TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 ĐỀ TỰ ÔN SỐ 03 Thời gian: 120 phút ĐỀ BÀI Câu 1. (2.0 điểm)Cho x, y, z >1 và thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). Câu 2. (2.0 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x x x y x x − + + − − = + − − + Câu 3. (2.0 điểm) Cho 4 số bất kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9 ; c+2d=4. CMR: 2 2 2 2 2 2 2 2 12 8 52 2 2 4 8 20 4 5a a b b a c b d ac bd c d c d− + − + + + + + − − + + − + + ≥ Câu 4. (2.0 điểm)Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: 3 -x + 3 -y + 3 -z =1. CMR: 9 9 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 x y z x y z x y z y z x z x y + + + + + + + ≥ + + + Câu 5. (2.0 điểm) Tìm Min của: 2 2 2 x y z H y z z x x y = + + + + + Trong đó: 2 2 2 2 2 2 , , 0 2010 x y z x y y z z x > + + + + + = ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TỰ ÔN SỐ 03 Câu 1. (2.0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). Giải: Ta có: xy + yz + zx ≥ 2xyz 1 1 1 2 x y z ⇒ + + ≥ Đặt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 2 ; 2 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 1 8 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 ax 8 8 x a a b c y b a b c z c a b c b c bc a b c b c ca ab b c c a a b abc abc a b c a b c x y z M A − = > − = ⇒ ≥ ⇔ ≥ − + − ÷ ÷ + + + + + − = + + + ⇒ ≥ + ≥ + + + + + ≥ ≥ + + + + + + ⇒ ≥ ⇒ ≤ + + + + + + ⇒ − − − ≤ ⇒ = Câu 2. (2.0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x x x y x x − + + − − = + − − + TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 Giải: Đặt: ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0 1 2 ; 2 2 1 1 ( 1) 4 : 2 2 2;2 ax (0) 1 0 ' 0 4 lim 4 2 3 2 t a b a x ab a b y a b a b b x t a b a b Coi t a b t t y t t M y y t y y t y t t →− > = + + − ⇒ = − + + = = − = − ≤ + − + = = − ⇒ − + = + ∈ − = = = ⇒ ⇒ = ⇔ ⇒ = −∞ = − < − = − + − + Vậy hàm số đạt Max=1 và không đạt Min. Câu 3. (2.0 điểm) Cho 4 số bất kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4. CMR: 2 2 2 2 2 2 2 2 12 8 52 2 2 4 8 20 4 5a a b b a c b d ac bd c d c d − + − + + + + + − − + + − + + ≥ Giải: Chọn A(a;b) và B(c;d) ta có: M(6;4) và N(2;-4) và: ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 ( ) : 2 9 0 ( ) : 2 4 0 ó : 12 8 52 6 4 A d x y B d x y Ta c a a b b a b AM ∈ + − = ∈ + − = − + − + = − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8 20 2 4 a c b d ac bd a c b d AB c d c d c d BN + + + − − = − + − = + − + + = − + + = 2 2 à : (6 2) (4 4) 4 5M AM AB BN MN + + ≥ = − + + = Câu 4. (2.0 điểm) TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: 3 -x + 3 -y + 3 -z =1. Chứng minh rằng: 9 9 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 x y z x y z x y z y z x z x y + + + + + + + ≥ + + + Giải: Đặt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 , , 0 3 1 1 1 1 3 ó : ì : . ó : 3 8 4 x y z a a b c b ab bc ca abc a b c c a b c a b c Ta c VT a bc b ca c ab a abc b abc c abc a a a V a abc a ab bc ca a b a c a b c VT a b a c b c b a c a c b a a b a c a Ta c a b a c = > = ⇒ ⇔ + + = + + = = = + + = + + + + + + + + = = + + + + + + ⇒ ≥ + + + + + + + + + + + + ≥ + + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 64 4 3 3 ; 4 4 3 2 ( ) 8 4 4 a b c b c b c b a c a c b a b a c b c a b c VT a b c VT VP dpcm = ≥ ≥ + + + + + + + + + + + ⇒ + ≥ + + ⇒ ≥ = ⇒ ÷ Câu 5. (2.0 điểm) Tìm Min của: 2 2 2 x y z H y z z x x y = + + + + + Trong đó: 2 2 2 2 2 2 , , 0 2010 x y z x y y z z x > + + + + + = TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010 Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , 0 2010 ó : 2( ); 2( ); 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) à : ; ; 2 2 2 1 2 2 a x y a b c b y z a b c c z x Theo Bunhiacopxki ta c x y x y y z y z z x z x x y z H y z z x x y a b c a b c a b c V x y z a b c H b = + > = + ⇒ + + = = + + ≤ + + ≤ + + ≤ + ⇒ ≥ + + + + + − + + − − + + = = = − + ⇒ ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2( ) . ì : ( ) ê : 3 2 2 1 ( ) 1 1 1 1 ( ) .( ) 2( ) .9 2( ) 3 3 2 2 2 2 2010 1005 2 2 2 2 2 2 a b c a b c c a a b c a b c a b c V a b c n n a b c a b c a b c H a b c a b c a b c a b c a b c + − − + + + + ÷ + + = + + + + − + + + + ≥ ÷ ÷ + + + + ≥ + + + + − + + ≥ − + + ÷ ÷ ÷ + + = = = ⇒ 1005 2 224450 2 Min H x y z= ⇔ = = = ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang . tháng 03 năm 20 10 Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , 0 20 10 ó : 2( ); 2( ); 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) à : ; ; 2 2 2 1 2 2 a x y a b c b y z a b c c z x Theo. + − + + − − + + = = = − + ⇒ ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2( ) . ì : ( ) ê : 3 2 2 1 ( ) 1 1 1 1 ( ) .( ) 2( ) .9 2( ) 3 3 2 2 2 2 20 10 1005 2 2 2 2 2 2 a b c a b c c a a b c a b. (094) -22 22- 408 Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 20 10 Giải: Đặt: ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0 1 2 ; 2 2 1 1 ( 1) 4 : 2 2 2; 2 ax (0) 1 0 ' 0 4 lim 4 2 3 2 t a b a x ab a b y a b a b b