http://ductam_tp.violet.vn/ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 ĐỀ RA Bài 1. Cho hàm số 3 2 1 2 3 3 y x mx x m= − − + + có đồ thị (Cm) a) Khảo sát khi m =-1. b) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15. Bài 2. Cho phương trình 3 3 cos sinx x m− = (1) a) Giải phương trình khi m=-1 b) Tìm m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm ; 4 4 x π π ∈ − Bài 3. (2 điểm) a) Giải phương trình 2 2 2 log 9 log log 3 2 .3 x x x x= − b) Tính tích phân 2 4 4 2 4 sin cos (tan 2tan 5) xdx x x x π π − − + ∫ Bài 4.(3 điểm) a) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 14x y z+ + + + + = và điểm ( ) 1; 3; 2M − − − . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua sao cho (P) cắt (S) theo một giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. b) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( ) 1;3A nằm ngoài (C): 2 2 6 2 6 0x y x y+ − + + = . Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt (C) tại hai điểm B và C sao cho AB=BC. Bài 5. (2 điểm) a) Cho khai triển ( ) 5 2 3 15 0 1 15 1 x x x a a x a x+ + + = + + + . Tìm hệ số 9 a của khai triển đó. b) Cho a, b, c>0; abc=1. Chứng minh rằng 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 a b c b c c a a b + + ≥ + + + + + + ĐÁP ÁN Bài 1. a) HS tự giải b) YCBT thỏa 3 2 1 2 0 3 3 x mx x m⇔ − − + + = có 3 nghiệm phân biệt thỏa 2 2 2 1 2 3 15x x x+ + > . ( ) ( ) 2 1 (1 3 ) 2 3 0x x m x m⇔ − + − + + = có 3 nghiệm phân biệt thỏa 2 2 2 1 2 3 15x x x+ + > . 1m⇔ > . Bài 2. a) Khi m=-1, phương trình trở thành ( ) ( ) cos sin 1 cos sin 1x x x x− + = − Đặt t = cos sinx x− ; điều kiện 2t ≤ . Ta có nghiệm ( ) 2 , 2 2 x k k l x l π π π π = + ∈ = + ¢ b) (1) ( ) ( ) cos sin 1 cos sinx x x x m⇔ − + = Đặt t = cos sinx x− ; điều kiện 2t ≤ . http://ductam_tp.violet.vn/ Khi ; 0; 2 4 4 x t π π ∈ − ⇒ ∈ . Ta có phương trình theo t: 3 3 2t t m− = . Bằng cách tìm tập giá trị hàm vế trái, ta suy ra phương trình có đúng hai nghiệm ; 4 4 x π π ∈ − khi và chỉ khi 2 ;1 2 m ∈ ÷ ÷ . Bài 3. a) ĐK: x>0. Ta có phương trình 2 2 2 2 log 9 log log 3 log 2 2 .3 3 1 x x x x x x= − ⇔ = − . Đặt 2 log 2 t x x⇒ = . Phương trình trở thành 3 1 3 4 1 1 1 2 4 4 t t t t t x = − ⇔ + = ⇒ = ⇒ = ÷ ÷ b) 2 4 4 2 4 sin cos (tan 2tan 5) xdx I x x x π π − = − + ∫ . Đặt 2 tan 1 dt t x dx t = ⇒ = + . Ta có 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ln 3 3 2 5 2 5 t dt dt I t t t t − − = = + − − + − + ∫ ∫ Tính 1 1 2 1 2 5 dt I t t − = − + ∫ . Đặt 0 1 4 1 1 tan 2 2 8 t u I du π π − − = ⇒ = = ∫ . Vậy 2 3 2 ln 3 8 I π = + − . Bài 4. Ta thấy M thuộc miền trong của (S) và (S) có tâm ( ) 1; 2; 3 , 14I R− − − = . Do đó, (P) qua M cắt (S) theo một giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất 2 2 R IH⇔ − nhỏ nhất (H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P)) IH⇔ lớn nhất ( ) 0;1; 1M H IM⇔ ≡ ⇔ = − uuur là VTPT của (P). Vậy (P) có phương trình là y-z+1=0. Theo yêu cầu bài toán , ,A B C⇒ thẳng hàng và AB=BC.Gọi 2 1 ( ; ), ( ; ) 2 1 m a B a b C m n n b = − ⇒ = − . Do B, C nằm trên (C) nên 2 2 2 2 3 6 2 6 0 1 5 6 2 6 0 1 a a b a b b m m n m n n = + − + + = = ⇒ = + − + + = = − hoặc 7 5 1 5 9 5 13 5 a b m n = = = = − . Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là x+y-4=0 và 7x+y-10=0. Bài 5. http://ductam_tp.violet.vn/ a) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 2 3 2 5 10 0 0 1 1 1 k m k m k m x x x x x C C x + = = + + + = + + = ∑∑ do 9 a cho tương ứng k+m=9. Suy ra 0 9 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 9 5005a C C C C C C C C C C C C= + + + + + = . b) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số, ta có ( ) 3 3 3 1 1 3 (1 )(1 ) 8 8 4 1 1 3 (1 )(1 ) 8 8 4 1 1 3 (1 )(1 ) 8 8 4 3 1 (1) 4 2 a c b a b c b c a b c a c a b c a b VT a b c + + + + ≥ + + + + + + ≥ + + + + + + ≥ + + ⇒ + ≥ + + Dấu bằng xảy ra khi 1 1 1 1 8 8 8 1 a c b a b c abc + + + = = ⇒ = = = = . Vậy 3 3 3 (1) (1) 2 4 4 VT VT≥ − ⇔ ≥ ⇒ điều phải chứng minh. . ) 5 5 5 5 2 3 2 5 10 0 0 1 1 1 k m k m k m x x x x x C C x + = = + + + = + + = ∑∑ do 9 a cho tương ứng k+m=9. Suy ra 0 9 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 9 50 05a. = = − hoặc 7 5 1 5 9 5 13 5 a b m n = = = = − . Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là x+y-4=0 và 7x+y-10=0. Bài 5. http://ductam_tp.violet.vn/ a). là y-z+1=0. Theo yêu cầu bài toán , ,A B C⇒ thẳng hàng và AB=BC.Gọi 2 1 ( ; ), ( ; ) 2 1 m a B a b C m n n b = − ⇒ = − . Do B, C nằm trên (C) nên 2 2 2 2 3 6 2 6 0 1 5 6 2