De va DA thi HSG 11 nam 2010

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu 1 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình: 3 2 2 3 2 2 (1 ) (2 ) 30 0 (1 ) 11 0 x y y x y y xy x y x y y y  + + + + − =   + + + + − =   Câu 2 (2,5 điểm). Giải phương trình: 2 (2 3)cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x π   − − −  ÷   = − . Câu 3 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng cho đa giác đều 2n đỉnh 1 2 2 n A A A (với n là số nguyên lớn hơn 1). Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật với các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho. Câu 4 (2,5 điểm). Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2, = =AB a BC a và 2= = = =SA SB SC SD a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là hình chiếu vuông góc của K trên SA. a) Tính độ dài đoạn HK theo a. b) Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK , CD . Chứng minh rằng các đường thẳng BM và MN vuông góc với nhau. Câu 5 (1,5 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn 1x y z+ + = . Chứng minh rằng: 1 1 1 27 1 1 1 8xy yz xz + + ≤ − − − Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) ———————————— (Đáp án gồm 4 trang) Câu 1 (2,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm Biến đổi tương đương hệ đã cho 2 2 2 2 2 (1 ) (2 ) 30 ( ) ( ) 30 ( ) 11 11 xy x y xy y y xy x y xy x y xy x y xy x y x y xy xy x y     + + + + =   + + + =       ⇔   + + + + = + + + + =     ( )( ) 30 ( ) ( ) 11 xy x y x y xy xy x y xy x y + + + =  ⇔  + + + + =  0,75 Đặt ( ) ;xy x y a x y xy b+ = + + = , ta được hệ: 11 30 a b ab + =   =  Giải hệ này ta được ( , ) (5,6);(6,5)a b = . 0,5 Nếu ( , ) (6,5)a b = thì ( ) 6 5 xy x y xy x y + =   + + =  0,25 Tìm ra hai nghiệm là ( , ) (1,2);(2,1)x y = 0,25 Nếu ( , ) (5,6)a b = thì ( ) 5 6 xy x y xy x y + =   + + =  0,25 Tìm ra hai nghiệm là 5 21 5 21 5 21 5 21 ( , ) ; ; ; 2 2 2 2 x y     + − − + =  ÷  ÷  ÷  ÷     0,25 Vậy hệ có 4 nghiệm là: 5 21 5 21 5 21 5 21 ( , ) (1,2);(2,1); ; ; ; 2 2 2 2 x y     + − − + =  ÷  ÷  ÷  ÷     0,25 Câu 2 (2,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm Điều kiện: 1 cos 2 ≠x (*) 0,25 Phương trình đã cho tương đương với (2 3)cos 1 cos 2cos 1 2 x x x π     − − − − = −  ÷       0,5 (2 3)cos 1 sin 2cos 1x x x⇔ − − + = − 0,5 sin 3 cos tan 3x x x⇔ = ⇔ = 0,25 ( ) 3 x k k π π ⇔ = + ∈¢ 0,5 Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là: 0,5 2 4 2 ( ) 3 = + Âx m m Cõu 3 (1,0 im): Ni dung trỡnh by im Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp đa giác đều 1 2 2 n A A A . Dễ thấy đa giác này có đúng n đờng chéo mà là đờng kính của (O). 0,25 Mặt khác, mỗi tứ giác có đỉnh là đỉnh của đa giác là một hình chữ nhật khi và chỉ khi hai đờng chéo của nó là hai đờng kính của (O). 0,25 Bên cạnh đó, hai tứ giác khác nhau thì có hai cặp đờng chéo khác nhau. Do vậy số hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của đa giác bằng với số cặp đờng chéo của đa giác đều mà là hai đờng kính. 0,25 Vậy số các hình chữ nhật cần tìm là 2 ( 1) 2 n n n C = . 0,25 Cõu 4 (2,5 im): Ni dung trỡnh by im a) (1,5 im). Gi O l giao im ca AC v BD. Theo gi thit ta cú: SO (ABCD) SO BK, m BK AC BK (SAC) BK SA v BK HK . 0,5 + Do ABC vuụng nh B nờn: 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 = + = a BK BK AB BC . + D thy SA (BHK) BH SA. SAB cõn nh S, BH l ng cao nờn d thy 7 2 = a HB . 0,5 + Do HBK vuụng ti K nờn: 2 2 2 2 13 12 39 6 Vậy = = = a HK HB BK a HK 0,5 b) (1,0 im) Ta cú + 2BM BA BK= + uuuur uuur uuur ( vỡ M l trung im ca AK) + 1 1 1 ( ) 2 2 2 MN MB BC CN AB KB BC BA KB BC= + + = + + + = + uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur . 0,25 0,25 + Do ú: 3 _ D _ C _ B _ A _ S _ O _ K _ M _ N H 4 . ( ).( 2 ) = . 2 . . 2 . = . . 2 . = BM MN BA BK KB BC BA KB BA BC BK KB BK BC BA KB BK KB BK BC KB = + + + + + + + uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur u r .( 2. ) = .( ) = .( ) . . 0 BA BK BC KB BA BC BK BC KB CA CK KB CA KB CK + − − + − + = + = uu uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur Vậy: BM ⊥ MN. 0,5 Câu 5 (1,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm Đặt 1; ; = + + = = + + =p x y z q xy yz xz r xyz Ta có các đẳng thức sau: 2 (1 )(1 )(1 ) 1− − − = − + −xy yz xz q pr r (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 3 2− − + − − + − − = − +xy yz xy xz yz xz q pr BĐT cần chứng minh trở thành: 2 3 2 27 1 8 − + ≤ − + − q pr q pr r Hay 2 3 11 19 27 0− + − ≥q r r (1) 0,5 Theo BĐT Cauchy, 3 3 2 ( ) 27 27 1 27 27+ + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≥ −x y z xyz p r r r r Do đó ta chỉ cần chứng minh được: 3 11 19 0 3 11 18 0− + − ≥ ⇔ − + ≥q r r q r (2) là xong. 0,25 Ta có (2) 3 11( ) 18 0⇔ − + + + ≥xy yz xz xyz (3) Không mất tổng quát, giả sử { } 1 min , , 3 = ⇒ ≤z x y z z Ta có 2 2 3 11( ) 18 3 (18 11) 11 ( ) 1 3 (18 11) 11 (1 ) 3 (18 11) 11 (1 ) 2 2 − + + + = + − − + + −     ≥ + − − − ≥ + − − −  ÷  ÷     xy yz xz xyz xy z z x y x y z z z z z z z 0,5 Ta có 2 2 1 3 (18 11) 11 (1 ) 0 (3 1) (2 1) 0 2 −   + − − − ≥ ⇔ − + ≥  ÷   z z z z z z (luôn đúng) Do đó (3) đúng, tức là (1) đúng. Bài toán được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 = = =x y z . 0,25 - Hết - 4 . xong. 0,25 Ta có (2) 3 11( ) 18 0⇔ − + + + ≥xy yz xz xyz (3) Không mất tổng quát, giả sử { } 1 min , , 3 = ⇒ ≤z x y z z Ta có 2 2 3 11( ) 18 3 (18 11) 11 ( ) 1 3 (18 11) 11 (1 ) 3 (18 11) 11 (1 ) 2 2 −. Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009 -2010 HƯỚNG DẪN CHẤM. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009 -2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180