http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 3 7.2 UỐN THUẦN TÚY PHẲNG 7.2.1 Đònh nghóa: Thanh chòu uốn thuần túy phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ có một nội lực M x . Dấu của M x : M x > 0 khi căng (kéo) thớ dưới ( thớ y > 0 ) của dầm 7.2.2 Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: 1. Thí nghiệm và quan sát biến dạng: H. 7.6 a) Thanh trước khi biến dạng b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng Kẻ lên mặt ngoài một thanh thẳng chòu uốn như H.7.6a, những đường song song với trục thanh tượng trưng cho các thớ dọc và những đường vuông góc với trục thanh tượng trưng cho các mặt cắt ngang; các đường này tạo thành các lưới ô vuông (H.7.6a). Sau khi biến dạng (H.7.6b), trục thanh bò cong, các đường thẳng song song với trục thanh thành các đường cong song song với trục thanh; những đường vuông góc với trục thanh vẫn còn vuông góc với trục thanh, nghóa là các góc vuông được bảo toàn trong quá trình biến dạng. Ngoài ra, nếu quan sát thanh thì thấy các thớ bên dưới dãn ra(bò kéo ) và các thớ bên trên co lại (bò nén). Như thế, từ thớ bò dãn sang thớ bò co sẽ tồn tại các thớ mà chiều dài không thay đổi trong quá trình biến dạng, gọi là thớù trung hòa. Các thớ trung hòa tạo thành lớp trung hòa. Giao tuyến của lớp trung hoà với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hòa. Vì mặt cắt ngang có chiều rộng bé nên đường trung hòa xem như thẳng (H.7.6.c) H.7.6. a) Thanh trước khi biến dạng b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 4 Sau biến dạng các mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 ban đầu cách nhau một đoạn vi phân dz sẽ cắt nhau tại tâm cong O’ (H.7.7b) và hợp thành một góc d θ . Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hòa, tức khoảng cách từ O’ đến thớ trung hòa. Độ dãn dài tương đối của một thớ ab ở cách thớ trung hòa một khoảng cách y cho bởi: () ( ) y y d d d y dz dz d y ab z κ ρθρ θρθρθρ ε == −+ = −+ = − = 21 21 00 00 (a) trong đó: κ - là độ cong của dầm. Hệ thức này chứng tỏ biến dạng dọc trục dầm tỉ lệ với độ cong và biến thiên tuyến tính với khoảng cách y từ thớ trung hòa H.7.7 Đoạn dầm vi phân dz M 1 1 a O 1 O 2 b M d z 2 2 y O ρ d θ M a O 1 O 2 b â M y σ σ a) Trùc biến dạng b) Sau biến dạng z Phần bò nén x y Phần bò kéo Lớp trung hoà Mặt phẳng tải trọng Đường tải trọng Đường trung hoà http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 5 2. Thiết lập công thức tính ứng suất: Mỗi thớ dọc của dầm chỉ chòu kéo hoặc nén (các điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang ở trạng thái ứng suất đơn). Đònh luật Hooke ứng với trạng thái ứng suất đơn cho ta: y E E zz κ=ε=σ (b) Ứùng suất pháp tác dụng trên mặt cắt ngang biến thiên bậc nhất với khoảng cách y từ thớ trung hòa. Xét hợp lực của các ứng suất pháp trên toàn mặt cắt ngang. + Liên hệ giữa σ z và N z 0== ∫∫ FF z yFEdF κσ (đònh nghóa N z =0) (c) Vì độ cong κ và môđun đàn hồi E là hằng số nên có thể đem ra ngoài dấu tích phân, ⇒ 0= ∫ F ydF (d) (d) cho thấy mômen tónh của diện tích mặt cắt ngang đối với trục trung hoà x bằng không ⇔ trục trung hoà x đi qua trọng tâm mặt cắt ngang. Tính chất này cho phép xác đònh trục trung hoà của bất kỳ mặt cắt ngang nào. Nếu trục y là trục đối xứng, thì hệ trục (x,y) chính là hệ trục quán tính chính trung tâm. + Liên hệ giữa σ z và M x ∫∫ == FF zx dFyEydFM 2 κσ = κ EJ x (e) trong đó: ∫ = F x dFyJ 2 (g) là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x. Biểu thức (e) được viết lại như sau: x x EJ M == ρ κ 1 (7.1) EJ x gọi là độ cứng uốn của dầm. Thế(7.1) vào (b) ⇒ Công thức tính ứng suất pháp tại một điểm trên mặt cắt ngang dầm: y J M x x z = σ (7.2) Ứùng suất biến thiên bậc nhất theo tung độ y.và y là khoảng cách của điểm tính ứng suất kể từ trục trung hoà x .(M x và y mang dấu đại số) H.7.8. Ứng suất pháp và mô men uốn trên mặt cắt ngang của dầm chòu uốn Đường trung hoà x y z σ z dF M x y 0 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 6 Công thức kỹ thuật: Nếu mômen uốn dương, dầm bò căng ( bò kéo ) thớ dưới, các thớ trên bò nén . Kết quả ngược lại nếu mômen uốn âm. Do vậy trong thực hành, ta có thể sử dụng công thức kỹ thuật để tính ứng suất, || y J M x x z ±= σ (7.3) ta sẽ lấy: dấu (+) nếu M x gây kéo tại điểm cần tính ứng suất. dấu (–) nếu M x gây nén tại điểm cần tính ứng suất. . 7.2.3 Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trò: ♦ Biểu đồ ứng suất pháp: +Những điểm càng ở xa trục trung hòa có trò số ứng suất càng lớn. +Những điểm cùng có khoảng cách tới thớ trung hòa sẽ có cùng trò số ứng suất pháp. Biểu đồ phân bố ứng suất pháp là đồ thò biểu diễn giá trò các ứng suất tại các điểm trên mặt cắt ngang. *Trường hợp mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (Hình tròn, chữ nhật ) cho bởi H.7.9 *Trường hợp mặt cắt ngang chỉ có một trục đối xứng (chữ I,U) cho bởi H.7.10. Dấu (+) chỉ ứng suất kéo. Dấu (-) chỉ ứng suất nén. + _ http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 7 H. 7.9 Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt có hai trục đối xứng H. 7.10 Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt có một trục đối xứng ♦ Ứng suất pháp cực trò: Tính ng suất pháp khi kéo và khi nén lớn nhất trên mặt cắt ngang dầm ở những điểm xa đường trung hòa nhất. Gọi nk yy maxmax , lần lượt là khoảng cách thớ chòu kéo và thớ chòu nén ở xa đường trung hòa nhất. Khi đó ứng suất chòu kéo lớn nhất σ max và ứng suất chòu nén lớn nhất σ min sẽ tính bởi các công thức: k x x k x x W M y J M == maxmax σ (7.4a) n x x n x x W M y J M == maxmin σ (7.4b) với: n x n x k x k x y J W y J W maxmax ; ' == (7.5) Các đại lượng k x W và n x W gọi là các suất tiết diện hoặc mômen chống uốn của mặt cắt ngang. Trường hợp đặt biệt: Nếu trục x (trục trung hoà ) cũng là trục đối xứng (mặt cắt chữ nhật, tròn, Ι,…) thì: 2 maxmax h yy nk == khi đó: h J WWW x x n x k x 2 === (7.6) và ứng suất nén và kéo cực đại có trò số bằng nhau: x x W M =σ=σ minmax (7.7) ∗ Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b và chiều cao h : + _ http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 8 6 ; 12 23 bh W bh J xx == (7.8) ∗ Mặt cắt ngang hình tròn: 3 3 4 4 1,0 32 ;05,0 64 d d Wd d J xx ≈=≈= ππ (7.9) ∗ Mặt cắt ngang hình vành khăn : đường kính ngoài D, trong, d )1( 32 ;)1( 64 4 3 4 4 η π η π −=−= D W D J xx với η = d/ D ∗ Mặt cắt ngang hình Ι, C: Tra bảng thép đònh hình. Ý nghóa vật lý của mômen chống uốn: khi mômen chống uốn càng lớn dầm chòu được mômen uốn càng lớn. 7.2.4 Điều kiện bền- Ba bài toán cơ bản Điều kiện bền: + Dầm bằng vật liệu dòn: [σ] k ≠ [σ] n ⏐σ min ⏐≤ [σ] n σ max ≤ [σ] k (7.10a) + Dầm bằng vật liệu dẻo: [σ] k = [σ] n = [σ] max ⏐σ z ⏐≤ [σ] (7.10b) Ba bài toán cơ bản: +Bài toán kiểm tra bền,(Đây là bài toán thâûm kế.) +Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang,(bài toán thiết kế). +Bài toán chọn tải trọng cho phép.(bài toán sữa chữa,nâng cấp) Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền- Kiểm tra thanh chòu lực có đảm bảo độ bền hay không. Dùng (7.10a) hay (7.10b) để kiểm tra. Thí dụ 7.1 Trên mặt cắt ngang của một dầm chữ T ngược (H.7.11), mômen uốn M x = 7200 Nm. Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép khi kéo và nén khác nhau: ` [ σ ] k = 20 MN/m 2 ; [ σ ] n = 30 MN/m 2 ` ` Kiểm tra bền biết rằng: J x = 5312,5 cm 4 Giải. Ta có: y k max = 75 mm= 7,5.10 –2 m y n max = 125 mm = 12,5.10 –2 m H. 7.11 z 125 75 Dầm chữ T chòu uốn M x y x O http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 9 36 2 8 max m103,708 105,7 105,5312 − − − ×= × × == k x k x y J W 36 2 8 max m10425 105,12 105,5312 − − − ×= × × == n x n x y J W [] k k x x W M σ<=×= × ==σ − 226 6 max MN/m 20,10N/m1020,10 103,708 7200 [] n n x x W M σ<=×= × ==σ − 226 6 min MN/m 17N/m1017 10425 7200 vậy dầm đủ bền. Bài toán cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang sao cho dầm thỏa điều kiện bền. Từ điều kiện bền tổng quát (7.10a,b) ⇒ mômen chống uốn và kích thước của mặt cắt ngang sẽ được xác đònh. Thí dụ 7.2 Cho dầm chòu lực như H.7.12. Dầm làm bằng hai thép chữ , Chọn số hiệu của thép chữ để dầm thỏa điều kiện bền. Biết [ σ ] = 16 kN/cm 2 . Giải. Dầm chòu uốn thuần túy; trên mọi mặt cắt ngang của dầm có mômen uốn M x =60 kNm. Áp dụng công thức (7.7) và (7.10b) ta được: 3 max cm 375 16 100.60 ][ == σ ≥ M W x Tra bảng thép hình ta chọn 2 20 có W x = 2 × 184 = 368 cm 3 . Kiểm tra lại điều kiện bền ta có: 2 max max kN/cm 3,16 368 100.60 ===σ x W M sai số tương đối: %9,1%100 16 163,16 =× − ; vậy dầm đủ bền. Chọn 2 20 Bài toán cơ bản 3: Đònh tải trọng cho phép [P] để dầm thỏa điều kiện bền. Thí dụ 7.3 Một dầm bằng gang có mặt cắt ngang như H.7.13. Xác đònh trò số mômen uốn cho phép(mômen có chiều như hình vẽ). Biết: [ σ ] κ = 1,5 kN/cm 2 . Hỏi với trò số mômen uốn cho phép đó, ứng suất nén lớn nhất trong dầm là bao nhiêu? Cho biết J x = 25470 cm 4 x H.7.12 M = 60 kNm M = 60 KNm . _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 4 Sau biến dạng các mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 ban đầu cách nhau một đoạn vi phân dz sẽ cắt nhau tại tâm cong O’ (H.7.7b) và hợp thành. uốn: khi mômen chống uốn càng lớn dầm chòu được mômen uốn càng lớn. 7.2.4 Điều kiện bền- Ba bài toán cơ bản Điều kiện bền: + Dầm bằng vật liệu dòn: [σ] k ≠ [σ] n ⏐σ min ⏐≤ [σ] n . thiết kế). +Bài toán chọn tải trọng cho phép.(bài toán sữa chữa,nâng cấp) Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền- Kiểm tra thanh chòu lực có đảm bảo độ bền hay không. Dùng (7.10a) hay (7.10b) để kiểm