Dựng bt ng thc tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc hai, ba bin x, y, z 1. Cho cỏc s thc dng x, y, z tha maừn iu kin x + y + z = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z y z x z x y P yz zx xy + + + = + + HD: 2 2 2 2 2 2 x x y y z z P y z z x x y = + + + + + (1) Ta li cú: ( ) 2 0, ,x y x y- " ẻ Ă 2 2 , ,x y xy xy x y+ - " ẻ Ă Do ú: ( ) 3 3 ; , 0x y xy x y x y+ + " > hay 2 2 ; , 0 x y x y x y y x + + " > Tng t, ta cú: 2 2 ; , 0 y z y z y z z y + + " > 2 2 ; , 0 z x z x z x x z + + " > Cng cỏc v tng ng ca caực bt ng thc treõn ta c: ( ) 2 2P x y z+ + = v 1 2 3 P x y z= = = = Vy: minP = 2 khi x = y = z = 1 3 2. Cho x, y, z l ba s dng v 1x y z+ + Ê . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P x y z x y z = + + + + + HD. + p dng bt ng thc Cauchy cho 82 s khụng õm gm mt s 2 81x v 81 s 2 1 x ta c 2 81x + + +L 1444442 444443 2 2 81 soỏ 1 1 x x 82 160 81 82. x 2 41 2 80 1 9 81 82.x x x ổ ử ữ ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 2 41 2 40 1 82 3 9 x x x + ì + Tng t, ta cú: 2 41 2 40 1 82 3 9 y y y + ì v 2 41 2 40 1 82 3 9 z z z + ì + Cng cỏc v tng ng cỏc bt ng thc trờn ta c 41 41 41 40 40 40 82 3 3 3 9 P x y z ổ ử ữ ỗ ữ + + ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ (1) + p dng bt ng thc Cauchy cho ba s khụng õm 41 40 3 x , 41 40 3 y , 41 40 3 z ta cú: ( ) 41 41 41 123 40 40 40 40 3 3 3 27 3. x y z xyz + + (2) Trn Chớ Thanh 2009 Page 1 + Từ (1) và (2) suy ra ( ) 123 40 82 27 3 P xyz ׳ (3) + Mặt khác: ( ) 40 120 3 40 1 1 3. 27 3x y z xyz xyz + + =³ ³ Þ ³ (4) + Từ (3) và (4) suy ra 123 123 82 3 82 3 P × =³ + 2 2 2 2 2 2 41 41 41 40 40 40 1 1 1 81 81 81 3 3 3 1 82 3 1 3 x y z x y z P x y z x y z x y z ì ï ï = = = = = ï ï ï ï ï ï ï = = = = = =Û Û í ï ï ï ï ï ï = = = ï ï ï î 3. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1 4 x y z + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 2 2 2 P x y z x y z x y z = + + + + + + + + HD. + Theo bất đẳng thức Caychy ta có: 4 1 1 1 1 1 1 1 16 4 x x y z x x y z xxyz æ ö ÷ ç + + + ÷£ £ ç ÷ ç ÷ ç + + + è ø (1) 4 1 1 1 1 1 1 1 16 4 x y y z x y y z xyyz æ ö ÷ ç + + + ÷£ £ ç ÷ ç ÷ ç + + + è ø (2) 4 1 1 1 1 1 1 1 16 4 x y z z x y z z xyzz æ ö ÷ ç + + + ÷£ £ ç ÷ ç ÷ ç + + + è ø (3) + Cộng các vế tương ứng ta được 1 1 1 1 1 4 1 4 4 P x y z æ ö ÷ ç + + ÷= × =£ ç ÷ ç ÷ ç è ø + 4 1 3 P x y z= = = =Û + Vậy max 1P = khi 4 3 x y z= = = 4. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện 1xyz = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 3 3 3 1 1 1 x y y z z x P xy yz zx + + + + + + = + + HD. + Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 3 3 3 3 3 1 3 1 3. 1. . 3 x y x y x y xy xy xy + + + + =³ Û³ (1) Trần Chí Thanh –2009 Page 2 3 3 3 3 3 3 3 1 3 1 3. 1. . 3 y z y z y z yz yz yz + + + + =³ Û³ (2) 3 3 3 3 3 3 3 1 3 1 3. 1. . 3 z x z x z x zx zx zx + + + + =³ Û³ (3) + Cộng các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 3P xy yz zx æ ö ÷ ç ÷ ç + +³ ÷ ç ÷ ÷ ç è ø (4) + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có 3 1 1 1 3 3 xy yz zx xyz + + =³ (do xyz = 1) (5) + Từ (4) và (5) suy ra 3 3P ³ + 3 3 3 3 3 3 1 1 3 3 1 1 1 1 1 x y y z P x y z z x xy yz zx ì ï = = ï ï ï = = ï ï ï ï = = = =ÛÛ í = = ï ï ï ï = = ï ï ï ï î + Vậy min 3 3P = khi x = y = z = 1 5. Cho các số x, y dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 9 1 1 1 y P x x y æ ö æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç = + + + ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ è ø ÷ ç è ø HD. + Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 4 1 1 4 3 3 3 27 x x x x x+ = + + + ³ (1) 3 4 3 1 1 4 3 3 3 27 y y y y y x x x x x + = + + + ³ (2) ( ) 2 3 6 4 3 4 3 9 3 3 3 3 9 3 1 1 4 1 16 y y y y y y y æ ö ÷ ç ÷ ç + = + + + +³Þ ³ ÷ ç ÷ ÷ ç è ø (3) + Nhân các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta được 3 3 6 4 3 3 3 256 256 27 27 x y P x y × × =³ 1 3 3 256 1 9 3 3 1 x x y P y x y ì ï ï = ï ï ï ï ï ì = ï ï ï ï = =Û Û í í ï ï = ï î ï ï ï ï = ï ï ï ï î Trần Chí Thanh –2009 Page 3 + Vậy min 256P = khi x=3, y = 9 6. Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 4 3 4 3 4 x y z P = + + + + + HD. +Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 84 3 4 1 1 1 4 4. 4 3 4 2. 4 x x x x x + = + + + +³Þ ³ Tương tự: 8 3 4 2. 4 y y + ³ và 8 3 4 2. 4 z z + ³ + Cộng các vế tương ứng của các bất đẳng thức trên ta được ( ) 8 8 8 2 4 4 4 x y y P + +³ (1) + Lại theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 8 8 8 24 4 4 4 3. 4 3 x y z x y z+ + + + =³ (do x + y +z = 0) (2) + Từ (1) và (2) suy ra 6P ³ + 4 4 4 1 6 0 0 x y z P x y z x y z ì ï = = = ï = = = =ÛÛ í ï + + = ï î +Vậy minP = 6 khi x = y = 0 7. Cho hai số dương x, y và thỏa điều kiện 4x y+ ³ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 2 3 4 2 4 x y P x y + + = + HD. Ta có: 2 2 3 1 2 1 2 4 4 2 4 4 2 x x y y y P x y x y x y = + + + = + + + + + + 2 1 1 2. 4 8 8 2 x y y x y x y æ ö + ÷ ç = + + + + ÷+ ç ÷ ç ÷ ç è ø (1) + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 1 2. 1 4 4 x x x x + × =³ (2) 3 2 2 1 1 3 3. 8 8 8 8 4 y y y y y y + + × × =³ (3) + theo giả thiết, ta lại có: 4 2 2 x y x y + + ³Þ³ (4) + Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra 3 9 1 2 2 4 2 P æö ÷ ç + + =³ ÷ ç ÷ ç è ø và 2 1 9 4 2 1 2 8 x x P x y y y ì ï ï = ï ï ï = = =ÛÛ í ï ï = ï ï ï î 8. Cho các số dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4 4 4 2 x y z P x y y z z x y z x æ ö ÷ ç = + + + + + + + + ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø Trần Chí Thanh –2009 Page 4 HD. + Ta chứng minh: ( ) ( ) 3 3 3 4 ; , 0x y x y x y+ + " >³ Thật vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 4 ; , 0 4 ; , 0x y x y x y x y x y xy x y x y+ + " > + + - + " >³ Û ³ ( ) ( ) 2 2 2 4 ; , 0x y xy x y x y+ - + " >Û ³ ( ) 2 3 0 ; , 0x y x y- " >Û ³ (1) bất đẳng thức (1) luôn luôn đúng và dấu đẳng thức xảy ra khi x = y + Khi đó ( ) 3 3 3 4 x y x y+ +³ + Tương tự: ( ) 3 3 3 4 y z y z+ +³ và ( ) 3 3 3 4 z x z x+ +³ + Do đó ta có: ( ) 2 2 2 2 2 x y z P x y z y z x æ ö ÷ ç + + + + + ÷³ ç ÷ ç ÷ ç è ø (2) + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 3 3.x y z xyz+ + ³ 3 2 2 2 2 2 2 3 1 3. 3 x y z x y z y z x y z x xyz + + × × = ׳ + Từ (2) suy ra 3 3 1 6 6.2 12P xyz xyz æ ö ÷ ç ÷ ç + =³ ³ ÷ ç ÷ ÷ ç è ø + 2 2 2 3 3 12 1 1 1 x y z y z x x y z P x y z x y z xyz xyz xyz ì ï ï = = ï ï ï ì ï = = ï ï ï = = = = = =Û ÛÛ í í ï ï = ï î ï ï ï = ï ï ï î + Vậy minP =12 khi x = y = z = 1 9. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 2009 27 18 P xyz x y z xyz = + + + + HD. + Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2x y z x y z xy yz zx+ + = + + - + + ( ) 1 2 xy yz zx= - + + + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 3 3 3. 1 3.x y z xyz xyz+ + ³Û³ và ( ) 2 3 3.xy yz zx xyz+ + ³ suy ra: ( ) 2 3 3 9. . 9xy yz zx xyz xyz xyz+ + =³ + Từ đó ( ) 2 2 2 1 2 1 18x y z xy yz zx xyz+ + = - + + -£ 2 2 2 18 1x y z xyz+ + +Û £ 2 2 2 1 1 18x y z xyz Þ ³ + + + 2 2 2 2009 2009 18x y z xyz Þ ³ + + + + Mặt khác, ta lại có: 3 1 1 3. 1 27 xyz xyz ³ Þ ³ Trần Chí Thanh –2009 Page 5 + Khi đó 2010P ³ 1 2010 1 3 x y z P x y z x y z ì = = ï ï = = = =ÛÛ í ï + + = ï î + Vậy minP = 2010 khi 1 3 x y z= = = 10. Cho hai số thực dương x, y và 2 2 1x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1P x y y x æ ö æ ö ÷ ç ÷ ç = + + ÷+ + + ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ç è ø è ø HD. + Ta có: 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 x y P x y x y y x x y x y x y y x x y = + + + + + + æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ç = + + + ÷+ + ÷+ + ÷+ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø è ø + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 1 2. 2 2 2 x x x x + × =³ 1 1 2. 2 2 2 y y y y + × =³ 2. 2 x y x y y x y x + × =³ 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2. 2x y x y x y xy xy æ ö ÷ ç + × = + ÷³ Þ ³ ç ÷ ç ÷ ç è ø 2 2 2 2 2 2 2 2 2.x y x y xy x y xy+ = +³ Þ ³ 2 2 1 2 2 xy x y =Þ ³ + + Khi đó 4 3 2P +³ + 2 2 1 2 1 2 2 4 3 2 2 1 x x y y P x y x y y x x y ì ï ï = ï ï ï ï ï ï = ï ï = + = =ÛÛ í ï ï ï = ï ï ï ï ï ï + = ï î + Vậy min 4 3 2P = + khi 2 2 x y= = Trần Chí Thanh –2009 Page 6 . 1 27 xyz xyz ³ Þ ³ Trần Chí Thanh –2009 Page 5 + Khi đó 2010P ³ 1 2010 1 3 x y z P x y z x y z ì = = ï ï = = = =ÛÛ í ï + + = ï î + Vậy minP = 2010 khi 1 3 x y z= = = 10. Cho hai số thực dương