Người giải đề : Đoàn Tiến Trung - Hiệu phó THCS Hoàng Văn Thụ - Nam Định SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2010-2011 Môn: TOÁN ( chung ) Thời gian làm bài: 120’( không kể thời gian giao đề) Phần I: Trắc nghiệm ( 1,0 điểm ) Mỗi câu sau có nêu 4 phương án trả lời A, B,C,D, trong đó chỉ có một phương án đúng. Hãy chọn phương án đúng (viết vào bài làm chữ cái đứng trước phương án được lựa chọn). Câu 1: Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x – 2 và đồ thị hàm số y = - x + 4 là: A. (1;3) B. (3;1) C. (-1;-3) D. (-1;5) Câu 2 : Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến khi x > 0 ? A. y = ( 82 - 9 )x 2 B. y = ( 1,4 - 2 )x 2 C. y = ( 2 - 5 )x + 1 D. y = -x + 10 Câu 3 : Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp đường tròn (O ;R). Biết R = 5cm và MN = 4cm. Khi đó cạnh MQ có độ dài bằng : A. 3cm B. 21 cm C. 41 cm D. 84 cm Câu 4 : Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2cm, có thể tích bằng 20 π cm 3 . Khi đó, hình trụ đã cho có chiều cao bằng : A. 5 π cm B. 10cm C. 5cm D. 15cm Phần 2 - Tự luận ( 9,0 điểm ) Câu 1. ( 1,5 điểm ) Cho biểu thức : P = 2 1 1 : 1 1 1 x x x x x x x + − − ÷ + + − + . Với điều kiện : x > 0 và x ≠ 1 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm x để P = 10 Câu 2: ( 2,0 điểm ) Cho phương trình bậc hai x 2 + 2x – m = 0 (1) 1) Giải phương trình ( 1 ) khi m = 4 2) Xác định m để phương trình ( 1 ) có nghiệm. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ( 1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x 1 4 + x 2 4 Câu 3: ( 1,0 điểm ) Giải hệ phương trình 2 2 3 5 ( )( 1) 7 x y xy x y x y xy + + = + + + + = Câu 4: ( 3,5 điểm ) Cho đường tròn (O ;R) có đường kính AB. Trên đường tròn (O ;R) lấy điểm M ( khác A và B).Gọi H là trung điểm của MB. Tia OH cắt đường tròn (O ;R) tại I. Gọi P là chân đường vuông góc kẻ từ I đến đường thẳng AM 1) Chứng minh : a) Tứ giác OHMA là hình thang. b) Đường thẳng IP là tiếp tuyến của đường tròn (O ;R). 2) Gọi N là điểm chính giữa cung nhỏ MA của đường tròn (O ;R).Gọi K là giao điểm của NI và AM. Chứng minh PK = PI. 3) Lấy điểm Q sao cho tứ giác APHQ là hình bình hành. Chứng minh OQ = R Câu 5: ( 1,0 điểm ) : Cho các số dương x và y thay đổi thoả mãn điều kiện : x – y ≥ 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4 1 x y − . Người giải đề : Đoàn Tiến Trung - Hiệu phó THCS Hoàng Văn Thụ - Nam Định HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 2 phần b : Giá trị nhỏ nhất của M bằng 2. Dấu bằng xảy ra khi x = -1 Câu 5 : Vì x , y là các số dương thoả mãn x – y ≥ 1 nên ta có : P = 4 1 x y − ⇔ P .1 ≤ ( x – y ) 4 1 x y − ÷ ⇔ P ≤ 4 - 4x y y x − + 1 ⇔ P ≤ 5 - 4x y y x + ÷ Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương ta có : 4x y y x + ≥ 2 4 . x y y x ⇔ 4x y y x + ≥ 4 Dấu ‘‘=’’ xảy ra ⇔ x = ± 2y => P ≤ 5 – 4 => P ≤ 1 Dấu ‘‘=’’ xảy ra ⇔ x = ± 2y Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = ± 2y. Lời giải của thầy chưa chặt chẽ và chưa đúng lắm : Ta phải lí luận như sau : P(x – y) = 4 1 4 4 ( )( ) 4 1 5 x y x y x y x y y x y x − − = − − + = − − Áp dụng bdt Côsi cho hai số dương 4 , x y y x ta được : 4 4 2 4 x y x y y x y x + ≥ = Suy ra P (x – y) 1 1 P x y ≤ ⇒ ≤ − (Do x – y > 0) Mặt khác 1 1 1 1x y P x y − ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ − Dấu ‘=’ xảy ra 4 2 , 1 x y x y y y x ⇔ = ⇔ = ≥ (Do x và y đều dương) Vậy max P = 1 khi x = 2y, 1y ≥ . 120’( không kể thời gian giao đề) Phần I: Trắc nghiệm ( 1,0 điểm ) Mỗi câu sau có nêu 4 phương án trả lời A, B,C,D, trong đó chỉ có một phương án đúng. Hãy chọn phương án đúng (viết vào bài làm. 4cm. Khi đó cạnh MQ có độ dài bằng : A. 3cm B. 21 cm C. 41 cm D. 84 cm Câu 4 : Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2cm, có thể tích bằng 20 π cm 3 . Khi đó, hình trụ đã cho có chiều cao bằng. Người giải đề : Đoàn Tiến Trung - Hiệu phó THCS Hoàng Văn Thụ - Nam Định SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2010-2011 Môn: TOÁN ( chung ) Thời