THI TH I HC, CAO NG NM 2010 Mụn thi : TON Thi gian lm bi : 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu I. (2,0 im)Cho hàm số 1x 2x y + = (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). 2. Cho điểm A(0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tơng ứng nằm về hai phía trục ox. Cõu II. (2,0im) 1. Giải hệ phơng trình : =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx . 2. Gii PT : ( ) 2 2 2 1 cos cos sin +1 3 3 2 x x x + + + = ữ ữ Cõu III. (1,0im) Tớnh tớch phõn I= 6 6 4 4 sin cos 6 1 x x x dx + + Cõu IV. (2,0 im)Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO (ABCD). Gọi M, N lần lợt là trung điểm của SA và BC. Tính góc giữa đờng thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) và thể tích khối chóp M.ABCD, biết rằng . 2 10a MN = Câu V (1 điểm) Cho ba số a, b, c sao cho = > 1 0,, abc cba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA = ( ) + + cba 3 1 ( ) + + cab 3 1 ( ) abc + 3 1 Phần Riêng: (3 điểm) Thí sinh chỉ đ ợc chọn làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chơng trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1)Cho ABC có PT hai cạnh là: 0.21-7y4x =+=+ ,0625 yx Trực tâm của tam giác trùng với gốc toạ độ O, lập phơng trình cạnh còn lại. 2.Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2 ; 1 ; 0) v ng thng d với d : x 1 y 1 z 2 1 1 + = = .Vit phng trỡnh chớnh tc ca ng thng i qua im M, ct v vuụng gúc vi ng thng d và tìm toạ độ của điểm M đối xứng với M qua d Câu VII.a (1 điểm) Một lớp học có 40 học sinh, cần cử ra một ban cán sự gồm một lớp trởng, một lớp phó và 3 ủy viên (Biết rằng không phân biệt các chức danh là ủy viên). Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một ban cán sự. B. Theo chơng trình nâng cao. Câu VI.b (2 điểm) 1)Trong mt phng vi h trc ta Oxy cho A(4;3), ng thng (d) : x y 2 = 0 v (d): x + y 4 = 0 ct nhau ti M. Tỡm ( ) ( ')B d v C d sao cho A l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc MBC. 2) Trong kg Oxyz cho ng thng ( ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 v mp(P):2x y -2z - 2=0 Vit PT mt cu(S) cú tõm I v khong cỏch t I n mp(P) l 2 v mt cu(S) ct mp(P ) theo giao tuyn ng trũn (C)cú bỏn kớnh r=3 Câu VII.b (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để đờng thẳng mxy += 2 cắt đồ thị hàm số x xx y 1 2 + = tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. _________________Hết_________________ HNG DN GII I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu I. 1/*-Tập xác định:D=R\{1}. *-Sự biến thiên. a-Chiều biến thiên. 0 )1x( 3 'y 2 < = Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ( ;1) và (1; ) + b-Cực trị:hàm số không có cực trị c-giới hạn: = + ) 1x 2x (lim )1(x ; += + + ) 1x 2x (lim )1(x hàm số có tiệm cận đứng x=1 = 1) 1x 2x (lim x hàm số có tiệm cận ngang 1y = d-Bảng biến thiên: x - 1 + y - - y 1 + - 1 1 *-Đồ thị: Đồ thị nhận I(1; 1 ) làm tâm đối xứng Giao với trục toạ độ:Ox (- 0;2 ) Oy (0; 2 ) 2/(1,0 im) Phơng trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1) Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A: = = + )3(k )1x( 3 )2(akx 1x 2x 2 có nghiệm 1x Thay (3) vào (2) và rút gọn ta đợc: )4(02ax)2a(2x)1a( 2 =+++ Để (4) có 2 nghiệm 1x là: > >+= = 2a 1a 06a3' 03)1(f 1a Hoành độ tiếp điểm 21 x;x là nghiệm của (4) Tung độ tiếp điểm là 1x 2x y 1 1 1 + = , 1x 2x y 2 2 2 + = Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là: 0 )2x)(1x( )2x)(2x( 0y.y 21 21 21 < ++ < 3 2 a0 3 6a9 0 1)xx(xx 4)xx(2xx 2121 2121 >< + < ++ +++ Vậy 1a 3 2 < thoả mãn đkiện bài toán. 2 -2 5 y x o -2 1 1 Cõu II. (2,5 im) 1) Gii PT : ( ) 2 2 2 1 cos cos sin +1 3 3 2 x x x + + + = ữ ữ (1) Bg: (1) 2 2 4 1 2cos(2 ) 1 cos(2 ) 1 sin 2cos(2 ).cos sin 1 3 3 3 5 1 cos 2 sin 0 2sin sin 0 2 ; 2 ; 6 6 x x x x x x x x x x k x k hayx k + + + + + = + + = = = = + = + = 2. (1,0 im)Giải hệ phơng trình: =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx * Hệ phơng trình tơng đơng với =++ =+ 022)2( 4)3()2( 22 222 xyx yx 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3) 4 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0 x y x y x + = + + + = Dat 2 2 3 x u y v = = * Thay vào hệ phơng trình ta có: 2 2 4 . 4( ) 8 u v u v u v + = + + = 2 0 u v = = hoặc 0 2 u v = = thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là : 2 3 x y = = ; 2 3 x y = = ; 2 5 x y = = ; 2 5 x y = = ; : Cõu III. (1,0im) Tớnh tớch phõn I= 6 6 4 4 sin cos 6 1 x x x dx + + * t t = -x => dt = -dx * i cn: ;; 4 4 4 4 x t x t = = = = I = 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 4 4 sin cos sin cos 6 ; 2 (6 1) (sin cos ) 6 1 6 1 t t t t t t t t dt I dt t tdt + + => = + = + + + 2I = 4 2 4 4 4 4 4 3 5 3 5 3 1 5 1 sin cos 4 sin 4 4 8 8 8 8 4 16 t dt t dt t t = + = + = ữ ữ ữ =>I = 5 32 Cõu IV. (2,0 im)Trong kg Oxyz cho ng thng ( ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 v mp(P):2x y -2z - 2=0 Vit PT mt cu(S) cú tõm I v khong cỏch tI n mp(P) l 2 v mt cu(S) ct mp(P )theo giao tuyn ng trũn (C)cú bỏn kớnh r=3 Bg:m cu(S) cú tõm I g sI(a;b;c ) =>(a;b;c) tho mn PT ca (1) * ( ) ( ) ; 2d I P = (2) T (1) v(2) ta cú h PT: 2 2 2 6 11 14 1 1 1 7 ; ; ; ; ; 2 1 6 3 6 3 3 3 2 a b c a t heconghiem va b t c t = = ữ ữ = = + Do 2 4 3 13r R R= = = Vy cú 2 mt cu theo ycbt : ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 11 14 1 ( ): 13 6 3 6 1 1 7 : 13 3 3 3 S x y z S x y z + + + = ữ ữ ữ + + + + = ữ ữ ữ V (1 điểm) Đặt x = c z b y a 1 , 1 , 1 == . Khi đó: = + + + + + = xy z zx y zy x A 111111 333 2 3 333 + + + + + yx xyz xz xzy zy yzx (*) Do 11 == xyzabc nên ta có yx z xz y zy x A + + + + + = 222 (1) Ta chứng minh bất đẳng thức 2 cba ++ . 222 ab c ac b cb a + + + + + Thật vậy. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dơng ta có: a cb cb a + + + 4 2 , b ac ac b + + + 4 2 , c ba ba c + + + 4 2 . Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có : 2 cba ++ . 222 ab c ac b cb a + + + + + Bạn đọc tự đánh giá dấu = xảy ra khi a = b = c. Vậy A= 2 3 2 3 2 3 222 = ++ + + + + + xyz zyx yx z xz y zy x Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy minA = 2 3 khi a = b = c = 1 . 0,25 0.5 0,25 VI.a (2 điểm) 1. (1,0 điểm) Ta giả sử tam giác ABC có cạnh AB : 0625 =+ yx AC: 021-7y4x =+ , suy ra tọa độ của A là nghiệm của hệ phơng trình: =+ = 2174 625 yx yx , giải hệ suy ra A(0; 3) Nhận thấy A thuộc Oy, OA là đờng cao của tam giác, OxBCBCOA // suy ra phơng trình của BC có dạng y = y 0 . Đờng cao BB đi qua trực tâm O và vuông góc với AC suy ra BB có phơng trình là: 7(x 0) - 4(y 0) = 0 hay BB: 7x 4y = 0. Điểm B = ACBB' tọa độ của B là nghiệm của hệ phơng trình: = = = = 7 4 625 047 y x yx yx Đờng thẳng đi qua B(- 4; - 7) và song song với Ox chính là đờng thẳng BC suy ra ph- ơng trình cạnh BC: y = - 7. Vậy phơng trình cạnh còn lại của tam giác ABC là y = -7. 0,25 0,25 0,25 0,25 2. (1,0 điểm) Đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) lần lợt có véctơ chỉ phơng là: = 1 u 10 01 ; 08 10 ; 81 00 = (0; -8; 1), = 2 u (-1; 1; 2). Do mp(P) chứa đờng thẳng (d 1 ) và song song với đờng thẳng (d 2 ) nên (P) có cặp véctơ chỉ phơng là 1 u và 2 u . Vậy mp(P) có véctơ pháp tuyến là: [ ] = == 11 80 ; 12 01 ; 21 18 , 21 uun (-17; -1; -8). mp(P) còn đi qua điểm A(1; -1; 0) )( 1 d . Phơng trình của mặt phẳng (P) là: 0)0(8)1.(1)1(17 =+ zyx 016817:)( =++ zyxP (*) 0,25 0,25 0,25 A B C O(0; 0) A B A (d 1 ) (d 2 ) P M C A S B D O N H M a 2 10a Vib2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. d có phương trình tham số là: x 1 2t y 1 t z t = + = − + = − Vì H ∈ d nên tọa độ H (1 + 2t ; − 1 + t ; − t).Suy ra : MH uuuur = (2t − 1 ; − 2 + t ; − t) Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là u r = (2 ; 1 ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = 2 3 . Vì thế, MH uuuur = 1 4 2 ; ; 3 3 3 − − ÷ 3 (1; 4; 2) MH u MH= = − − uuuur uuuur Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: x 2 y 1 z 1 4 2 − − = = − − Theo trªn cã 7 1 2 ( ; ; ) 3 3 3 H − − mµ H lµ trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é M’ 8 5 4 ( ; ; ) 3 3 3 − − _____________HÕt_____________ D A C H B . THI TH I HC, CAO NG NM 2010 Mụn thi : TON Thi gian lm bi : 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu. thẳng AB thu c trục tung. _________________Hết_________________ HNG DN GII I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu I. 1/*-Tập xác định:D=R{1}. *-Sự biến thi n. a-Chiều biến thi n. 0 )1x( 3 'y 2 < = Hàm. CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu I. (2,0 im)Cho hàm số 1x 2x y + = (C) 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (C). 2. Cho điểm A(0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới