TRƯỜNG THPT LẤP VÒ 1 ĐỀ 6 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN – Khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y = -x 3 +3x 2 +1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 2. Tìm m để phương trình x 3 -3x 2 = m 3 -3m 2 có ba nghiệm phân biệt. Câu II (2,0 điểm ). 1. Giải bất phương trình: 2 4 4 16 6 2 x x x x + + − ≤ + − − 2.Giải phương trình: 2 1 3 sin sin 2 tan 2 x x x+ = Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân: ln3 2 ln2 1 2 x x x e dx I e e = − + − ∫ Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= 2a . Đáy là tam giác ABC cân · 0 120BAC = , cạnh BC=2a Tính thể tích của khối chóp S.ABC.Gọi M là trung điểm của SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC). Câu V (1,0 điểm). Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh: ( ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 b c c a a b a b c a b c a b c + + + + + + + ≥ + + ÷ ÷ II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B). A. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a(2,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) : 2 2 4 2 1 0x y x y+ − − + = và điểm A(4;5). Chứng minh A nằm ngoài đường tròn (C) . Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) tại T 1 , T 2 , viết phương trình đường thẳng T 1 T 2 . 2. Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 2 3 0x y z x y z+ + − + + − = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P). Câu VII.a(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện: 2 3z i z i− = − − . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất. B. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b(2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16, A,B thuộc đường thẳng d: 2 2 2 2 0x y− − = và B, C thuộc trục Ox . Xác định toạ độ trọng tâm của tam giác ABC. 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2). Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC. Câu VII.b(1,0 điểm). Cho hàm số (C m ): 2 1 x x m y x − + = − (m là tham số). Tìm m để (C m ) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C m ) tại A, B vuông góc. ……………………….Hết………………………… 1 SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG 1 KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN Câu Nội Dung Điểm I.1 (1 điểm) * TXĐ: R Sự biến thiên: y' = -3x 2 + 6x = -3x(x - 2) y' = 0 ⇔ 0 2 x x = = * Hàm số nghịch biến trên (-∞;0) và (2;+∞) Hàm số đồng biến trên (0;2) Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y CĐ = 5 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT = 1 * lim x→−∞ y = + ∞, lim x→+∞ y = - ∞ Bảng biến thiên: x -∞ 0 2 +∞ y' - 0 + 0 - + ∞ 5 y 1 -∞ *Đồ thị: y'' = -6x + 6 y'' = 0 ⇔ x = 1 ⇒ điểm uốn I(1;3) là tâm đối xứng của đồ thị 0,25 0,25 0,25 0,25 I.2 (1 điểm) * PT đã cho ⇔ -x 3 + 3x 2 + 1 = -m 3 + 3m 2 + 1. Đặt k = -m 3 + 3m 2 + 1 * Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đt y = k. * Từ đồ thị (C ) ta có: PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 1 < k < 5 * ⇔ m ∈ (-1;3)\ { } 0;2 . 0,25 0,25 0,25 0,25 II.1 (1 điểm) * Đk: 4 0 4 0 x x + ≥ − ≥ ⇔ x ≥ 4. Đặt t = 4 4x x+ + − (t > 0) BPT trở thành: t 2 - t - 6 ≥ 0 ⇔ 2( ) 3 t L t ≤ − ≥ 0,25 2 * Với t ≥ 3 ⇔ 2 2 16x − ≥ 9 - 2x 2 2 ( ) 0 ( ) 4( 16) (9 2 ) a b x x ≥ ≤ ≥ > − ≥ − x 4 9 - 2x 0 x 4 9 - 2x * (a) ⇔ x ≥ 9 2 . * (b) ⇔ 145 9 36 2 ≤ x < . *Tập nghệm của BPT là: T= 145 ; 36 +∞ ÷ 0,25 0,25 0,25 II.2 (1 điểm) * Đk: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 k π π + . PT đã cho ⇔ 3 sin 2 x + sinxcosx - sinx cos x = 0 * ⇔ sinx( 3 sinx + cosx - 1 cos x ) = 0 ⇔ sinx 0 1 3sinx cos 0 osx x c = + − = * Sinx = 0 ⇔ x = k π . * 3 sinx + cosx - 1 cos x = 0 ⇔ 3 tanx + 1 - 2 1 cos x = 0 ⇔ tan 2 x - 3 tanx = 0 ⇔ t anx 0 t anx 3 = = ⇔ x x 3 k k π π π = = + Vậy PT có các họ nghiệm: x = k π , x = 3 k π π + 0,25 0,25 0,25 0,25 III. (1 điểm) * Đặt t = 2 x e − , Khi x = ln2 ⇒ t = 0 x = ln3 ⇒ t = 1 e x = t 2 + 2 ⇒ e 2x dx = 2tdt * I = 2 1 2 2 0 ( 2) 1 t tdt t t + + + ∫ = 2 1 2 0 2 1 ( 1 ) 1 t t dt t t + − + + + ∫ * = 2 1 0 ( 1)t dt− ∫ + 2 1 2 2 0 ( 1) 1 d t t t t + + + + ∫ * = 2 1 ( 2 ) 0 t t− + 2ln(t 2 + t + 1) 1 0 = 2ln3 - 1 0,25 0,25 0,25 0,25 3 IV. (1 điểm) * Áp dụng định lí cosin trong ∆ ABC có AB = AC = 2 3 a ⇒ S ABC∆ = 1 2 AB.AC.sin120 0 = 2 3 3 a . Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. * Theo định lí sin trong ∆ ABC ta có: sin BC A = 2R ⇒ R = 2 3 a = HA ∆ SHA vuông tại H ⇒ SH = 2 2 SA HA− = 6 3 a ⇒ .S ABC V = 1 3 S ABC∆ .SH = 2 2 9 a * Gọi h A , h M lần lượt là khoảng cách từ A, M tới mp(SBC) ⇒ 1 2 M A h SM h SA = = ⇒ h M = 1 2 h A . ∆ SBC vuông tại S ⇒ S SBC∆ = a 2 * Lại có: .S ABC V = 1 3 S SBC∆ .h A ⇒ h A = . 3 S ABC SBC V V ∆ = 2 3 a Vậy h M = d(M;(SBC)) = 2 6 a 0,25 0,25 0,25 0,25 V (1 điểm) * Ta cm với a, b > 0 có a 3 + b 3 ≥ a 2 b + ab 2 (*) Thật vậy: (*) ⇔ (a + b)(a 2 -ab + b 2 ) - ab(a + b) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a - b) 2 ≥ 0 đúng Đẳng thức xẩy ra khi a = b. * Từ (*) ⇒ a 3 + b 3 ≥ ab(a + b) b 3 + c 3 ≥ bc(b + c) c 3 + a 3 ≥ ca(c + a) ⇒ 2(a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1) * Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có: 3 1 a + 3 1 a + 3 1 a ≥ 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c = 3 abc (2) * Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c. 0,25 0,25 0,25 0,25 VI.a.1 (1 điểm) * Đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = 2. Ta có IA = 2 5 > R ⇒ A nằm ngoài đường tròn (C) * Xét đường thẳng 1 ∆ : x = 4 đi qua A có d(I; 1 ∆ ) = 2 ⇒ 1 ∆ là 1 tiếp tuyến của (C) * 1 ∆ tiếp xúc với (C ) tại T 1 (4;1) 0,25 0,25 0,25 4 * T 1 T 2 ⊥ IA ⇒ đường thẳng T 1 T 2 có vtpt n r = 1 2 IA uur =(1;2) phương trình đường thẳng T 1 T 2 : 1(x - 4) + 2(y - 1) ⇔ x + 2y - 6 = 0 0,25 VI.a.2 (1 điểm) * Mp(P) có vtpt P n ur = (1;1;-2). (S) có tâm I(1;-2;-1) * IA uur = (2;1;2). Gọi vtcp của đường thẳng ∆ là u ∆ ur ∆ tiếp xúc với (S) tại A ⇒ u ∆ ur ⊥ IA uur Vì ∆ // (P) ⇒ u ∆ ur ⊥ P n ur * Chọn 0 u ur = [ IA uur , P n ur ] = (-4;6;1) * Phương trình tham số của đường thẳng ∆ : 3 4 1 6 1 x t y t z t = − = − + = + 0,25 0,25 0,25 0,25 VII.a (1 điểm) * Đặt z = x + yi (x; y ∈ R) |z - i| = | Z - 2 - 3i| ⇔ |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i| * ⇔ x - 2y - 3 = 0 ⇔ Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường thẳng x - 2y - 3 = 0 * |z| nhỏ nhất ⇔ | OM uuuur | nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của O trên ∆ * ⇔ M( 3 5 ;- 6 5 ) ⇒ z = 3 5 - 6 5 i Chú ý: HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M 0,25 0,25 0,25 0,25 VI.b.1 (1 điểm) * B = d ∩ Ox = (1;0) Gọi A = (t;2 2 t - 2 2 ) ∈ d H là hình chiếu của A trên Ox ⇒ H(t;0) H là trung điểm của BC. * Ta có: BH = |t - 1|; AB = 2 2 ( 1) (2 2 2 2)t t− + − = 3|t - 1| ∆ ABC cân tại A ⇒ chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1| * ⇒ 16 = 8|t - 1| ⇔ t 3 t 1 = = − * Với t = 3 ⇔ A(3;4 2 ), B(1;0), C(5;0) ⇒ G( 3 ; 4 2 3 ) Với t = -1 ⇔ A(-1;-4 2 ), B(1;0), C(-3;0) ⇒ G( 1− ; 4 2 3 − ) 0,25 0,25 0,25 0,25 5 VI.b.2 (1 điểm) * Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của ∆ ABC ⇒ d là giao tuyến của (ABC) với ( α ) qua A và vuông góc với BC. * Ta có: AB uuur = (1;3;-3), AC uuur = (-1;1;-5) , BC uuur = (-2;-2;-2) [ AB uuur , AC uuur ] = (18;8;2) mp(ABC) có vtpt n ur = 1 4 [ AB uuur , AC uuur ] = (-3;2;1). mp( α ) có vtpt n ur ' = - 1 2 BC uuur = (1;1;1) * Đường thẳng d có vtcp u ur =[ n ur , n ur ' ] = (1;4;-5). * Phương trình đường thẳng d: 1 2 4 3 5 x t y t z t = + = − + = − 0,25 0,25 0,25 0,25 VII.b (1 điểm) * Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) với Ox: 2 1 x m x − + − x = 0 ⇔ 2 0x m − + = ≠ x x 1 (C m ) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ pt f(x) = x 2 - x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ 0 (1) 0f ∆ > ≠ ⇔ 1 4 0 m m < ≠ (*) * Khi đó gọi x 1 , x 2 là nghiệm của f(x) = 0 ⇒ 1 2 1 2 1 m + = = x x x x . Ta có: y' = 2 '( )( 1) ( 1)'. ( ) ( 1) f x x x f x x − − − − ⇒ Hệ số góc tiếp tuyến của (C m ) tại A và B lần lượt là: k 1 = y'(x 1 ) = 1 1 1 2 1 '( )( 1) ( ) ( 1) f x x f x x − − − = 1 1 '( ) ( 1) f x x − = 1 1 2 1 x x − * Tương tự: k 1 = y'(x 2 ) = 2 2 2 1 x x − ( do f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0) Theo gt: k 1 k 2 = -1 ⇔ 1 1 2 1 x x − . 2 2 2 1 x x − = -1 * ⇔ m = 1 5 ( thoả mãn (*)) 0,25 0,25 0,25 0,25 GV: Nguyễn Thanh Phúc - ĐT: 038.8512668 6 . TRƯỜNG THPT LẤP VÒ 1 ĐỀ 6 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN – Khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I z+ + − + + − = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P). Câu VII.a(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn. mặt phẳng toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16, A,B thu c đường thẳng d: 2 2 2 2 0x y− − = và B, C thu c trục Ox . Xác định toạ độ trọng tâm của tam giác ABC. 2. Trong không