không đổi d = 75 mm chịu tác dụng của các mô - men xoắn: m 1 = 100 kNcm , m 2 = 60 kNcm , m 3 = m 4 = 20 kNcm. Hãy : a/ Vẽ biểu đồ mô - men xoắn nội lực của trục ? b/ Kiểm tra bền cho trục , biết [] = 9kN/ cm 2 Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 61 [...]... vật liệu c/ Tính góc xoắn của thanh , kiểm tra điều kiện cứng , biết : [] = 0 ,4 (độ / m ) , G = 8.10 kN/ cm2 các kích thớc khác cho nh hình vẽ 100 cm 150 cm m3 m2 m4 200 cm m1 2 Trục chịu tác dụng của các mô - men xoắn : m1 = 4m0 , m2 = m3 = m4 = m5 = m0 - Hãy xác định và vẽ biểu đồ nội lực của trục ? - Tính mo, biết : d = 4 cm, [] = 8 kN/ cm2 , G = 8.10 3 kN/ cm2 , [] = 0,85 (độ / m ) 3 Trục thép... 8 kN/ cm2 , G = 8.10 3 kN/ cm2 , [] = 0,85 (độ / m ) 3 Trục thép truyền công suất N = 295 kW và có n = 300 vòng / ph Tính đờng kính trục biết : [] = 8 kN/ cm2 [] = 0,3 (độ / m ) , G = 8.10 3 kN/ cm2 4. Một trục tròn rỗng có d1 = 7,5 cm, d2 = 5 cm dài l =100 cm Khi trục chịu mômen xoắn Mz = 350 kN.cm thì góc xoắn phatsinh trên trục là = 10 Hãy: - Xác định ứng suất lớn nhất trên mặt cắt của trục và . : 1 = 0 ,5 . max = 0 ,5 . 1,07 = 0 ,53 5 kN / cm 2 c / Tính góc xoắn : - Đoạn CD : O CD Z CD JG lM . . . 180 = = = 4 43 10 5 110.1,0.10.8. 14, 3 200).100(180 - 0, 153 (độ) -. hiểm : Ta có : )43 1 maxã max 1(.2,0 == d M W M z O m z = ) 10 5 1(10.2,0 200 4 4 3 = 1,07kN/ cm 2 ứng suất 1 ứng với đờng kính d 2 có thể xác định nh sau : 5, 0 10 5 1 2 max 1 === d d . min d D Hình 4. 9. Biểu đồ nội lực của thanh tròn , rỗng chịu xoắn - Đoạn EF : O EF Z EF JG lM . . . 180 = = 4 43 10 5 1.10.1,0.10.8. 14, 3 200.100.180 = 0, 153 (độ) Vậy góc