Đap AN NG ĐẮC ĐẠT

Bài tập 1: + MXĐ: D = ¡ + Sự biến thiên • Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = +∞ • ( ) 3 2 0 ' 4 4 4 1 ; ' 0 1 x y x x x x y x =  = − = − = ⇔  = ±  • Bảng biến thiên ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1; 1 1; 0 0 CT CT y y y y y y= − = − = = − = = C§ • Đồ thị Ta có 3 '( ) 4 4f x x x= − . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là 3 3 '( ) 4 4 , '( ) 4 4 A B k f a a a k f b b b= = − = = − Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ( ) af' ay f a x a f a f a x f a= − + = + − ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ( ) f' by f b x b f b f b x f b b= − + = + − Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi: ( ) ( ) 3 3 2 2 4a 4a = 4b 4 1 0 (1) A B k k b a b a ab b= ⇔ − − ⇔ − + + − = Vì A và B phân biệt nên a b≠ , do đó (1) tương đương với phương trình: 2 2 1 0 (2)a ab b+ + − = Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 4 2 1 0 1 0 ' ' 3 2 3 2 a ab b a ab b a b f a af a f b bf b a a b b   + + − = + + − =   ⇔ ≠ ⇔   − = − − + = − +     , Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là ( ) 1; 1− − và ( ) 1; 1− . Vy iu kin cn v hai tip tuyn ca (C) ti A v B song song vi nhau l 2 2 1 0 1 a ab b a a b + + = Bi Tp 2: 1. (T gii) 2. Pt : x 3 + mx + 2 = 0 x xm 2 2 = ( x )0 Xột f(x) = 2 2 2 2)(' 2 x xxf x x += = 2 3 22 x x + Ta cú x - 0 1 + f(x) + + 0 - f(x) + -3 - - - th hm s (1) ct trc hũanh ti mt im duy nht 3 > m . Bi Tp 3: a.TXĐ: D = R\{-2} b.Chiều biến thiên +Giới hạn: +==== + + 22 lim;lim;2limlim xx xx yyyy Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y = 2 0,5 + Dx x y > + = 0 )2( 3 ' 2 Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )2;( và );2( + 0,25 +Bảng biến thiên x -2 + y + + + 2 y 2 0,25 c.Đồ thị: Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0; 2 1 ) và cắt trục Ox tại điểm( 2 1 ;0) Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng 0,25 2. (0,75 điểm) Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đờng thẳng d là nghiệm của phơng trình =++ += + + )1(021)4( 2 2 12 2 mxmx x mx x x Do (1) có mmmvam =++>+= 0321)2).(4()2(01 22 nên đờng thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B 0,25 Ta có y A = m x A ; y B = m x B nên AB 2 = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 = 2(m 2 + 12) suy ra AB ngắn nhất AB 2 nhỏ nhất m = 0. Khi đó 24=AB 0,5 Bi Tp 4: 1(1.25 im). Hm s 3 3 2y x x= .Tp xỏc nh: R . Gii hn 3 ( 3 2) lim x x x + = + ; 3 ( 3 2) lim x x x = . S bin thiờn: , 2 , 3 3 0 1; 1y x y x x= = = = . y , >0 1 1 x x < > v y , <0 1 1x < < Hm s ng bin trờn mi khong ( ; 1);(1; ) + , hm s nghch bin trờn khong(-1; 1 ). im cc i (-1; 0 ); im cc tiu ( 1; -4) Bng bin thiờn x -1 1 + y , + 0 - 0 + y 0 + -4 0.5 0.5 0.5 y O 2 -2 x 2.(0.75 điểm) Đường thẳng (d) dạng y = k ( x-2 ) luôn qua điểm M (2; 0) thuộc đồ thị.Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số 3 3 2y x x= − − (C 1 ) Xét (d 1 ) qua M(2;0) và I( 0; -2) phương trình: y = x -2 ( với k = 1) Xét (d 2 ) qua M(2; 0) và tiếp xúc (C 1 ) phương trình: y = (6 93 − )(x-2) với k = 6 93 − Để (d) cắt (C 1 ) tại 4 điểm khi 1< k < 6 93 − 0.25 0.25 0.25 Bài Tập 5: Tập xác định: D=R ( ) ( ) 3 2 3 2 lim 3 2 lim 3 2 x x x x x x →−∞ →+∞ − + = −∞ − + = +∞ y’=3x 2 -6x=0 0 2 x x =  ⇔  =  Bảng biến thiên: x -∞ 0 2 + ∞ y’ + 0 - 0 + 2 + ∞ y -∞ -2 Hàm số đồng biến trên khoảng: (-∞;0) và (2; + ∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) f CĐ =f(0)=2; f CT =f(2)=-2 y’’=6x-6=0<=>x=1 khi x=1=>y=0 x=3=>y=2 x=-1=>y=-2 Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) là tâm đối xứng. 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ Gọi tọa độ điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2) Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0 Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 4 3 2 5 2 2 2 5 x y x y x y  =  = −   ⇔   = − +   =   => 4 2 ; 5 5 M    ÷   Bài Tập 6: 2. Với x ≠ 2 ta có y ’ = 1- 2 ( 2) m x − ; Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình (x – 2) 2 – m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 0m ⇔ > 0.25 Với m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm là: 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x m y m m x m y m m = + ⇒ = + + = − ⇒ = + − 0.25 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 2 ;2 2 )m m m− + − ; B( 2 ;2 2 )m m m+ + + Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình: 2 2m m m m− − = − + 0.25 0 2 m m =  ⇔  =  Đối chiếu điều kiện thì m = 2 thoả mãn bài toán Vậy ycbt ⇔ m = 2. 0.25 Bài Tập 7: I.2 TI 1,00 d có pt : y = m(x – 3) + 4. Hoành độ giao điểm của d và © co pt :    =− = ⇔=−−⇔+−=+− 0mx 3x 0)mx)(3x(4)3x(m4x3x 2 223 0,50 Theo đề bài ta có điều kiện m > 0 vµ 1)m('y).m('y −=− 0,25 9 35318 m01m36m91)m6m3)(m6m3( 2 ± =⇔=+−⇔−=+−⇒ (tháa m·n) 0,25 Bài Tập 8: Ta có: 2x, 2x 3x2 ;xM 0 0 0 0 ≠         − − , ( ) 2 0 0 2x 1 )x('y − − = pttt của C tai M: ( ) 2x 3x2 )xx( 2x 1 y: 0 0 0 2 0 − − +− − − =∆ 0,25 Tọa độ của A, B của ( ) ∆ và 2 tiệm cận là: ( ) 2;2x2B; 2x 2x2 ;2A 0 0 0 −         − − Ta thấy M0 0BA xx 2 2x22 2 xx == −+ = + , M 0 0BA y 2x 3x2 2 yy = − − = + suy ra M là trung điểm cña AB. 0,25 Mặt khác¸ I = (2; 2) vµ tam giác IAB vuông tại I nên duong tron ngoai tiep cua tam giác IAB có S = π≥       − +−π=                 − − − +−π=π 2 )2x( 1 )2x(2 2x 3x2 )2x(IM 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0,25 Dấu “=”xảy ra khi    = = ⇔ − =− 3x 1x )2x( 1 )2x( 0 0 2 0 2 0 ===> M(1; 1) hoặc M(3; 3) 0,25 Bài Tập 9: Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ (C ) vµ ®êng th¼ng d lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh    =−+−+ −≠ ⇔+−= + + )1(021)4( 2 2 12 2 mxmx x mx x x Do (1) cã mmmvam ∀≠−=−+−−+−>+=∆ 0321)2).(4()2(01 22 nªn ®êng th¼ng d lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C ) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B 0,25 Ta cã y A = m – x A ; y B = m – x B nªn AB 2 = (x A – x B ) 2 + (y A – y B ) 2 = 2(m 2 + 12) suy ra AB ng¾n nhÊt  AB 2 nhá nhÊt  m = 0. Khi ®ã 24=AB 0,5 Bài Tập 10: +) Ta có I(- 1; 2). Gọi 0 2 0 0 3 3 ( ) ( ;2 ) 1 ( 1) M I IM M I y y M C M x k x x x x − − ∈ ⇒ − ⇒ = = + − + +) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: ( ) 0 2 0 3 '( ) 1 M k y x x = = + +) . 9 M IM ycbt k k⇔ = − +) Giải được x 0 = 0; x 0 = -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5) 1 điểm Bài Tập 11: 2 ( 4) 2 3 0x m x m + − − − = (*) có hai nghiệm; PT ⇔ 2 28 0m m R + > ⇔ ∈ +) Gọi A(x 1 ; x 1 + m), B(x 2 ; x 2 + m), với x 1 , x 2 là các nghiệm PT (*). +) 2 1 ( ; ). . 28 2 2 OAB m S d O d AB m = = + +) 2 2 3 . 28 2 3 2 OAB m S m = ⇔ + = 208 14m ⇔ = ± − +) ĐK: > > ≠ ≠ 0, 0, 1, 1x y xy y Bài Tập 12: gợi ý +) 3 2 3x x a− = +)đặt y=x 3 -3x 2 và y=a +) Nhận xét x=1 suy ra y=-2 +) từ đó suy ra -4<a<-2 +) KL: Bài tập 13: a)HS tự giải b) YCBT thỏa 3 2 1 2 0 3 3 x mx x m⇔ − − + + = có 3 nghiệm phân biệt thỏa 2 2 2 1 2 3 15x x x+ + > . ( ) ( ) 2 1 (1 3 ) 2 3 0x x m x m⇔ − + − + + = có 3 nghiệm phân biệt thỏa 2 2 2 1 2 3 15x x x+ + > . 1m⇔ > Bài Tập 14: Với x ≠ 2 ta có y ’ = 1- 2 ( 2) m x − ; Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình (x – 2) 2 – m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 0m⇔ > 0.25 Với m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm là: 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x m y m m x m y m m = + ⇒ = + + = − ⇒ = + − 0.25 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 2 ;2 2 )m m m− + − ; B( 2 ;2 2 )m m m+ + + Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình: 2 2m m m m− − = − + 0.25 0 2 m m =  ⇔  =  Đối chiếu điều kiện thì m = 2 thoả mãn bài toán Vậy ycbt ⇔ m = 2. 0.25 Bài tập 15: ) có phương trình y = - x+m . Phương trình hoành độ giao điểm của () và d) là nghệm của phương trình d luôn luôn cắt () tại 2 điểm A B Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của p. trình (*) A(x1, m-x1); B(x2, m-x2) AB ngắn nhất khi AB2 ngắn nhất AB2 = 2m2 + 8 8; Dấu bằng xảy ra khi m = 0 AB= 2 . và cực tiểu nằm về hai phía của đư ng th ng y=3x-2, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B th ng h ng Phư ng trình đư ng th ng AB: y=-2x+2 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 0,25 đ 0,25 đ 0,25. được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này tư ng ng với c ng một cặp điểm trên đồ thị là ( ) 1; 1− − và ( ) 1; 1− . Vy iu kin cn v hai tip tuyn ca (C) ti A v B song. cận đ ng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y = 2 0,5 + Dx x y > + = 0 )2( 3 ' 2 Suy ra hàm số đ ng biến trên mỗi kho ng )2;( và );2( + 0,25 +B ng biến thiên x -2 + y + + +