Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
24
Dung lượng
1,44 MB
Nội dung
GIẢI TÍCH I Ứng dụng đạo hàm, tích phân To live is to fight 1. Nguyễn Minh Nhật 2. Nguyễn Văn Sơn 3. Tống Văn Xuân 4. Nguyễn Đức Bình 2014 PRO XE QS1 5/24/2014 2 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. VíDụ2.42(trang152):Mộtbồnnướccóhìnhnónngượcvớibánkínhđáy 2m vàcao 4m . Nếunướcbơmvàobồnvớivậntốc 2 /m s thìvậntốcmứcnướcdânglênlàbaonhiêukhi mựcnướclà 2m . Lờigiải: 2m Hìnhvẽ H=4m r h Gọi h làchiềucaomựcnước, r làbánkínhbềmặtnước, V làthểtíchnướchiệncó.Theo tínhchấtđồngdạngcủatamgiácdễdàngsuyrađược 4h r 4 h r Tacó: 2 2 3 1 1 1 3 3 4 48 ( ) h V r h h h 3 2 . .(3 ) 48 48 dV dh dh h dt dt dt Theogiảthiếttađãcó 2 dV dt vàtại 2 h thì: 2 2 2 (3.2 ). 0,64( / ) 48 dh dh m s dt dt . VíDụ2.45:Điệntrởsuấtρtỷlệnghịchvớitínhdẫnđiệnvàđượcđotheođơnvịôm–mét (Ωm).Điệntrởsuấtcủakimloạiđãchophụthuộcvàonhiệtđộtheophươngtrình ( 20) 20 ( ) t t e trongđótlànhiệtđộtheođộ o C,αgọilàhệsốnhiệtvà 20 điệntrở suấttại20 o C.Ngoạitrừnhiệtđộrấtthấp,điệntrởsuấtbiếnthiêngầnnhưtuyếntínhvới nhiệtđộ.VìvậynóichungcóthểxấpxỉbiểuthứctheokhaitriểnTaylorbậcnhấthoặcbậc haicủanótait=20. a)Tìmbiểudiễnxấpxỉtuyếntínhvàbậchaicủađiêntrởsuất. b)Vớiđồngtrabảngtacóα=0,0039/ o Cvà 20 =1,7×10 -8 Ωm. Lậpđồthịcủađiệntrởsuấtcủađồngvàxấpxỉtuyếntính,bậc2với-250 o C≤t≤1000 o C. c)Vớigiátrịnàocủat,xấpxỉtuyếntínhkhônglệchquábiểudiễnmũ1%. 3 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Giải: a)TheokhaitriểnTaylortạit=20tacó: 20 ( ) 1 20 t t làbiểudiễnxấpxỉtuyếntính. 2 20 1 ( 2 ( ( 20)) 2 0) ! t t t làbiểudiễnbậc2củađiệntrởsuất. b)Đồthịcủađiệntrởsuất: Đồthịbiểudiễnchoxấpxỉtuyếntínhcủađiệntrởsuất Đồthịbiểudiễnchoxấpxỉbậchaicủađiệntrởsuất: 4 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. c)Theođềbàicónghĩalàsaisố 2 1 20 0,01 2! t R 20 0,02 16,26 56,26 t t ( o C) Vídụ2.46.Nếusóngnướcvớibướcsóng L chuyểnđộngdọctheothânnướcđộsâu$d$ nhưHình2.34thì 2 2 tanh , 2 gL d v L với v làvậntốctruyềnsóng. a) Đốivớinướcsâu,chỉrarằng 2 gl v b) Đốivớinướcnông,dùngkhaitriểnMaclaurinvới tanh đểchỉrarằng .v gd Như vậy,vớinướcnông,vậntốctruyềnsóngđộclậpvớibướcsóng. c) SửdụngđánhgiásaisốtrongkhaitriểnTaylorđểchỉrarằng,nếu 10L d thìước lượng v gd làtốttrongkhoảng 0,024gL Hìnhvẽ: L d Giải : a) Khinướcsâutứclà d hay 2 d L Mặtkhác lim 1. x x x x x e e e e 5 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Nênkhi d thì 2 tanh 1 d L Từđósuyra 2 gL v b) Tacó: 2 2 2 2 2 sinh sinh .cosh cosh .sinh cosh sinh 1 ( ) cosh cosh cosh cosh ( ) x x x x x x x tanh x x x x x Vậy 2 1 tanh (0) 1. cosh (0) SửdụngkhaitriểnMaclaurinchohàm$\tanh$tathuđược: tanh'(0) 1 tanh tanh(0) . ( ) 0 . ( ) ( ) 1! 1! x x o x x o x x o x Suyrakhi 0x thì tanh x x Ápdụngvới 2 0( 0) d x d L tađược: c) 2 2 2 .tanh . 2 2 gL d gL d v gd v gd L L d) SửdụngđánhgiásaisốtrongkhaitriểnTaylortacó 2 2 1 ( ) . 2! | | M R x x 2 ( )| |M Sup f x Trongđó ( ) tanhf x x Tasẽkhảosát ( ) | | f x đểtìm 2 M 2 3 ( ) ( ( )) (cosh ) 2cosh .sinhf x f x x 4 2 3 ( ) | 2 3cosh .sinh cosh .cosh | ( ) f x x x x x 6 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. 2 2 2cosh (1 3tanh )x x Do 2 2 10 . 10 5 d d L d L d 0, . 5 ( ) x Do tanh x làhàmđồngbiếnnên 2 1 3tanh 1 3tanh( ) 0,0696 0 5 x Nên ( )| |f x làhàmđồngbiến Vậy 3 ( ) 2cos ( )siS n ( ) 0, u 768 5 p 5 | |f x h Suyra 2 2 2 1 0,768 | ( ) | 0,15154 2! 2 M R x x x Suyra 2 v tốttrongkhoảng 1 0,15154 . 0,024 2 2 Ld Ld R Ld Vídụ2.48.Biếtrằng,cườngđộđượcchiếusángtừmộtnguồnsángnàođótỷlệthuậnvới cườngđộcủanguồnvàtỷlệnghịchvớibìnhphươngkhoảngcáchđếnnguồn.Hainguồn sángcườngđộnhưnhau,đặtcáchnhau 10 tácđộnglênđiểmPtrênđoạnABcáchđódmét. a)Tìmbiểuthứcchocườngđộđượcchiếusáng ( )I x tạiđiểmP. b)Khi 5 ,d m chứngtỏrằng ( )I x cựctiểutại 5,x tứclàkhiPlàtrungđiểmAB. c)Xétlạicâua),b)trongtrườnghợp 10,d chứngtỏcựctiểukhôngđạtđượctạitrung điểm. Hìnhvẽ A x P B d 10m 7 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Giải : a) Gọicườngđộ2nguồnsánglàIthì 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) (10 ) (10 ) ( ) kI kI I x I x I x kI x d x d x d x d Đặt 5x X thì ( 5,5)X và ( )I kIf X với f X là 2 2 2 2 1 1 ( 5) ( 5) X d X d Tasẽđikhảosát ( )f X 2 2 2 2 2 2( 5) 2( 5) '( ) [( 5) ] [( 5) ] X X f X X d X d Đặt 2 2 2 2 ( 5) , ( 5) A X d B X d Thì 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 '( ) [( 5) ( 5) ] [ ( ) 5( )( )] 2 [ ( ) 5( 20 )( )] 2 [100( ) ( )] f X X A X B X A B A B A B A B A B X A B X A B A B X A B A B A B Tacó 2 2 2 50 2A B X d và 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 ( 5) 2 ( 5) ( 5) 2 ( 5) A B X d X d X d X d 4 4 2 2 2 4 4 2 2 2 4 [( 5) ( 5) ] 2 [( 5) ( 5) ] 2 (2 300 1250) 2 (2 50) 2 ) X X d X X d X X d X d Từđótacó: 2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 4 2 100( ) ( ) 200 5000 200 [2 (300 4 ) 2 100 1250] 2 (100 4 ) (3750 2 100 ) A B A B X d X d X d d X d X d d Trongtrườnghợp 5d tacó: 8 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. 2 2 4 2 2 100( ) ( ) 2( 100 2500) 2[ 50(1 2)][ 5 2( 2 1)][ 5 2( 2 1)] A B A B X x X X X Vàtacóđược 2 2 2 4 [ 50(1 2)][ 5 2( 2 1)][ 5 2( 2 1)] ( ) X X X X f X A B ( ) 0 f X khi 0X hoặc 5 2( 2 1) X Tacóbảngbiếnthiên X -5 5 2( 2 1) 0 5 2( 2 1) 5 F’(X) + 0 - 0 + 0 - F(X) 0,048 0,04 0,048 Từbảngbiếnthiêntarútrađượcgiátrịcựctiểucủa ( )I x đạtđượckhi 0X haycũngnhư 5x b) Xétvới 10d thì: 2 2 4 2 2 4 2 4 2 4 2 100( ) ( ) 2 (100 4(10) ) (3750 2(10) 100(10) ) 2 500 6250 2( 250 3125) 0 ( 5,5) A B A B X X X X X X X Nhưvậy 4 2 2 2 4 ( 250 3125) (X) X X X f A B ( ) 0 f X chỉkhi 0.X Tacóbảngbiếnthiên: X -5 0 5 f’(X) + 0 - f(X) f(0) Từđâytasuyravới 10d thìgiátrịcựctiểucủa ( )I x khôngđạtđượctạitrungđiểm. 9 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Vídụ2.52.Khicábơivớitốcđộtươngđối v sovớinước,nănglượngsảnracủanótrênmột đơnvịthờigianlà 3 .v Ngườitathấyrằng,cádicưcốgắngcựctiểuhóanănglượngtổngthể đểbơimộtkhoảngcáchnhấtđịnh.Nếuvậntốcdòngnướclà a vàcábơingượcdòngnước ( )a v thìthờigiancầnbơiđượckhoảngcáchLlà L v a vànănglượngsảnralà 3 ( ) . , L E v qv v a trongđó q làhằngsốtỷlệ. a) TìmgiátrịvlàmcựctiểuE. b) VẽđồthịcủaE (Kếtquảnàyđượckiểmnghiệmbằngthựcnghiệm:Cádicưbơingượcdòngnướcvới vậntốcgấprưỡilầnvầntốcdòngnước). Giải : 3 ( ) . . ( ) v E v qL qL f v v a Takhảosát 3 ( ) v f v v a 2 2 3 2 2 3 2 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a v v v v a v f v v a v a ( ) 0 f v khi 1,5v a Khi v a thì ( )E v Khi v thì ( )E v .Khi 1,5x a thì 3 27 ( ) 4 E v qa .Ta cóbảngbiếnthiên: v a 1,5a f’(v) - 0 + f(v) 3 27 4 a Dựavàobảngbiếnthiêntathấykhi 1,5v a thì ( )E v đạtgiátrịcựctiểu. c) ĐồthịE: 10 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Vídụ2.53.Đểkhảosátvậntốctruyềnâm 1 v ởmặttrên, 2 v ởmặtdướicủamạchđádộdày h (biếtrằng 1 2 v v ),ngườitachonổmìntạiđiểmPvàtínhiệughilạitạiđiểmQ,cách nhau$l$.TínhiệuđầutiêntruyềnquabềmặtQmất 1 T giây.Tínhiệutiếptheođược truyềntớiđiểmR,từRtớiS(R,Sthuộclớpdưới),rồitừSđếnQmất 2 T giây.Tínhiệu thứbaphảnquamặtdướitrungđiểmOcủađoạnRSvàmất 3 T giâyđểđếnQ. a) Biểudiễn 1 2 3 , ,T T T theo 1 2 , , , .l v v b) Chứngtỏrằng, 2 T cựctiểukhi 1 2 sin . v v c) Giảsử 1 2 3 1 , 0,26 , 0,32 , 0,34 .l km T s T s T s Tìm 1 2 ,v v và .h Hìnhvẽ: P v 1 Q h R v 2 S Giải: a)Tacó 1 1 1 PQ l T v v [...]... x ) Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 13 Hay S 0,034 R 2 x 0,6 BÀI TẬP CHƯƠNG II. Bài 40. Cho 1200cm 2 vật liệu để làm một chiếc hộp đáy là hình vuông và không có nắp, tìm thể tích lớn nhất có thể của hộp. x Hình vẽ: h Giải: Gọi x là độ dài cạnh đáy và h là chiều cao của hộp. Từ đó nhờ vào giả thiết 4hx x 2 1200 ta có mối quan hệ giữa h và x là: Giải tích. .. Thiết diện ngang tại chỗ cách đỉnh x(m) là tam giác đều cạnh x m Tính thể tích của lăng. Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 22 Giải: Ta có: V V 3 2 x x 4 20 0 3 2 3 x3 20 2000 3 3 x dx m 4 4 3 0 3 Bài 27:Chất điểm chuyển động theo một đường thẳng sau t giây đạt được vận tốc v t 2e t m / s Tính quãng đường nó đi dược trong t giây đầu tiên? Giải: Ta có S v(t )t S 2 t t e t 0... GE GF Nên tam giác AIK đồng dạng ABC với tỷ lệ 1: 3 suy ra tỷ lệ về diện tích sẽ là 1: 9 đồng nghĩa với S2 : S1 1: 9 Ta thu được: Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 24 ( ( ( 1.cos30 1 3 ) 11 11 8 96 2 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 1 1 1 1 3 ) r12 1 3 1 3 3 1 2 3 )) r ( 1 1 S S1 3S 2 3S3 r12 3 2 r12 4 r12 3 3 2 1 ) ( ) ... Vận tốc của tên lửa phóng thẳng đứng tại thời điểm t được mô hình hóa bởi phương trình v(t ) gt vk ln m rt , m Trong đó g là gia tốc trọng trường, t không quá lớn. Nếu g 9,8m / s 2 , m 30000kg , r 160kg / s, vk 3000m / s tìm chiều cao tên lửa sau khi phóng được 1 phút. Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 19 Giải : t Ta có h v(t )t h h v(t )t [ gt v ln(... Rs 0 3 Rs 2 Thay vào ta được kết quả của nguyên hàm: r (r R) 2 r 2 s2 dr (1 r 3 2 2 ( R)r r 2 R 2 3 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân ) r 2 s 2 Rs 2 dr r 2 s2 21 Do tích phân r (r R) 2 r 2 s2 dr dr r 2 s2 (1 r 3 2 là tích phân quen thuộc trong bảng nên ta dễ dàng tính được. 2 ( R) r s 2 R 2 3 ) r 2 s 2 Rs 2 ln(r r 2 s 2 ) Từ đó ta có kết quả: ... Hình vẽ: x 20m φ Giải: Đặt x là khoảng cách từ đỉnh thang tới đất thì ta có : x 20sin x 20sin dx d sin 20 dt dt dx d 20.cos dt dt Tại thời điểm 6 thì vốc tốc góc biến thiên với tốc độ dx 20cos 2 20 3 dt 6 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân d 2 Thay vào ta thu được dt 15 Bài 42. Một quả khinh khí cầu, đầu tiên được bơm vào thể tích lên đến 30000m3... kết thúc thở ra, thường kéo dài 5s Vận tóc cực đại của khí là V l / s, vì thế nó được mô hình 2 t hóa bởi v(t ) V sin Dùng mô hình này để tính thể tích khí K hít vào phổi tại thời điểm t, 5 áp dụng với V 0,5, t 2 Khi nào trong phổi có nhiều khí nhất? Giải: Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 17 Ta có: t 2 x 5 2 t 5V 2 t dx V cos 1 cos 5 2 5 0 2 5 0 Ví dụ 3.47. Trong một mẻ cấy, số lượng ban đầu của vi khuẩn là 500, số lượng này tăng lên ... rằng, tỷ lệ phần trăm của thể tích vật nổi trên mặt chất lỏng là 100 l l b) Khối lượng riêng của băng và nước biển lần lượt là 917kg / m3 và 1030kg / m3 Tính tỷ lệ phần trăm thể tích băng nổi trên mặt nước biển. Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 18 Giải: k a) Trọng lượng của vật là : g m g 0 V g 0 S ( y )dy h Do vật cân bằng nên ta lại có : k 0 g l g h S ( y )dy h 0 g l h k 0 S ( y )dy g... mực nước dâng lên với vận tốc bao nhiêu khi nước sâu 30cm ? Hình vẽ: 80 x A B C 30 D Giải: Gọi thiết diện ngang của mực nước đang có trong máng là hình thang ABCD , x là chiều cao của hình thang , như vậy nó cũng là độ sâu của mực nước. Ta có : Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 16 V S ABCD 10 ( AB CD) x AB 0,3 10 5 2 x Mà theo tính chất đồng dạng ta có x 50... Tìm nhiệt độ trung bình trong quãng thời gian từ 8h sáng đến 8h 12 tối. Giải: Nhiệt độ trung bình từ 8h sáng cho đến 20h là tổng nhiệt độ chia cho khoảng thời gian, cho nên được tính bằng: 20 14 20 1 (50 14.sin 12t )dt 12 50t 8 12 cos 12t 12 8 1 20 8 20 8 ( ) 1 14 20 8 (1000 400) cos cos 12 12 12 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 23 50 [ ] 14 1 1 14 ( ) 50 2