MỘT SỐ NỘI DUNG CƠ BẢN ÔN TẬP MÔN TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: ND1:Căn thức bậc hai 1. A xác định ⇔ ≥A 0 ; Với ≥A 0 tồn tại A có : A 0 ≥ và ( A ) 2 = A 2 A 0 ≥ , B 0 ≥ ⇒ .A B = A . B ; Đặc biệt: ( A ) 2 = 2 A =A (A 0 ≥ ) 3.Với A 0 ≥ ; B>0 ta có: A B = A B . 4.Hằng đẳng thức 2 A = A ; A = A nếu A 0 ≥ , A = - A nếu A < 0 5.Các phép tính: a A + b A = (a +b) A ; a A - b A = (a - b) A ; A . B = .A B ; A B = A B ( Trong trường hợp các căn thức trên xác định) 6.Các phép biến đổi đơn giản Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với biểu thức B ≥ 0 ta có 2 A B A B= Đưa thừa số vào trong dấu căn: Với A ≥ 0; B ≥ 0, ta có: A B = 2 A B Với A<0 , B ≥ 0, ta có A B = - 2 A B Khử mẫu biểu thức láy căn: A AB B B = ( B > 0 ) Trục căn thức ở mẫu: A A B B B = ( B > 0 ); C A B A B A B = − ± m A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ND2:Hàm số 1.Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x. y gọi là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x tương ứng chỉ một giá trị của y. 2.Hàm số đồng biến, nghịch biến:Với x 1 ,x 2 ∈ R Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) < f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) > f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R 3.Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trước và a ≠ 0 4.Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x thuộc R; đồng biến trên R khi a>0, nghịch biến trên R khi a<0 5.Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax +b: Cách 1:Cho hai điểm thuộc đồ thị , vẽ đường thẳng qua hai điểm đó Cách 2: Vẽ đường thẳng qua hai điểm ( ) 0;b và ;0 b a − ÷ 6.Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’* a ≠ a’ ⇔ (d) và (d’) cắt nhau; * a = a’; b ≠ b’ ⇔ (d) và (d’) song song với nhau; * a = a’; b = b’ ⇔ (d) và (d’) trùng nhau. 7. Hàm số bậc nhất y = ax 2 xác định với mọi x thuộc R Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. 8. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 Lập bảng các cặp số ( x; y ) Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ Nối các điểm, Kết luận đồ thị Ví dụ : Vẽ đồ thị của hàm số y = -0,5x 2 x -2 -1 0 1 2 y -2 -1 0 -1 -2 Kết luận ND3: Phương trình bậc nhất hai ẩn- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1.Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: ax + by = c ( a, b, c là các số đã biết, a,b không đồng thời bằng 0 ) Phương trình bậc nhất có vô số nghiệm 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: ax ' ' ' by c a x b y c + = + = 3.Cách giải hệ phương trình bằng a) Phương pháp cộng: Ví dụ: xét hpt 2 1 2 x y x y − = + = ⇔ 2 1 3 3 x y x − = = ⇔ 1 2 1 x x y = − = ⇔ 1 2.1 1 x y = − = ⇔ 1 1 x y = = 2 -2 -4 -5 5 O 1 -1 2 -2 -0,5 b)Phương pháp thế: Ví dụ: xét hpt ⇔ 2 1 2 x y y x − = = − ⇔ 2 (2 ) 1 2 2 1 3 3 2 2 2 x x x x x y x y x y x − − = − + = = ⇔ ⇔ = − = − = − ⇔ 1 2 1 x y = ⇔ = − 1 1 x y = = ND4: Phương trình bậc hai một ẩn số: Dạng tổng quát: ax 2 + bx + c = 0 1.Công thức nghiệm: Lập ∆ = b 2 – 4ac *Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; 2 2 b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = *Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép: 1 2 2 b x x a − = = *Nếu ∆ < 0 phương trình vô nghiệm Ví dụ giải phương trình 5x 2 + 2 10 x + 2 = 0 2 b 4ac∆ = − = ( ) 2 2 10 - 4.5.2 = 0 .Phương trình có nghiệm kép 1 2 10 5 x x − = = + Công thức nghiệm thu gọn : Lập acb −=∆ 2 '' ∆ ’>0 phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ' ' ' ' ; b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = ∆ ’=0 phương trình có nghiệm kép: 1 2 'b x x a − = = ∆ ’<0 phương trình vô nghiệm 2.Hệ thức Vi-et: Nếu x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình :ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ≠ ) thì: S = x 1 + x 2 = b a − ; P = x 1 . x 2 = c a Áp dụng Hệ thức Vi-et: +Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ≠ ) có a + b + c = 0 thì pt có nghiệm là x 1 =1 nghiệm còn lại x 2 = c a +Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ≠ ) có a - b + c = 0 thì pt nghiệm là x 1 =-1 nghiệm còn lại x 2 = - c a + Nếu có hai số u và v mà u + v = S. uv = P thì u và v là nghiệm của phương trình x 2 – Sx + P = 0 (S 2 ≥ P) Ví dụ: Tìm hai số u, v biết: u + v = -7; uv = - 30 Giải: u và v là nghiệm của phương trình x 2 + 7x - 30 = 0 x 1 = 3, x 2 = -10 Vậy u = 3; v = -10 hoặc u = -10; v = 3. +Phân tích đa thức thành nhân tử: Nếu đa thức ax 2 + bx + c có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì ax 2 +bx +c = a (x–x 1 )( x– x 2 ).Ví dụ đa thức x 2 + 7x - 30 có hai nghiệm x 1 = 3, x 2 = -10, ta được x 2 + 7x - 30 = ( x- 3 ) ( x + 10 ) 3.Phương trình qui về phương trình bậc hai: Phương trình trùng phương, phương trình bậc cao (đưa về phương trình tích ), phương trình chứa ẩn ở mẫu Ví dụ: 1) x 4 - 5x 2 + 4 = 0 .Đặt t = x 2 (đk: t ≥ 0) Ta có pt ẩn t: t 2 – 5t + 4 = 0 pt có dạng a + b + c = 0 => t 1 = 1 (thoả đk).; t 2 = 4 (thoả đk). . t 1 = 1 => x 2 =1 => x = ± 1;t 2 = 4 => x 2 =4 => x = ± 2.Vậy pt đã cho có 4 nghiệm x 1 =-1; x 2 =1; x 3 =-2; x 4 =2 2) 2x 3 – 5x = 0 ⇔ x ( 2x 2 – 5 ) = 0 ⇔ x=0 hoặc 2x 2 – 5 = 0 => x 2 = 5 2 => 5 2 x =± 3) x x − −= − 3 1 1 9 14 2 ĐKXĐ: x ±≠ 3 *QĐ khử mẫu ta được pt: 14 = x 2 - 9 + x + 3 x 2 + x –20 = 0 x 1 = 4 (thoả đk); x 2 = - 5 (thoả đk).Nghiệm của pt là x 1 = 4; x 2 = - 5 PHẦN HÌNH HỌC: ND1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông 1.Hệ thức về cạnh và đ/cao : ∆ ABC vuông tại A => AC 2 =BC.CH hay b 2 = a . b / có AH ⊥ BC AH 2 = HB.HC hay h 2 = b / . c / AB = c; AC = b BC.AH = AC.AB hay a . h = b . c BC = a 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + hay 2 2 2 1 1 1 h b c = + BC 2 = AB 2 + AC 2 hay a 2 = b 2 + c 2 A B C H 2.Tỉ số lượng giác của góc nhọn: ∆ ABC vuông tại A: sin ; os ; ; AB AC AB AC C c C tg C cotg C BC BC AC AB = = = = AB = BC.sinC = BC.cosB AB = AC.tgC = AC.cotgB Tính chất: Với góc nhọn α : sin α < 1; cos α < 1; 1 cot g tg α α = ; sin os tg c α α α = ; sin 2 α + cos 2 α = 1; sin α = cos(90 0 - α ); tg α = cotg(90 0 - α ) Với góc nhọn α ; β ; α < β thì: sin α < sin β ; tg α < tg β ; cos α > cos β ; cotg α > cotg β . ND2: Đường tròn 1. Vị trí: a) Điểm và đường tròn - Điểm N nằm ngoài (O; R) Û OM > R - Điểm M nằm trên (O; R) Û OM = R - Điểm P nằm trong (O; R) Û OM< R b) Đường thẳng a và đường tròn (O;R) 1. a và (O;R) không giao nhau Û OI > R 2. a và (O;R) tiếp xúc nhau Û OI = R ( a là tiếp tuyến của (O,R) 3. a và (O;R) cắt nhau Û OI < R c) Đường tròn ( O; R ) và (O; r ) 1. ( O; R ) và (O; r ) cắt nhau Û R- r < OO’ < R + r 2. ( O; R ) và (O; r ) tiếp xúc nhau Tiếp xúc ngoài Û OO’ = R + r Tiếp xúc trong Û OO’ = R – r 3. ( O; R ) và (O; r ) không giao nhau Ngoài nhau Û OO’> R + r Đựng nhau Û OO’< R – r Đồng tâm Û OO’ = 0 2.Tính chất tiếp tuyến a là tiếp tuyến của (O;R) ; tiếp điểm là I SA, SB là các tiếp tuyến của (O;R) => a ⊥ OI tại A =>SA=SB; ˆ ˆ ˆ ˆ AS ;O BSO AOS BOS= = 3. Chứng minh a là tiếp tuyến của (O;R) Cách 1: a và (O;R) chỉ có một điểm chung => a là tiếp tuyến của (O;R) Cách 2: a ⊥ OI; I ∈ (O;R) => a là tiếp tuyến của (O;R) 4.Tính chất đối xứng: OI ⊥ AB => IA =IB AB = CD Û OH =OK IA =IB => OI ⊥ AB AB > CD Û OH <OK ND3: Góc và đường tròn: 1.Liên hệ giữa cung và dây: AB = CD Û AB = CD AB >CD Û AB > CD 2.Góc và đường tròn: Góc ở tâm: ˆ DOC = sđDC; Góc nội tiếp 1 ˆ 2 BDC = sđ DC; Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: ˆ GCx = 1 2 sđDC Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: 1 ˆ 2 BEC = (sđ BC + sđAD) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: 1 ˆ 2 BGC = ( sđBC – sđ AD ) 3.Tính chất hai dây song song: AB // CD => AC = BD A B C P O N M a a a O O 0 I I I r r R r R R O' O' O' O O O r R O' O r R O' O O' O a O I a O I j O S A B O A B I O A B C D H K O B A D C E C O G B D A O A B C D 4 Tính chất đường kính và cung: OC ⊥ AB => IA = IB => IA = IB 5.Cung chứa góc: Cho trước hai điểm A và B, điểm M bất kì sao cho ˆ AMB α = . Quĩ tích các điểm M là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB. Đặc biệt khi α =90 0 thì quỹ tích M là đường tròn đường kính AB 6.Tứ giác nội tiếp A,B,C,D ∈ ( O;R ) => Tứ giác ABCD nội tiếp Đặc biệt: 0 ˆ ˆ 180A C+ = => Tứ giác ABCD nội tiếp 7.Độ dài đường tròn.Diện tích hình tròn: Độ dài đường tròn bán kính R: C = 2 π R; Độ dài l của cung tròn bán kính R ứng với cung n 0 : 180 Rn l π = Diện tích hình tròn bán kính R: S = π R 2 ; Diện tích hình quạt tròn bán kính R ứng với cung n 0 : S q = 2 360 R n π ND4: Hình trụ, hình nón, hình cầu: 1.Hình trụ: 2.Hình nón: Sxq = π rl Hình nón cụt: Sxq = 2 π rh Stp = π rl + π r 2 Sxq = 1 2 ( )r r l π + Stp = 2 π rh + 2 π r 2 V = 2 1 3 r h π 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 3 V h r r r r π = + + V = π r 2 h 3.Hình cầu:Diện tích mặt cầu bán kính R: S = 4 π R 2 ; Thể tích hình cầu bán kính R: 3 4 3 V R π = PHẦN ÔN KIẾN THỨC BỔ SUNG: 1.Diện tích: Diện tích hình chữ nhật: S ABCD = AB.BC= ab S = ab 2 1 Diện tích hình vuông cạnh a : S = a 2 Diện tích tam giác Diện tích tam giác ABC b S ABC = 2 1 AH.BC Diện tích hình thang S ABCD = 2 1 (AB+CD).AH S ABCD = AH.CD = AK.BC Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc S ABCD = 2 1 AC.BD S ABCD =AH.BC; S ABCD = 2 1 AC.BD 2.Định lí Ta-let: DE//BC => AD AE AB AC = ; AD AE DB EC = ; DB EC AB AC = ( Định lí Ta-let ) ( hình 1 ) AD AE AB AC = => DE//BC; AD AE DB EC = => DE//BC; DB EC AB AC = => DE//BC hình 1 hình 2 (Định lí Ta-let đảo ) ( hình 1 ) DE//BC => AD AE DE AB AC BC = = (Hệ quả định lí Ta-let ) ( hình 1 và hình 2 ) 3.Tam giác đồng dạng: DE//BC => ∆ ADE ∆ ABC ( Định lí hai tam giác đồng dạng ) ( h.1 và h.2 ) I O A B C O D A B C O O D A B C D C A B R 0 r h l r h h l r 2 r 1 A B C D a b H A B C A B C B C A H H b a h A B D C H a b A B D C H K D B A C D B A C H a b D E D A B C A B C E S Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: ' ' ' ' ' 'A B A C B C AB AC BC = = => ∆ A’B’C’ ∆ ABC Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: ' ' ' ' ˆ ˆ ; ' A B A C A A AB AC = = => ∆ A’B’C’ ∆ ABC Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: ˆ ˆ ˆ ˆ ' ; 'A A B B= = => ∆ A’B’C’ ∆ ABC Với hai tam giác vuông: Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: ' ' ' ' ˆ ˆ ; ' A B A C A A AB AC = = = 90 0 => ∆ A’B’C’ ∆ ABC Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ' 90 ; 'A A B B= = = => ∆ A’B’C’ ∆ ABC Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: ' ' ' ' ˆ ˆ ; ' A B B C A A AB BC = = = 90 0 => ∆ A’B’C’ ∆ ABC Ghi nhớ: Khi có ∆ A’B’C’ ∆ ABC ta có tỉ số đồng dạng là : ' ' ' ' ' 'A B B C C A k AB BC CA = = = và có: - Tỉ số hai đường cao, tỉ số hai đường phân giác, tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng - Tỉ số hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng. Tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng 4.Tính chất đường phân giác:AD,AE lần lượt là phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC ta có: DB EB AB DC EC AC = = 5.Tính chất ba đường của tam giác: a. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác: Ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua một điểm ( điểm G), điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC có : 2 3 AG BG CG AM BN CP = = = b. Tính chất ba đường phân giác của tam giác: Ba đường phân giác AD, BE, CF của tam giác ABC cùng đi qua một điểm ( điểm I ),điểm I gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. c. Tính chất ba đường trung trực của tam giác: Ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua một điểm ( điểm O ),điểm O gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d. Tính chất ba đường cao của tam giác: Ba đường cao AA’, BB’, CC’của tam giác ABC cùng đi qua một điểm (điểm H) H gọi là trực tâm của tam giác ABC Đề Tự luyện: Câu 1(2đ): 1) Rút gọn: 2 2 2 ( 3 1) 48 7 3 7 3 − + − + − + 2)Cho M = 1 2 ; 0, 1 1 1 x x x x x x x − − − ≥ ≠ − + a) Rút gọn M. b) Tìm x N∈ để M có giá trị là số tự nhiên c) Tìm x dể M có giá trị lớn nhất, tìm GTLN đó. Câu 2 (2đ): Cho hàm số 2 1 2 y x= − 1) Nêu tính chất và vẽ đồ thị (P) của hàm số 2) Tìm a, b để đường thẳng y= ax + b cắt (P) tại hai điểm A và B có hoành độ lần lượt -1 và 2.Tìm S OAB ? Câu 3 (1đ) : Cho phương trình bậc hai (ẩn số x) x 2 – 6mx + 4 = 0 Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn x 1 3 + x 2 3 = 3m + 141. Câu 4 (4đ): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC), đường cao AH. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC a) Chứng minh: ∆ AMN ∆ ACB b) Gọi D,E lần lượt đối xứng của H qua AB, AC. DE cắt AB,AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh tứ giác BPQC nội tiếp. c) Giả sử 0 0 ˆ ˆ 70 , 60BAC ABC= = .Tính các góc của tam giác PHQ. Câu5 (1đ) : Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (O), có đường cao AH.Cho hình quay một vòng quanh đường cao AH một vòng được hình nón ngoại tiếpmột hình cầu .Biết thể tích phần hình nón bên ngoài hình cầu là 3 5 3 cm π . Tính cạnh của tam giác đều ABC. A B C A' B' C' S S S C' C B' B A' A S S S S G A B C M N P O A B C I A B C D E F H C C' C' C B B B' B' A A' A A' H S O B C A H A B C D E . MỘT SỐ NỘI DUNG CƠ BẢN ÔN TẬP MÔN TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: ND1:Căn thức bậc hai 1. A xác định ⇔ ≥A 0 ; Với ≥A 0 tồn tại A có. giác vuông: Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: ' ' ' ' ˆ ˆ ; ' A B A C A A AB AC = = = 90 0 => ∆ A’B’C’ ∆ ABC Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ' 90 ;. là x 1 = 4; x 2 = - 5 PHẦN HÌNH HỌC: ND1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông 1.Hệ thức về cạnh và đ/cao : ∆ ABC vuông tại A => AC 2 =BC.CH hay b 2 = a . b / có AH ⊥ BC AH 2 = HB.HC