http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 24 c x c xy bI SQ = max τ với ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ×== ×= ×== kN cm cm cm 4 3 60 53,022 21202 11122 y c x x c x Q db J SS Suy ra: 2 kN/cm 96,2 53,0221202 111260 max = ××× ×× = τ Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại: [] [] max 8 2 16 2 τ σ τ >=== 2 kN/cm vậy phân tố này thỏa điều kiện bền. * Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: đó là phân tố ở nơi tiếp giáp giữa lòng và đế tại mặt cắt nầy có: kNm 60 max, = x M và kN 60 max, = y Q () 2 21,1496,011 21202 6000 kN/cm =−× × = A x σ 3 cm 626,165 2 96,0 1196,02,82 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −×××= c x S 2 kN/cm 21,2 53,0221202 626,16560 = ××× × = A τ Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại: ()() /,,, 2 2 2 22 3 3814212421144 cmkN AAt =+=+= τσσ vậy phân tố này thỏa điều kiện bền. Kết luận: Chọn 2 [ 22. Thí dụ 7.8 Xác đònh tải trọng cho phép [P] của dầm cho trên H.7.25. Cho: a = 80 cm, [ σ ] = 16 kN/cm 2 Giải ♦ Biểu đồ lực cắt Q y và mômen uốn M x (H.7.25). Mặt cắt nguy hiểm có: PaM x 4 7 = và PQ y 4 7 = Mặt cắt I 10 có:h = 10 cm; J x = 198 cm 4 W x = 39,7cm 3 ; S x = 23cm 3 , 5/4 P P /4 7/4 P 5/4P a 7/4P a M x Q y a a 2ø a P 2øP 10 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 25 d = 0,45 cm; t = 0,72 cm; b = 5,5 cm ♦ Từ điều kiện bền của phân tố ở TTỨS đơn nguy hiểm ta có: ][ 4 7 σ≤ x W Pa ⇒ kN 537,4 80 7,3916 7 4 ][ 7 4 = × ×= σ ≤ a W P x Ta chọn [P] = 4,53 kN. ♦ Với trò số của P đã chọn, ta kiểm tra bền các phân tố còn lại ở TTỨS trượt thuần túy và TTỨS phẳng đặc biệt. ++ Phân tố ở TTỨS trượt thuần túy ; ở trục trung hòa của mặt cắt có: kN 923,753,4 4 7 4 7 =×== PQ y ⇒ 22 max kN/cm 8 2 ][ ][kN/cm 046,2 45,0198 2353,4 4 7 = σ =τ<= × × ×=τ ⇒ phân tố này thỏa điều kiện bền. ++ Phân tố ở TTỨS phẳng đặc biệt; ở nơi tiếp giáp giữa lòng và đế tại mặt cắt có: kNm 342,68,053,4 4 7 4 7 =××== PaM x và kN 923,7 4 7 == PQ y 3 cm 37,18 2 )72,010( 72,05,5 = − ××= ′ c x S 2 kN/cm 634,1 45,0198 37,1853,4 4 7 = × ×× =τ zy 2 kN/cm 71,1372,0 2 10 198 2,634 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −×=σ z Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại: () () 22 22 22 3 kN/cm 16][kN/cm 09,14 634,1471,134 =σ<= ×+=τ+σ=σ zyzt ♦ Kết luận: Tải trọng cho phép [P] = 4,53 kN http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 26 Thí du ï7.10:Cho dầm ABC chòu lực như hình vẽ . Đònh [q] cho[ σ ] = 16 kN/cm 2. [ τ ]=9kN/cm 2 h=20cm,b=0,76cm d =0,72cm,t=0,9cm J X =1520cm 4 ,W X =152cm 3 S X =87,8cm 3 , Tính: 42 3 65702116510 12 1316 2 cmJJ xX =+××+ × = )),(( [] σσ ≤= x x z W M Max max , với 3 3597 11 6570 2 cm H J W X x ,=== q 2ql l ql l 4l 2ql 2 B A C 16×1cm 16 × 1cm N 0 20 Y X H 2,2ql 4,8ql ql 2,2ql 3,8ql 1,8ql 3ql 2 ql 2 2,42ql 2 0,8ql 2 + + + http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 27 ⇒ [] [] mkN l W q x /, ),( , 214 513 359716 3 22 = × = × ≤ σ , với 2 3qlM x = max Kiểm tra lại ứng suất tiếp với q vừa tìm. [] ττ ≤== 2 074 cmkN bJ SQ c x c xy /, max , với =××== ×== == ××+= 80,94kN1,514,23,83,8ql Q cm , ,,cm cm ),( y 4 3 52022 516570 5101162 db mlJ SS c x x c x http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 28 7.5 Q ĐẠO ỨNG SUẤT CHÍNH Trong phần bên trên chúng ta chỉ mới xác đònh trò số của ứng suất chính đối với một phân tố bất kỳ mà chưa đề cập đến phương của chúng. Những kết quả đạt được khá tốt đối với vật liệu có ứng suất cho phép khi kéo và khi nén là như nhau. Tuy nhiên, đối với các vật liệu như bê tông cốt thép, việc xác đònh phương của ứng suất chính tại mọi điểm rất cần thiết, để từ đó có thể đặt cốt thép gia cường theo các phương này. Ta có thể xác đònh phương của ứng suất chính thông qua vòng tròn Mohr. Giả sử σ α và τ α là các thành phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt phẳng vuông góc với trục dầm và có trò số dương: y J M x x z =+= σσ α và c x c xy zy bJ SQ =+= ττ α τ α = τ z y σ a = σ z τ z y σ 1 σ 3 σ β = 0 τ β = τ z y A B τ −τ C M N σ τ P Phương σ 1 H. 7.26 Phương σ 3 Sau khi vẽ vòng tròn Mohr ứng suất chúng ta nhận thấy phương chính là phương nối từ điểm cực P(0,+ τ zy ) với hai điểm A và B ở hai đầu đường kính của vòng tròn Mohr: PA chỉ phương ứng suất chính σ 1 , còn PB chỉ phương ứng suất chính σ 3 . H.7.26 cho thấy, các vòng tròn Mohr ứng suất và các phương chính tại nhiều điểm khác nhau trên mặt cắt ngang. Ta giả sử rằng mômen uốn và lực cắt tại một mặt cắt mang dấu dương. Ứng suất chính thay đổi với biên mặt cắt ngang. Gần những biên, một trong các ứng suất chính bằng không, trong khi ứng suất chính kia có phương song song với trục dầm; còn ở trục trung hoà, các ứng suất chính có phương hợp với trục dầm một góc 45 o . Bằng phương pháp tương tự, ta có thể xác đònh được phương của ứng suất chính ở nhiều điểm trên dầm (H.7.27) Ta vẽ các đường cong có tiếp tuyến http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 29 là phương của ứng suất chính và gọi các đường đó là quỹ đạo ứng suất chính của dầm chòu uốn. Các quỹ đạo này hợp thành hai họ đường cong vuông góc nhau, một họ là quỹ đạo ứng suất kéo và một họ là quỹ đạo ứng suất nén. Các phương của ứng suất chính tùy thuộc vào loại tải trọng và điều kiện biên của dầm. Trên H.7.28, quỹ đạo ứng suất kéo được biểu diễn bằng đường nét đậm còn quỹ đạo ứng suất nén biểu diễn bằng đường nét đứt. Người ta thường dùng các phương pháp thực nghiệm để xác đònh quỹ đạo ứng suất chính như phương pháp quang đàn hồi, phương pháp dùng sơn dòn. 7.6 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA DẦM CHỊU UỐN PHẲNG A q B l H. 7.28. Quỹ đạo ứng suất chính của dầm tựa đơn chòu tải phân bố đều M x Q y σ min σ min σ max σ max σ σ τ τ τ max τ max σ σ τ B A C D E σ τ C σ 3 σ τ C σ 1 σ τ C Phương kéo σ 1 τ max P hương nén σ 3 σ τ C σ τ σ τ C σ τ H .7.25 Phương nén σ 3 Phương kéo σ 1 Phương kéo σ 1 Phương nén σ 3 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 30 Trong chương TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT, ta đã có công thức tính thế năng riêng biến dạng đàn hồi của một phân tố là: () [] 133221 2 3 2 2 2 1 2 2 1 σσσσσσμσσσ ++−++== EV U u (7.29) Trường hợp dầm chòu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng suất của phân tố là phẳng nên một thành phần ứng suất chính bằng không, σ 2 chẳng hạn, khi đó biểu thức của thế năng riêng biến dạng đàn hồi có dạng: [] 31 2 3 2 1 2 2 1 σμσσσ −+== E dV dU u (7.30) trong đó: σ 1 và σ 3 là các ứng suất chính được suy từ σ z và τ zy theo công thức: 2 2 1 22 zy zz τ+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ σ + σ =σ (7.31) 2 2 3 22 zy zz τ+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ σ − σ =σ (7.32) thay vào (7.30) ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 22 2 22 22 2 2 2 2 2 2 1 zy zz zy zz E u τ σσ μτ σσ rút gọn ta được: () E E u zy z μ τ σ + ⋅+= 12 22 2 2 (7.33) Ngoài ra, giữa các hằng số của vật liệu E, G, μ tồn tại hệ thức sau: () μ + = 12 E G (7.34) thay vào (7.33) và rút gọn, cuối cùng ta được: GE u zy z 22 2 2 τ + σ = (7.35) thay biểu thức của σ z và τ zy bằng (7.2) và (7.11) ta được: () () 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c x c xy x x bGJ SQ y EJ M u += (7.36) Thế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn thanh dz là: . [q] cho[ σ ] = 16 kN/cm 2. [ τ ]=9kN/cm 2 h=20cm,b=0,76cm d =0,72cm,t=0,9cm J X =1520cm 4 ,W X =152cm 3 S X =87,8cm 3 , Tính: 42 3 65702 1165 10 12 1 316 2 cmJJ xX =+××+ × =. () 2 21,1496,011 21202 6000 kN/cm =−× × = A x σ 3 cm 626 ,165 2 96,0 1196,02,82 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −×××= c x S 2 kN/cm 21,2 53,0221202 626 ,165 60 = ××× × = A τ Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại:. [] σσ ≤= x x z W M Max max , với 3 3597 11 6570 2 cm H J W X x ,=== q 2ql l ql l 4l 2ql 2 B A C 16 1cm 16 × 1cm N 0 20 Y X H 2,2ql 4,8ql ql 2,2ql 3,8ql 1,8ql 3ql 2 ql 2 2,42ql 2 0,8ql 2 +