http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 18 Xét dầm có biểu đồ x x EI M như H.8.10b, đường đàn hồi (nét đứt) như H.8.10a. Xét đoạn dầm AB: dz EI M d x x −= ϕ , suy ra: ∫∫ −= B A B A Z Z Z Z x x dz EI M d ϕ AB ABAB S−==− ϕϕϕ (8.18) với AB S là diện tích của biểu đồ x x EI M gồm giữa hai mặt cắt A và B. Đònh lý 1. Độ thay đổi góc xoay giữa hai mặt cắt của một dầm (thí dụ giữa A và B) thì bằng dấu trừ diện tích của biểu đồ x x EI M giữa hai mặt cắt ấy. Từ hình 8.10d: dz EI M zdzdt x x −== ϕ suy ra: ∫∫ −=−== B A B A Z Z Z Z AB C x x BA Szdz EI M zdtt (8.20) C z là khoảng cách từ trọng tâm của diện tích AB S đến B Đònh lý 2. Độ sai lệch giữa tiếp tuyến ở một điểm B trên đường đàn hồi với một tiếp tuyến ở một điểm A khác cũng trên đường đàn hồi bằng với dấu trừ mô men H .8.10 Phương pháp diện tích mô men z A z B ĐĐH y B y A z B dz z ϕ y a) C z C C z A B AB S dz EI M x x b) x x EI M z A z L AB http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 19 tónh của diện tích của biểu đồ x x EI M đối với đường thẳng đứng đi qua B. Từ H.8.10d ta có: y B = y A + ϕ A L AB + t BA = y A + ϕ A (z B – z A ) + t BA y B = y A + ϕ A (z B – z A ) – AB C Sz (8.21) (7.21) chính là công thức dùng để xác đònh độ võng của điểm B nếu biết độ võng của một điểm A (z B > z A ) và biểu đồ x x EI M giữa hai điểm này. Từ (8.21 có thể tính độ võng của điểm A khi biết độ võng của điểm B (z B > z A ). AB BA S+= ϕϕ và y A = y B – ϕ A (z B – z A ) + AB C Sz với: CABC zLz −= ta viết: ( ) ( ) AB CABAB AB BBA SzLLSyy −++−= ϕ Khai triển và rút gọn, ta được: y A = y B – ϕ B L AB – z C AB S (8.22) z C - là khoảng cách từ trọng tâm C của AB S kể từ A. Thí dụ 8.5. Dùng phương pháp diện tích mô men xác đònh góc xoay ở đầu trái A và độ võng ở điểm D giữa dầm (H.8.11). EI x = hằng số. Giải. Theo đònh lý 1, công thức (7.4), xét hai điểm A (z = 0) và D (z = L/2) AD AD S−= ϕϕ Chú ý rằng ϕ D = 0 vì bài toán đối xứng và AD S có thể phân chia thành 321 SSS ++ . ta suy ra: 0)( 321 =++− SSS A ϕ x A EI qL SSS 3 321 648 13 ×=++= ϕ Góc xoay của mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ. Áp dụng công thức (8.21), ta viết AD C AAD Sz L yy −+= 2 ϕ () () () ( ) 3 3 2 2 1 1 3 2648 13 0 SzSzSz L EI qL CCC x ++−××+= x EI qL 2 11664 77 ×= BÀI TẬP CHƯƠNG 8 2 m 6 m M o H.8.1 http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 20 8.1 Xác đònh đường đàn hồi dầm bằng phương pháp tích phân không đònh hạn, biết M o = 20 kNm, EJ không đổi. H.8.1. 8.2 Xác đònh góc xoay ở hai đầu dầm và độ võng tại giữa dầm bằng phương pháp tích phân không đònh hạn, EJ không đổi. H.8.2. 8.3 Dầm mặt cắt ngang thay đổi và chòu lực như H.8.3. Tính độ võng tại dầm tự do và góc xoay tại mặt cắt ngang giữa dầm. 8.4 Dầm có độ cứng không đổi như H.8.4. Xác đònh: - Độ võng và góc xoay tại C - Góc xoay tại A và B - Độ võng tại mặt cắt D 8.5 Tìm độ võng tại mặt cắt C, góc xoay bên trái và phải khớp A của dầm như H.8.5, biết độ cứng EJ = hằng . 8.6 Tìm độ võng tại B, góc xoay tại A của dầm như H.8.6, biết EJ= hằng. 8.7 Xác đònh độ võng và góc xoay tại C. H.8.7 8.8 Một hệ thống gồm ba công xon, đầu tự do được liên kết với nhau bằng những giằng cứng như H.8.8. Tính ứng suất cực đại ở mỗi dầm khi có lực treo ở H.8.4 q aaa 4qa qa 2 C A D B H. 8.2 q L/2 L/2 H. 8.3 L/2 L/2 B h A C L/2 L/2 B b A C H. 8.5 aaa C B D A P a a A P C H. 8.6 H. 8.7 A 3 m 1 m EJ B 2EJ 40 kN C H. 8.8 L L L P B http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 21 dầm, biết độ cứng EJ là hằng số. 8.9 Vẽ biểu đồ nội lực của dầm siêu tónh như H.8.9. Viết phương trình đường đàn hồi, biết độ cứng EJ là hằng số. H. 8.9 q L L H. 8.1 0 M o EJ = hằng s ố L/2 L/2 8.10. Xác đònh phản lực của dầm siêu tónh như H.8.10. 8.11. Thanh thép dài 1 m, mặt cắt chữ nhật 20 36 mm, ngàm ở đầu A, chòu lực P = 30 N đặt ở giữa nhòp. Kiểm tra độ bền của dầm. Biết [ σ] = 16 kN/cm 2 . Ở đầu B có khe hở δ = 20 mm. Cho E = 2.10 4 kN/cm 2 . H. 8.11 0,5 m 0,5 m A B P δ 20 mm 6 mm 8.5. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH MÔMEN (DTMM) 1. Nội dung phương pháp http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 22 Xét dầm chòu uốn có biểu đồ x x EJ M như H.8.13b, đường đàn hồi (nét đứt) như H.8.13a. ♦ Xét đoạn dầm AB, ta đã có: x x EJ M y −=" ⇔ x x EJ M dz d dz dy −== ϕ ' ⇒ dz EJ M d x x −= ϕ ⇒ ∫∫ −= B A B A Z Z Z Z x x dz EJ M d ϕ z A z B ĐĐH y B y A z B dz z ϕ t y a) c) H.8.13 d) C z C C z A B AB S dz EJ M x x b) x x EJ M A B y A y B t BA ϕ A ϕ B A’ B’ dz z d ϕ dt B http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 23 AB ABAB S−==− ϕϕϕ (8.4) với AB S là diện tích của biểu đồ x x EJ M gồm giữa hai mặt cắt A và B. Đònh lý 1. Độ thay đổi góc xoay giữa hai mặt cắt của một dầm (thí dụ giữa A và B) thì bằng dấu trừ diện tích của biểu đồ x x EJ M giữa hai mặt cắt ấy. ♦ Từ H.8.13c ta có thể viết: dz EJ M zdzdt x x −== ϕ suy ra: ∫∫ −=−== B A B A Z Z Z Z AB C x x BA Szdz EJ M zdtt C z là khoảng cách từ trọng tâm của diện tích AB S đến B Đònh lý 2. Độ sai lệch giữa tiếp tuyến ở một điểm B trên đường đàn hồi với một tiếp tuyến ở một điểm A khác cũng trên đường đàn hồi bằng với dấu trừ mômen tónh của diện tích của biểu đồ x x EJ M đối với đường thẳng đứng đi qua B. Từ H.8.13d ta có: y B = y A + ϕ A L AB + t BA = y A + ϕ A L AB – AB C Sz (8.5) (8.5) chính là công thức dùng để xác đònh độ võng của điểm B nếu biết độ võng của một điểm A (z B > z A ) và biểu đồ x x EJ M giữa hai điểm này. ♦ Từ (8.5) ta cũng có thể tính độ võng của điểm A khi biết độ võng của điểm B (z B > z A ). Thật vậy theo phần trên ta có: AB BA S+= ϕϕ và: y A = y B – ϕ A L AB + AB C Sz với: CABC zLz −= ta viết: ( ) ( ) AB CABAB AB BBA SzLLSyy −++−= ϕ Khai triển và rút gọn, ta được: y A = y B – ϕ B L AB – z C AB S (8.5)’ trong đó: z C - là khoảng cách từ trọng tâm C của AB S kể từ A. http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 24 ♦ Dùng phương pháp DTMM cần biết diện tích và trọng tâm của một số hình ( bảng 8.2 ). Thí dụ 8.7. Dùng phương pháp DTMM xác đònh góc xoay ở đầu trái A và độ võng ở điểm D giữa dầm (H.8.14). EJ x = hằng số. Giải. + Theo đònh lý 1, công thức (8.4), xét hai điểm A (z = 0) và D (z = L/2) : AD AD S−= ϕϕ Chú ý rằng ϕ D = 0 vì bài toán đối xứng và AD S có thể phân chia thành 321 SSS ++ (H.8.14). ⇒ 0)( 321 =++− SSS A ϕ xxxx A EJ qLL EJ qLL EJ qLL EJ qL SSS 3222 321 648 13 6723 2 672 4 32 1 72 4 ×=××+××+×××= ++= ϕ Góc xoay của mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ. + Áp dụng công thức (8-5), ta viết AD C AAD Sz L yy −+= 2 ϕ () () () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++−××+= 3 3 2 2 1 1 3 2648 13 0 SzSzSz L EJ qL CCC x ⎥ ⎦ ⎤ ××××+×××+ ⎢ ⎣ ⎡ +××× ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ×+−××= 6723 2 68 3 72 4 662 1 372 4 2 1 33 1 62648 13 22 23 L EJ qLL EJ qLLL L EJ qLLLL EJ qL xx xx x EJ qL 2 11664 77 ×= Độ võng mặt cắt D hướng xuống dưới. Thí dụ 8.8 Xác đònh góc xoay ở A,B và độ võng ở D của dầm cho như H.8.15 L/2 L/2 A B D q x M 2 8 1 qL x EJ qL S 3 1 72 1 = x x EI M x EJ qL 2 8 1 x EJ qL 2 24 1 x EJ qL S 3 2 24 1 = 3EJ EJ H.8.15 L/3 L/3 L/3 A B D x EJ qL 2 72 4 x EJ qL 2 72 5 q S 3 H.8.14 x x EJ M . ngang giữa dầm. 8.4 Dầm có độ cứng không đổi như H.8.4. Xác đònh: - Độ võng và góc xoay tại C - Góc xoay tại A và B - Độ võng tại mặt cắt D 8.5 Tìm độ võng tại mặt cắt C, góc xoay bên. đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 20 8.1 Xác đònh đường đàn hồi dầm bằng phương pháp tích phân không đònh hạn, biết M o = 20 kNm, EJ không đổi. H.8.1. 8.2 Xác đònh góc xoay. thép dài 1 m, mặt cắt chữ nhật 20 36 mm, ngàm ở đầu A, chòu lực P = 30 N đặt ở giữa nhòp. Kiểm tra độ bền của dầm. Biết [ σ] = 16 kN/cm 2 . Ở đầu B có khe hở δ = 20 mm. Cho E = 2.10 4 kN/cm 2 .