www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. 1) 1 2 (1 + a )(1 + b ) = 1 2 (1 + a b + a + b ) 22 2222 = [] 1 2 (1 - ab) + (a + b) |1 - ab| . |a + b| 22 , từ đó suy ra kết quả cần chứng minh. 2) Vế trái của bất phỷơng trình có nghĩa khi x ạ 0.Vớix>0ị 2 x > 1, bất phỷơng trình tỷơng đỷơng với 2 1-x -2x+1Ê 0 2 1-x +1Ê 2x. Vớix<0,bấtphỷơng trình tỷơng đỷơng với 2 1x +1 2x. Trên mặt phẳng tọa độ, xét đồ thị các hàm y 1 =2 1-x +1, y 2 = 2x. Hàm y 1 là nghịch biến, hàm y 2 là đồng biến, đồ thị của chúng cắt nhau tại điểmx=1,y=2.Từđósuyra nghiệm của bất phỷơng trình đã cho : x<0;1Ê x. Câu II. Giả sử h, l là độ dài các đỷờng cao và đỷờng phân giác trong xuất phát từ đỉnh A. Ta có h l AH AD ADB B A == = +sin sin( ), ^ 2 vậy h l B A BA 2 2 2 2 1 21 2 =+= + sin ( ) [cos( )] = 1 2 1+cos(B-C) =cos B-C 2 2 . Mặt khác, ta biết rằng (xem lời giải đề số 94) r R =4sin A 2 sin B 2 sin C 2 = 2sin A 2 cos B-C 2 -cos B+C 2 = = 2sin A 2 cos B-C 2 -2sin A 2 2 . Ta cần chứng minh h l 2r R 2 2 hay cos B-C 2 4sin A 2 cos B-C 2 -4sin A 2 22 hay cos B-C 2 -2sin A 2 0 2 . Bất đẳng thức này đúng. Dấu = xảy ra khi www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ cos B-C 2 =2sin A 2 ị 2cos B- C 2 sin B+C 2 = 4sin A 2 cos A 2 sinB + sinC = 2sinA (theo định lí hàm số sin) 2a=b+c. Câu III. 1) Đặt t = sinx + 2-sinx 2 thì |t| Ê 1+ 2 ,và t 2 = 2 + 2sinx 2-sin x 2 ,phỷơng trình đã cho trở thành t 2 +2t-8=0. Nghiệmt=-4bịloại. Vớit=2,suyrasinx = 1 ị x= 2 +2k (k ẻ Z). 2) Kẻ đỷờng chéo AC : ABC là tam giác cân đáy AC, gọi là góc nhọn ở đáy . Chỉ cần xét trỷỳõng hợp ABCD là tứ giác lồi và ACD ^ = /2. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD. Tacó:S=dt(ABC) + dt(ACD) = 1 2 a 2 sin2 +a 2 cos =a 2 cos (1 + sin). Cần xác định sao cho y = cos(1 + sin) lớn nhất. Ta có y>0(vì nhọn) và y 2 = cos 2 (1 + sin) 2 =(1-sin)(1+sin) 3 = 1 3 (3 - 3sin)(1+sin) 3 Ê 1 3 . (3 - 3sin + 3 + 3sin ) 4 = 27 16 4 4 (bất đẳng thức Côsi cho 4 số dỷơng). Vậy y Ê 33 4 , dấu đẳng thức chỉ xẩy ra khi 3 - 3sin =1+sin ị sin = 1 2 ị = 6 ; khi đó ABCD là nửa lục giác đều cạnh a. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 __________________________________________________________ Câu IVa. 11 n n 00 xdx 1 0xdx 1x n1 <<= ++ Câu Va. Để ý rằng hệ 2 y64x 4x 3y 46 0 = + += vô nghiệm : đờng thẳng (d) 4x + 3y + 46 = 0 không cắt parabol (P) 2 y64x= . Ta hãy tìm điểm ooo M(x,y) trên (P) sao cho tại đó tiếp tuyến song song với (d) : ta có o 32 4 y' y3 = = o y24 = 2 o o y x9 64 = = . (Nh vậy tiếp tuyến ấy có phơng trình 4x + 3y + 36 = 0). Giả sử M là một điểm tùy ý thuộc (P), N là một điểm tùy ý thuộc (d). Lấy N' (d) sao cho o MN' // MN, và gọi o N là hình chiếu vuông góc của o M lên (d) (Hình 12). Hiển nhiên ooo MN M N' M N , vậy oo MN là đoạn ngắn nhất trong tất cả các đoạn MN. Ta có oo oo 22 4x 3y 36 10 MN 2 5 43 ++ === + . Nhận xét thêm : đờng thẳng oo MN có phơng trình 3x 4y 123 = 0, điểm o N có tọa độ o 37 126 N ; 55 . Câu IVb. 1) ACD = BCD AN = BN ANB cân Trung tuyến NM cũng là chiều cao MN AB. ACB = ADB DM = CM CMD cân Trung tuyến MN cũng là đờng cao MN CD (2) Từ (1) và (2) suy ra MN là đờng vuông góc chung của AB và CD. 2) Vì AN CD, BN CD n o ANB 90= ANB vuông cân NM = 1 2 AB. Ta có : AB = AN 2 = 22 2a x 22 12 MN AB a x 22 == . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 __________________________________________________________ 3) Vì CM AB, DM AB n CMD = là góc phẳng của nhị diện cạnh AB n NMC 2 = và NC tg 2NM = . Muốn nhị diện (AB) vuông thì o 90= , tức tg 1 2 = ,tức NC = NM, hay 22 2 xax 2 =. Giải ra đợc a3 x 3 = . Khi đó ta cũng có AB = 2a 3 2x CD 3 == . Vậy muốn nhị diện (AB) vuông thì CD = 2x = AB = 2a 3 3 . Xác định O : Mặt phẳng (ANB) là mặt phẳng trung trực của đoạn CD, mặt phẳng (CMD) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB và MN là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó. Do đó điểm O cách đều 4 điểm A, B, C, D phải nằm trên MN. Đặt OM = y. Do OA = OB = OC = OD nên 22 OA OC= ; tức 22 22 AB CD y(MNy) 22 += + . Vì AB = CD nên 22 y(MNy)= MN = 2y. Do đó O là trung điểm của MN. Tính OA : 222 1 OA (AB MN ) 4 =+, với AB MN 2 = =+= 22 2 2 14a a 5a OA 43 3 12 OA = a15 6 . . )] = 1 2 1+cos(B-C) =cos B-C 2 2 . Mặt khác, ta biết rằng (xem lời giải đề số 94) r R =4sin A 2 sin B 2 sin C 2 = 2sin A 2 cos B-C 2 -cos B+C 2 = = 2sin A 2 cos B-C 2 -2 sin A 2 2 . Ta. minh h l 2r R 2 2 hay cos B-C 2 4sin A 2 cos B-C 2 -4 sin A 2 22 hay cos B-C 2 -2 sin A 2 0 2 . Bất đẳng thức này đúng. Dấu = xảy ra khi www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản. 1.0 ________________________________________________________________________________ cos B-C 2 =2sin A 2 ị 2cos B- C 2 sin B+C 2 = 4sin A 2 cos A 2 sinB + sinC = 2sinA (theo định lí hàm số sin) 2a=b+c. Câu III. 1) Đặt t = sinx + 2-sinx 2 thì |t| Ê 1+ 2 ,và t 2 = 2 + 2sinx 2-sin