chung-minh-tiep-tuyen

HÌNH HỌC LỚP 9 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN Bài toán chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn là một bài toán rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình hình học lớp 9. Các học sinh thường không gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán này. Tuy nhiên không phải bài toán chứng minh tiếp tuyến nào cũng “dễ xơi”. Vì thế tôi xin được trình bày Các phương pháp chứng minh tiếp tuyến để học sinh có định hướng tốt hơn khi giải các bài toán này. Để chứng minh một đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) ta thường dùng các phương pháp sau: I. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 1. Phương pháp 1: Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d) bằng bán kính R. ( Phương pháp này thường được dung khi chưa biết giao điểm của (d) và (O) ) Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đt AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho · 90 o COD = . Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O). Hướng dẩn giải Vẽ ( ) OH CD H CD⊥ ∈ . Ta chứng minh OH = R O = OB. Tia CO cắt tia đối của tia By tại E. Ta có: ( ) . .OAC OBF g c g OC OE∆ = ∆ ⇒ = Tam giác DEC có DO vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên là tam giác cân. Khi đó DO cũng là đường phân giác. ,OH DC OB DE OH OB⊥ ⊥ ⇒ = . Ta có , O OH CD OH OB R⊥ = = nên CD là tiếp xúc với (O) tại H. @ Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglangtoi.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 1 H E D O A B C HÌNH HỌC LỚP 9 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 2. Phương pháp 2: Nếu biết đường thẳng (d) và (O) có một giao điểm A. Ta chỉ cần chứng minh minh OA d⊥ . Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại D, đường tròn đường kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của (I) và (J). Hướng dẩn giải Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID DE⊥ hay · 0 90IDE = Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có: · · 90 o BDH CEH= = . Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật. Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có OD = OH = OE = OA. Suy ra tam giác ODH cân tại O · · ODH OHD= Ta cũng có tam giác IDH cân tại I nên · · IDH IHO= . Từ đó ta có: · · · · · · 90 90 o o IDO OHD IHD OHD IHA IDO ID DE+ = + = = ⇒ = ⇒ ⊥ Ta có ( ) ,ID DE D I⊥ ∈ nên DE tiếp xúc với (I) tại D. Chứng minh tương tự ta cũng có DE tiếp xúc với (J) tại E. @ Vì dụ 3: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. Hướng dẩn giải Gọi O là trung điểm của AH. Tam giác ADH vuông tại D có DO là trung tuyến nên ta có: 2 AH DO OA OH= = = Tam giác AEH vuông tại E có EO là trung tuyến nên ta có: 2 AH EO OA OH= = = . Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglangtoi.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 2 O E D I JH B C A HÌNH HỌC LỚP 9 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Suy ra OA = OD = OE, do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. Ta có · · ODA OAD= (1) ( tam giác OAD cân tại O) Tam giác BDC vuông tại D có DI là trung tuyến nên 2 BC DI IC= = , suy ra tam giác ICD cân tại I, do đó · · IDC ICD= (2) H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên là trực tâm của tam giác ABC, suy ra AH BC ⊥ tại F. Khi đó · · 90 o OAD ICD+ = (2) Từ (1) , (2) và (3) ta có · · · · · 90 90 o o ODA IDC OAD ICD ODI OD DI+ = + = ⇒ = ⇒ ⊥ Ta có ( ) ,OD DI D O⊥ ∈ nên ID tiếp xúc với (O) tại D. Chứng minh tương tự ta cũng có IE tiếp xúc với (O) tại E. 3. Phương pháp 3: Phương pháp trùng khít Để chứng minh một đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) ta dựng đường thẳng (d’) là tiếp tuyến của (O) sau đó chứng minh (d) và (d’) trùng nhau. Do đó (d) là tiếp tuyến của (O). Ví dụ 4: Ta chứng minh ví dụ 1 với phương pháp này. Hướng dẩn giải Từ C vẽ tiếp tuyến CD’ của đường tròn (O) (D’ thuộc By) tiếp xúc với (O) tại tiếp điểm H. Ta có OC là phân giác của góc AOH (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Và OD’ là phân giác của góc BOH. Mà hai góc AOH và BOH là hai góc kề bù nên · 90 o OCD ′ = . Từ đó ta có · · ( ) 90 o COD COD ′ = = mà D, D’ đều thuộc By nên suy ra D D ′ ≡ . Vì CD’ là tiếp tuyến của (O) nên CD cũng là tiếp tuyến của (O) . Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglangtoi.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 3 F I O H D E A B C H D' O A B C D HèNH HC LP 9 PHNG PHP CHNG MINH Vớ d 5: Cho tam giỏc ABC. Tia Ax khỏc phớa vi AC i vi ng thng AB tha ã ã xAB ACB= . Chng minh Ax l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. Hng dn gii V tia tip tuyn Ay ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC (Ay cựng phớa vi Ax i vi ng thng AB) Khi ú ta cú ã ã yAB ACB= (gúc gia tia tip tuyn v dõy cựng bng gúc ni tip chn cung ú) M ã ã xAB ACB= (gt) nờn ta cú ã ã xAB yAB= V Ax, Ay cựng phớa i vi ng thng AB nờn suy ra Ax Ay . M Ay l tip tuyn ca (ABC) nờn Ax cng l tip tuyn ca (ABC). NHN XẫT: 1. Phng phỏp 1, 2 l tng i quen thuc v hu ht cỏc bi toỏn chng minh tip tuyn u dung hai phng phỏp ny vỡ nú c suy ra trc tip t nh ngha tip tuyn. Tuy nhiờn hn ch ca hai phng phỏp ny l ta phi bit c tõm cng nh bỏn kớnh ca ng trũn. 2. Phng phỏp 3 l mt phng phỏp khỏ hay v hiu qu, giỳp ta gii c bi toỏn nhanh chúng v gn nh. Tuy nhiờn khụng nhiu hc sinh cú th vn dng thnh tho chng minh cỏc bi toỏn. 3. Vớ d 5 cho ta ý tng chng minh mt ng thng l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip mt tam giỏc hoc tip xỳc vi ng trũn m tõm hoc bỏn kớnh ca nú xỏc nh mt cỏch khú khn. Hn ch ca phng phỏp ny chớnh l khi chỳng ta dng tip tuyn, phi dng tht hp lớ chỳng ta cú th chng minh s trựng khớt d dng hn. 4. Túm li khụng cú phng phỏp no l hon ho v ỏp dng d dng cho mi bi toỏn, chỳng ta cn phi vn dng linh hot 3 phng phỏp trờn trong vic chng minh mt ng thng l tip tuyn ca ng trũn. II.BI TP RẩN LUYN Bi 1 : Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB. Ax, By l hai tip tuyn ca (O) (Ax, By cựng phớa i vi ng thng AB). Trờn Ax ly im C, trờn By ly im D sao cho 2 1 . 4 AC BD AB= . Chng minh CD l tip tuyn ca ng trũn (O). Biờn son: NGUYN TNG V www.truonglangtoi.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 4 y x O A B C HÌNH HỌC LỚP 9 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H là trung điểm AM. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C. Đường tròn đường kính MB cắt CB tại I. Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MI. Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C thuộc nửa đường tròn. Vẽ ( ) CH AB H AB⊥ ∈ . M là trung điểm CH, BM cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại P. Chứng minh PC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm trên đoạn OB. Đường thẳng qua M vuông góc AB tại M cắt (O) tại C và D. AC cắt BD tại P, AD cắt BC tại Q. AB cắt PQ tại I. Chứng IC và ID là tiếp tuyến của (O). Bài 5. Cho tam giác đều AB cạnh a ngoại tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M, N sao cho chu vi tam giác AMN bằng a. Chứng minh NM tiếp xúc với (O). Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC (AB < AC). T là một điểm thuộc đoạn OC. Đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC tại H và cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại P. BH cắt (O) tại D. Chứng minh PD là tiếp tuyến của (O). Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại M. Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Bài 8: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là hai tiếp điểm). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. AD cắt (O) tại E. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE. Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglangtoi.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 5 123doc.vn