ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn: Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) I/ Lý thuyết: ( 2.0 điểm) Học sinh chọn một trong hai câu sau: Câu 1: a) Phát biểu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn và viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai. b) Áp dụng: Giải phương trình: x 2 + 5x - 13 = 0 Câu 2: Phát biểu và chứng minh định lí về góc nội tiếp của đường tròn. II/ Bài tập bắt buộc: (8.0 điểm) Bài 1: (1.5 điểm) a) Vẽ đồ thị hàm số y = 1 4 − x 2 b) Giải hệ phương trình =−+ =− 092 2.02.01,0 yx yx Bài 2: (1.5 điểm) Cho phương trình: 01 2 =−++ mmxx (1), (m là tham số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. b) Gọi 21 , xx là nghiệm của phương trình (1). Tìm m thoả mãn: 5 2 2 2 1 =+ xx Bài 3: (1.5 điểm) Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 250 m 2 . Nếu tăng chiều rộng 2 m và giảm chiều dài 1 m thì diện tích của mảnh đất lúc này tăng 38 m 2 so với diện tích ban đầu. Tính chu vi mảnh đất lúc ban đầu? Bài 4: (3.5 điểm) Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm thuộc nửa đường tròn sao cho Sđ BM < 90 0 . Trên đường kính AB lấy điểm C sao cho BC < CA. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Đường thẳng qua M vuông góc với MC và cắt By tại Q; đường thẳng qua C vuông góc với CQ và cắt Ax tại P. Gọi E là giao điểm của CQ và BM; D là giao điểm của CP và AM. Chứng minh: a) Các tứ giác BCMQ, CDME nội tiếp. b) ∆MED ∽ ∆MBA, rồi suy ra: ME . MA = MD . MB. c) Ba điểm P,M,Q thẳng hàng. d) Tính diện tích hình giới hạn bởi cung AMB và hai đoạn thẳng AM, MB. Biết AB = 6cm; ABM = 60 0 . ============= Hết ============ Ghi chú: Giám thị xem thi không giải thích gì thêm! ĐÁP ÁN UBND HUYỆN KRÔNG BÚK PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ====@==== Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ====@==== Đề lẻ O D C B A O C B A A O D B C Câu 1 ( 2.0 điểm) a) * Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0. * Công thức nghiệm: Phương trình ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) acb .4 2 −=∆ + Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: a b x a b x 2 ; 2 21 ∆−− = ∆+− = + Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: a b xx 2 21 − == + Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm b) Áp dụng: Giải phương trình x 2 + 5x - 13 = 0 acb .4 2 −=∆ = 5 2 - 4.1.(-13) = 77 > 0 Suy ra: phương trình có hai nghiệm phân biệt: 2 775 ; 2 775 21 −− = +− = xx 0.5 điểm 0.5 điểm 1,0 điểm Câu 2 (2.0 điểm) * Định lí về góc nội tiếp của đường tròn: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nữa số đo của cung bị chắn. * Chứng minh: + Trường hợp diểm O nằm trên một cạnh của góc BAC. (a) Ta có: BOC là góc ngoài của tam giác AOC. ⇒ BOC = BAC + OCA = 2 BAC (vì tam giác OAC cân tại O) ⇒ BAC = ½ BOC = ½ Sđ BC + Trường hợp điểm O nằm trong góc BAC. Kẻ đường kính AD, ta có: BAC = BAD + DAC BAD = ½ Sđ BD (Theo trường hợp (a)) DAC = ½ Sđ DC (Theo trường hợp (a)) ⇒ BAC = ½ Sđ BC + Trường hợp điểm O nằm ngoài góc BAC. Kẻ đường kính AD, ta có: BAC = BAD - DAC BAD = ½ Sđ BD (Theo trường hợp (a)) DAC = ½ Sđ DC (Theo trường hợp (a)) ⇒ BAC = ½ Sđ BC 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -15 -10 -5 5 10 15 O B' B A A' 0.5 điểm Bài 1 (1.5 điểm) a) Đồ thị hàm số 2 4 1 xy −= là prabol đi qua các điểm A(-4;-4), B(-2;-1), O(0;0), A’(4;-4), B’(2;-1), trên mặt phẳng toạ độ Oxy. b) Ta có: =−+ =− 092 2,02,01,0 yx yx ⇔ =+ =− 92 22 yx yx ⇔ = =− 205 22 x yx ⇔ = =− 4 22 x yx ⇔ = = 4 1 x y 0.5 điểm 0.25 điểm 0.75 điểm Bài 2 (1.5 điểm) Bài tập Phương trình: 01 2 =−++ mmxx (1), (m là tham số) a) ∆ = m 2 - 4. 1. (m -1) = m 2 - 4m + 4 = (m-2) 2 ≥ 0, ∀ m ∈ R Vậy phương luôn có nghiệm với mọi m. b) Ta có: ∆ ≥ 0, ∀ m ∈ R Theo hệ thức Vi ét, ta có: −= −=+ 1. 21 21 mxx mxx Mà: 52)(5 21 2 21 2 2 2 1 =−+⇔=+ xxxxxx Suy ra: 2 2 m 1 m 2m 2 5 m 2m 3 0 m 3 = − − + = ⇔ − − = ⇔ = 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm Bài 3 (1.5 điểm) Gọi x (m) là chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật, ĐK x > 0. Thì chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là 250 x (m). Theo bài ra: Nếu tăng chiều rộng 2 m và giảm chiều dài 1 m thì diện tích mảnh đất lúc này tăng 38 m 2 so với diện tích ban đầu, nên ta có phương trình: 2 250 (x 2).( 1) 288 x x 40x 500 0 ' 900 ' 30 x 10 + − = ⇔ + − = ∆ = ⇒ ∆ = = x = -50 < 0 (loại) Vậy: Chu vi mảnh đất hình chữ nhật là: (10+25).2 = 70 (m) 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm Bài 4 (3.5 điểm) Vẽ hình, ghi gt và kl đúng x y D P E Q A O B C M a) *Chứng minh tứ giác BCMQ nội tiếp Xét tứ giác BCMQ có: CBQ = 90 0 (Vì: By ⊥ AB tại B) QMC = 90 0 (Vì: QM ⊥ MC tại M) ⇒ CBQ + QMC = 90 0 + 90 0 = 180 0 ⇒ Tứ giác BCMQ nội tiếp đường tròn đường kính CQ *Chứng minh tứ giác CEMD nội tiếp Xét tứ giác DCEM có: 0.5 điểm 0.5 điểm ECD = 90 0 (Vì: PC ⊥ CQ tại C) EMD = 90 0 (Vì: AMB là góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) ⇒ ECD + EMD = 90 0 + 90 0 = 180 0 ⇒ Tứ giác DCEM nội tiếp đường tròn đường kính ED b) Ta có: ECM = EDM ( cùng chắn EM) QCM = QBM ( cùng chắn QM) BAM = QBM (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc) Suy ra: EDM = BAM (1) Mà: EDM vàBAM ở vị trí đồng vị (2) Từ (1) và (2) suy ra: DE // AB ⇒ ∆MED ∽ ∆MBA ⇒ ME MD ME.MA MD.MB MB MA = ⇒ = (đpcm) c) Ta có: ECM = BAM (vì: cùng bằng góc EDM) Mà: ECM + MCP = 90 0 BAM + MAP = 90 0 Suy ra: PCM = PAM ⇒ Tứ giác MCAP nội tiếp đường tròn ⇒ CAP + CMP = 180 0 ⇒ CMP = 90 0 (vì: CAP = 90 0 ) ⇒ CM ⊥ MP tại M Mà: : QM ⊥ MC tại M (gt) Từ đó suy ra: P, M, Q thẳng hàng. c) Gọi diện tích phần giới hạn bởi cung AMB và hai đoạn thẳng AM, MB là S ⇒ S = S q(AOB) - S ∆ AMB = 9 ( 3) 2 π − cm 2 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.5 điểm Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng và lôgic vẫn cho điểm tối đa! . có: BAC = BAD - DAC BAD = ½ Sđ BD (Theo trường hợp (a)) DAC = ½ Sđ DC (Theo trường hợp (a)) ⇒ BAC = ½ Sđ BC 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -1 0 - 12 -1 4 -1 6 -1 5 -1 0 -5 5 10 15 O B' B A A' 0.5. hàm số 2 4 1 xy −= là prabol đi qua các điểm A (-4 ;-4 ), B( -2 ; -1 ), O(0;0), A’(4 ;-4 ), B’ (2; -1 ), trên mặt phẳng toạ độ Oxy. b) Ta có: =−+ =− 0 92 2, 02, 01,0 yx yx ⇔ =+ =− 92 22 yx yx ⇔. -1 ) = m 2 - 4m + 4 = (m -2 ) 2 ≥ 0, ∀ m ∈ R Vậy phương luôn có nghiệm với mọi m. b) Ta có: ∆ ≥ 0, ∀ m ∈ R Theo hệ thức Vi ét, ta có: −= −=+ 1. 21 21 mxx mxx Mà: 52) (5 21 2 21 2 2 2 1 =−+⇔=+ xxxxxx Suy