Báo cáo nghiên cứu khoa học: " TỐI ƯU HÓA KIỂU DÁNG KẾT CẤU THEO PHƯƠNG PHÁP MẬT ĐỘ VÀ PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÓA" pps

Science & Technology Development, Vol 11, No.03- 2008 TỐI ƯU HÓA KIỂU DÁNG KẾT CẤU THEO PHƯƠNG PHÁP MẬT ĐỘ VÀ PHƯƠNG PHÁP TIẾN HĨA Bùi Hồng Giang, Nguyễn Hữu Lộc Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG-HCM (Bài nhận ngày 01 tháng 11 năm 2007, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 06 tháng 03 năm 2008) TÓM TẮT: Các phương pháp tối ưu hóa kiểu dáng kết cấu ngày đóng vai trị quan trọng việc hình thành phát triển sản phẩm Báo cáo đề cập đến hai phương pháp tối ưu hóa kiểu dáng kết cấu thơng dụng phương pháp mật độ phương pháp tiến hóa Dựa sở lí thuyết phát triển kiểm chứng, xây dựng sơ đồ giải thuật viết chương trình tính tối ưu kết cấu Matlab Kết tính phương pháp phân tích so sánh để tìm phương pháp có hiệu cao, từ phát triển mở rộng để tính tối ưu hóa kết cấu phức tạp giải toán tối ưu đa mục tiêu 1.TỔNG QUAN 1.1.Tình hình nghiên cứu Lĩnh vực tối ưu hóa kiểu dáng kết cấu ngày phát triển mạnh Đi theo hướng tối ưu hóa kết cấu liên tục, kết đưa Bendsoe & Kikuchi [8] Kể từ phương pháp đời chứng minh ưu tính tốn Đầu tiên phương pháp đồng nhất, nhiên phương pháp sử dụng mô hình vật liệu composite khơng tính cho tốn có điều kiện biên phức tạp Sử dụng mơ hình tính phương pháp đồng nhất, phương pháp hướng mật độ sử dụng mơ hình vật liệu đơn giản hơn, với công thức thay đổi thiết kế mang tính chất suy luận, cho phép tính tốn cách linh hoạt thêm ràng buộc cần Với hỗ trợ công cụ máy tính mạnh, việc tính tốn kiểm tra theo phương pháp mật độ tỏ đơn giản Hiện nay, phương pháp nghiên cứu có nhiều cách tính Đi theo hướng khác, khơng sử dụng mơ hình giải tích vật liệu kết cấu, Xie & Steven phát triển phương pháp tiến hóa cho phép tính nhanh kết cấu tối ưu kết dễ chấp nhận Mơ hình tính phương pháp đơn giản cốt lõi có cơng cụ mạnh để phân tích phần tử hữu hạn rời rạc hóa kết cấu Điều dễ dàng thực với phần mềm CAD/CAE thương mại Trên thực tế, phần mềm lớn hỗ trợ tính tốn tối ưu kiểu dáng kết cấu theo phương pháp tiến hóa Ngày nay, có địi hỏi cấp bách công cụ thiết kế tham số có khả thay đổi nhanh, tốn thời gian kết chấp nhận Với đặc thù kết tính tối ưu kiểu dáng phải qua bước tinh chỉnh sau tối ưu hình dạng tối ưu kích thước, khơng cần địi hỏi q nhiều xác phương pháp Vấn đề đưa hình dạng hợp lí cho sản phẩm (có thể dễ chế tạo lắp ráp) Theo quan điểm này, phương pháp hướng mật độ có ưu tốc độ hội tụ nhanh phương pháp 1.2.Giới thiệu phương pháp Phương pháp mật độ tỏ có ưu tính tốn sử dụng biến thiết kế mật độ vật liệu Để thuận lợi cho việc mơ hình hóa tính tốn số, thủ tục phân tích phần tử hữu hạn sử dụng, theo miền thiết kế đuợc rời rạc hóa thành phần tử mật độ coi không đổi phần tử Có nhiều cách tiếp cận phương pháp mật độ nhiên phương Trang 58 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 03 - 2008 pháp SIMP (solid isotropic material with penalization) sử dụng nhiều việc tính tốn mơ hình vật liệu đơn giản Khác với phương pháp đồng nhất, sử dụng mơ hình vật liệu composite có tính khơng đẳng hướng, vật liệu phương pháp mật độ đẳng hướng Vì ma trận vật liệu có dạng đơn giản Đối với tốn 2D, ta xét đến trường hợp ứng suất phẳng Mặt khác, mật độ phần tử khác nhau, môđun Young phần tử khác Một cách gần đúng, vật liệu đồng tồn phần tử mơđun Young xấp xỉ luật hàm mũ Luật chọn tính đơn giản dễ tính tốn [2] Việc chọn số mũ phạt công thức hàm mũ quan trọng, ảnh hưởng nhiều đến tính hợp lí kết cấu, vd p ≥ μ ≈ 1/3 (Sigmund)[2] Phương pháp mật độ sinh kết cấu tối ưu dựa độ cứng không chứng tỏ kết cấu tối ưu hay có tồn kết cấu tối ưu hay khơng Để phương pháp có lời giải, cần có số điều kiện biên phụ (như điều kiện thể tích) Trong số trường hợp, kết cấu sinh có dạng bàn cờ, điều khơng hợp lí coi điểm bất ổn định phương pháp Điều giải cách sử dụng số kĩ thuật lọc Ý tưởng kĩ thuật lọc thay đổi độ thích hợp hay độ nhạy hàm mục tiêu dựa quan hệ phần tử với phần tử lân cận Việc thay đổi này, chừng mực cho phép, không ảnh hưởng đến độ xác lời giải, mà làm giảm kết cấu dạng bàn cờ làm tăng tính liên tục cục vùng thiết kế Một số điểm bất ổn định khác phụ thuộc lời giải vào kiểu chia lưới Phương pháp ESO không sử dụng biến thiết kế mà xét đến có mặt hay không vật liệu điểm miền thiết kế Miền thiết kế rời rạc hóa thành phần tử vật liệu coi đồng tồn phần tử Thủ tục phân tích phần tử hữu hạn sử dụng để tính tốn hàm độ nhạy phần tử dựa đáp ứng kết cấu với tải trọng cho trước, định có đặt vật liệu phần tử hay khơng Phương pháp ESO áp dụng cho mơ hình vật liệu khơng đẳng hướng vật liệu đàn hồi phi tuyến Tuy nhiên, kết tính cho mơ hình vật liệu phức tạp chưa thực kiểm chứng nhiều Trong báo cáo xét đến mơ hình vật liệu đẳng hướng Đặc điểm phương pháp ESO loại bỏ phần tử, làm thay đổi đáp ứng kết cấu tải trọng cho trước Trong nhiều trường hợp mật độ lưới không đủ mịn làm tăng tốc độ bóc phần tử Vì vậy, cần có tiêu chuẩn thêm vật liệu vào kết cấu để kết tính đáng tin cậy Điều dẫn đến đời phương pháp tiến hóa hướng (BESO) Phương pháp BESO dựa quan niệm vật liệu vùng có hàm độ nhạy lớn nên thêm vào để đảm bảo lượng tăng độ cứng kết cấu lớn Các kết tính chứng minh phương pháp BESO cho kết đẹp ổn định phương pháp ESO Các phương pháp ESO hội tụ dẫn đến kết cấu tích nhỏ với ứng suất phần tử xấp xỉ gần giá trị lớn Với kết cấu độ cứng khơng phải lớn nhất, kết cấu sau lần tính lặp cần lưu lại để chọn kết cấu có độ cứng lớn nhất, kết cấu hiển nhiên khơng phải kết cấu tích bé 2.CƠ SỞ LÍ THUYẾT TÍNH TỐN 2.1.Phương pháp mật độ Phương pháp mật độ tối ưu hóa dựa tiêu chuẩn độ cứng kết cấu Theo độ cứng kết cấu tối ưu đến giá trị lớn theo nghĩa tương đối so với khối lượng vật liệu Trang 59 Science & Technology Development, Vol 11, No.03- 2008 tồn miền thiết kế Vì độ cứng tỉ lệ nghịch với lượng biến dạng vật thể, độ cứng lớn tương đương với lượng biến dạng nhỏ Bài toán tối ưu bản: ∫ W = f T u dv (1) Ω Với ràng buộc: ∫ε T ∫ ∫ σ dv = p T u dv + τ T u dv ∫ dv ≤ V m Sau rời rạc hóa tốn thủ tục phân tích phần tử hữu hạn Ω W = ∂Ω Ω ∑u Ω T e Keue (2) Với ràng buộc: Ku = F ∑ρ v e e = γV0 < ρ ≤ ρ ≤ ρ max ≤ Trên phần tử tồn biến thiết kế mật độ, nên môđun đàn hồi Young phần tử E(ρ ) = η1 (ρ )E (3) xấp xỉ cơng thức sau: Vì vậy, ma trận độ cứng phần tử trở thành: K e = η1 (ρ )K v e = η (ρ )v (4) (5) Thể tích hiệu dụng phần tử tính bởi: Để tìm giá trị nhỏ theo phương pháp tiệm cận gradient, hàm độ nhạy hàm mục & ∂W ∂ (u T K e u e ) η1 e = = We ∂ρ i ∂ρ i η1 tiêu thiết lập (6) Công thức cập nhật biến thiết kế theo Bendsoe: new ρe η ρ e B e ≤ max(ρ , ρ e − m) ⎧max(ρ , ρ e − m) ⎪ η η =⎨ ρ e Be min(ρ max , ρ e + m) > ρ e B e > max(ρ , ρ e − m) η ⎪ min(ρ , ρ + m) min(ρ max , ρ e + m) ≤ ρ e B e max e ⎩ (7) B e hệ số cho phép thỏa mãn điều kiện tối ưu đồng thời kiểm sốt ∂W ∂ρ Be = e λv e thể tích miền thiết kế: (8) λ nhằm đạt điều kiện thể tích Trong bước lặp tính tối ưu, Việc thêm vào ρ e tính lặp theo cơng thức (7) điều kiện thể tích thỏa mãn Để đảm bảo hội tụ λ thay đổi phương pháp chia đôi Các kĩ thuật lọc áp dụng vào (7) nhằm đạt đến thiết kế hợp lí hơn, đồng thời giảm bất hợp lí kết cấu tính tối ưu kết cấu dạng bàn cờ Trang 60 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 03 - 2008 Một số kĩ thuật lọc thường dùng: Kĩ thuật lọc hàm độ nhạy Hàm độ nhạy sửa đổi để tính đến ảnh hưởng phần tử khác lên phần tử tính: N ˆ ∂W = ∂ρ i ∑H ρ f f =1 f ∂W ∂ρ f N ρe ∑H f (9) Việc chỉnh sửa hàm độ nhạy có ý nghĩa tăng tính liên tục cục miền thiết f =1 kế Kĩ thuật lọc biến thiết kế N ~ = ρe ∑H ρ f f f =1 N ∑H f f =1 Công thức cho biến thiết kế sửa đổi: ~ ρe sử dụng lại công thức cập nhật biến thiết kế Bendsoe: (10) η ρ ⎧max(ρ , ~e − m) ρ e B e ≤ max(ρ , ~e − m) ρ ⎪ new ~ Bη ~ + m) > ρ B η > max(ρ , ~ − m) ρe = ⎨ ρe e min(ρ max , ρ e e e ρ e ⎪min(ρ , ~ + m) ~ + m) ≤ ρ B η min(ρ max , ρ e max ρ e ⎩ e e (11) Tính tốn cho trường hợp đa tải Với trường hợp đa tải, ta áp dụng nguyên lí chồng chất lực tác dụng, theo độ thích hợp kết cấu tổng độ thích hợp kết cấu chịu tải thành phần W= N ∑∑ u T e Keue i =1 Fi (12) Việc tính tốn biến thiết kế hàm độ nhạy tương tự trường hợp đơn tải Cách chọn hàm lượng giá Hàm lượng giá khác ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ phương pháp, hiểu hàm lượng giá hàm xấp xỉ độ cứng thể tích phần tử vật liệu Phương pháp SIMP: Phương pháp SIMP cải tiến: Phương pháp SINH: Phương pháp SINH cải tiến: η1 (ρ ) = ρ p , η (ρ ) = ρ η1 (ρ ) = sinh (ρ p ) sinh (p ) , η (ρ ) = ρ sinh[p(1 − ρ )] η (ρ ) = − η1 (ρ ) = ρ , sinh (p ) η1 (ρ ) = sinh (ρ p ) sinh[p(1 − ρ )] η (ρ ) = − sinh (p ) , sinh (p ) (13) (14) (15) (16) Trang 61 Science & Technology Development, Vol 11, No.03- 2008 2.2.Phương pháp tiến hóa Giống phương pháp tối ưu hóa kết cấu khác, phương pháp tiến hóa tìm kết cấu có độ cứng lớn với khối lượng nhỏ cho phép Để đạt điều đó, tốn dẫn đến việc tối ưu độ thích hợp kết cấu đến giá trị nhỏ Độ thích hợp kết cấu hiểu công ngoại lực tác dụng lên kết cấu tích trữ dạng lượng biến dạng: T C = {F} {u} (17) Sự tồn phần tử kết cấu đặc trưng biến thiết kế Sự loại bỏ phần tử dựa qui luật suy diễn heuristic, phần tử đóng góp nhỏ cho kết cấu bị loại bỏ Vì vậy, tiêu chuẩn loại bỏ có dạng m i < RR.m max (18) Với RR hệ số cho phép kiểm sốt loại bỏ phần tử Có tiêu chuẩn loại bỏ m sử dụng, tiêu chuẩn ứng suất von Mises lượng biến dạng phần tử Theo tiêu chuẩn ứng suất von Mises: m = σ vm σ ivm < RR.σ max vm (19) Ứng suất von Mises tính theo thành phần ứng suất hệ trục tọa độ Đềcác phần tử: σ vm = σ + σ − σ x σ y + 3τ x y xy Theo tiêu chuẩn lượng biến dạng phần tử, gọi hệ số độ nhạy phần tử: m = α s = u iT K ie u ie e max α is < RR.α s (20) Người ta chứng minh hai tiêu chuẩn tương đương [9] Một mục tiêu phương pháp đạt đến thiết kế đồng kết cấu, nghĩa hệ số độ nhạy phần tử tồn phải đồng Để đạt điều này, sau bước tiến hóa, hệ số RR tăng lên đại lượng ER Việc tăng hệ số loại bỏ có ý nghĩa làm giảm tối đa phần tử đóng góp cho kết cấu phương diện lượng RR i +1 = RR i + ER (21) Hệ số loại bỏ phải nhỏ để đảm bảo sau bước tính, kết cấu tối ưu khơng bị biến đổi nhiều Thường lấy RR < 0,2 chọn ER = 0,001 Phương pháp BESO: Phương pháp BESO cải tiến ESO cho phép thêm phần tử Việc thêm vào phần tử làm cho kết tính ổn định Các qui tắc thêm phần tử: + Đưa vào hệ số bao gộp IR để đo lường mức độ thêm vào phần tử Phần tử i chọn để thực thêm vật liệu vào thỏa mãn max α is > IR × α s (22) Trang 62 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 03 - 2008 + Việc thêm vật liệu vào vị trí tương đương với việc kích hoạt phần tử bao quanh phần tử chọn Sau bước tiến hóa, IR giảm lượng IER để đảm bảo lượng biến dạng đồng toàn miền thiết kế 3.GIẢI THUẬT Dưới trình bày giải thuật cho phương pháp: Hình Giải thuật phân tích phần tử hữu hạn Hình Giải thuật cho phương pháp tiến hóa ESO Trang 63 Science & Technology Development, Vol 11, No.03- 2008 Hình Giải thuật cho phương pháp hướng mật độ Giải thuật cho phương pháp BESO tương tự giải thuật cho phương pháp ESO Tuy nhiên khác biệt điểm bước (*) có thêm tiêu chuẩn thêm phần tử theo hệ số độ nhạy theo (14) bước (**) cập nhật hệ số tiến hóa IR: IRnew = IRold – IER Trang 64 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 03 - 2008 4.KẾT QUẢ MƠ PHỎNG SỐ 4.1.Tính tốn cho trường hợp tải đơn Khảo sát toán dầm 2D chịu tải đơn: b) a) Hình Kết cấu dầm tính tốn kết cấu dầm thu gọn Vì tốn có tính đối xứng nên thực tính tốn cho nửa dầm, kết cấu hồn thiện nhận cách lấy đối xứng Lưới 40 x 20 Phương pháp sử dụng Kiểu dáng tối ưu Lưới 60 x 20 Số lần lặp Kiểu dáng tối ưu Số lần lặp SIMP (không lọc) 37 65 SIMP (lọc tuyến tính) 68 54 SIMP (lọc Gauss) 53 124 SIMP cải tiến (không lọc) 28 36 SIMP cải tiến (lọc tuyến tính) 61 33 SIMP cải tiến (lọc Gauss) 55 74 ESO 108 145 Trang 65 Science & Technology Development, Vol 11, No.03- 2008 98 BESO 141 Trong kết tính trên, phương pháp SIMP lấy lượng giảm vật liệu 50%, phương pháp ESO không giới hạn lượng giảm vật liệu Bài toán dầm console: Hình Kết cấu dầm console Lưới 40x20, Phương pháp lọc γ = 0.5 Khơng lọc Lọc tuyến tính Lọc Gauss 25 89 149 Kết cấu tối ưu Số lần lặp 4.2.Tính tốn cho trường hợp đa tải a) b) Hình Mơ hình tốn khung xe đạp: a) Trường hợp tải; b) Trường hợp tải Trang 66 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 03 - 2008 Trường hợp tải Phương pháp sử dụng Kiểu dáng tối ưu Trường hợp tải Số lần lặp Kiểu dáng tối ưu Số lần lặp Mật độ (khơng lọc) 38 35 Mật độ (lọc tuyến tính) 66 109 Mật độ (lọc Gauss) 49 29 Trong kết tính khung xe đạp lấy lượng giảm vật liệu 30% vật liệu ban đầu 5.KẾT LUẬN Phương pháp SIMP sinh dạng biên mờ cho kết nhanh đẹp phương pháp ESO Phương pháp SIMP cho kết tốt với lọc Gauss miền chia lưới mịn Khi miền chia lưới mịn SIMP cho kết đáng tin cậy với kết cấu tối ưu không thay đổi nhiều kiểu dáng Hơn nữa, sử dụng phương pháp SIMP cải tiến tốc độ hội tụ cịn nhanh Phương pháp ESO & BESO cho kết hợp lí chọn thơng số tiến hóa hợp lí Trong số trường hợp, kết cấu tối ưu bị hồn tồn hệ số tiến hóa biến thiên lớn Mặt khác, phương pháp có tốc độ hội tụ chậm khơng thích hợp để giải toán lớn toán chia lưới mịn So sánh với giải ANSYS, ta thấy kết cấu tối ưu theo phương pháp mật độ mịn đẹp Điều cho thấy áp dụng kĩ thuật lọc thích hợp cho phương pháp mật độ cho kết chấp nhận Phương hướng phát triển Dựa nhận xét trên, ta thấy chấp nhận biên mờ phương pháp SIMP tốt hẳn so với phương pháp ESO Để xử lí biên mờ ta chuyển sang tốn tối ưu hình dáng khác Vì sử dụng phương pháp SIMP để thực tính toán tối ưu kết cấu 3D trường hợp đa tải Việc tính tốn tối ưu theo giải thuật cho phép thêm vào ràng buộc thiết kế mới, ràng buộc độ tin cậy Vì vậy, xây dựng thuật tốn tính theo phương pháp cho phép tính tốn tối ưu kiểu dáng kết cấu theo độ tin cậy tải trọng động Trang 67 Science & Technology Development, Vol 11, No.03- 2008 TOPOLOGY OPTIMIZATION BASED ON DENSITY APPROACH AND EVOLUTIONARY STRUCTURAL METHOD Bui Hoang Giang, Nguyen Huu Loc University of Technology, VNU-HCM ABSTRACT: Topology Optimization Procedure plays an important role in the design and development of a product This report refers to two most popular topology optimization methods at present which are density method and evolutionary structural optimization method Based on the developed and validated theories, we built the algorithm flowchart and some Matlab code to test some problems The purpose of the report is to build the algorithm flowchart and procedure of finite element analysis From this, we get the result The efficient of each method is analyzed to find the appropriate method which can be used to solve complex topology and multiobjective problems TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G.R.Liu and S.S.Quek: The Finite Element Method - A practical course (2003) [2] O.Sigmund: A 99 line topology optimization code written in Matlab, Struct Multidisc Optim 21, p120–127, Springer-Verlag (2001) [3] M.Y Wang, S.Y Wang, and K.M Lim: A Density Filtering Approach for Topology Optimization 7th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization, COEX Seoul, Korea, 21 May - 25 May (2007) [4] T E Bruns: A reevaluation of the SIMP method with filtering and an alternative formulation for solid–void topology optimization Struct Multidisc Optim (2005)30: p428–436 [5] Gregor Kotucha – Klaus Hackl: Density gradient based regularization of topology optimization problems XXI ICTAM, 15–21 August 2004, Warsaw, Poland [6] Y.M Xie, X Huang, J.W Tang & P Felicetti: Recent Advances in Evolutionary Structural Optimization, Keynote Lecture for Frontiers of Computational Science Symposium, Nagoya University, Japan, 11-13 October (2005) [7] A.Rietz: Sufficiency of a finite exponent in SIMP (power law) methods, Struct Multidisc Optim 21, p159–163, Springer-Verlag, (2001) [8] M Bendsoe, N Kikuchi: Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenization Method Comp Meth Appl Mech Eng., 71, p197-224 (1988) [9] Qing Li, Osvaldo Querin & Grant Steven: Some Thoughts on the Physics and Mechanics of the Evolutionary Structural Optimization Process [paper] Trang 68 ... đến tính hợp lí kết cấu, vd p ≥ μ ≈ 1/3 (Sigmund)[2] Phương pháp mật độ sinh kết cấu tối ưu dựa độ cứng không chứng tỏ kết cấu tối ưu hay có tồn kết cấu tối ưu hay khơng Để phương pháp có lời giải,... 2008 2.2 .Phương pháp tiến hóa Giống phương pháp tối ưu hóa kết cấu khác, phương pháp tiến hóa tìm kết cấu có độ cứng lớn với khối lượng nhỏ cho phép Để đạt điều đó, tốn dẫn đến việc tối ưu độ thích... 2.CƠ SỞ LÍ THUYẾT TÍNH TỐN 2.1 .Phương pháp mật độ Phương pháp mật độ tối ưu hóa dựa tiêu chuẩn độ cứng kết cấu Theo độ cứng kết cấu tối ưu đến giá trị lớn theo nghĩa tương đối so với khối lượng