Trường THPT Thăng Long – Lâm Hà Tài liệu ơn thi tốt nghiệp năm học 2009 - 2010 CHỦ ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ ( các bước làm bài toán ) Hàm số bậc ba : 3 2 y ax bx cx d= + + + Hàm số bậc bốn : 4 2 y ax bx c= + + Hàm số ax b y cx d + = + ( ) 0, 0c ad bc≠ − ≠ • Tập xác đònh : D = R • Đạo hàm : y’= . . . . . y’= 0 ⇔ x = ? lim ? x y →−∞ = lim ? x y →+∞ = • Bảng biến thiên : ⇒ Các khỏang đồng biến , nghòch biến , điểm cực đại , điểm cực tiểu . • y’’= . . . . . y’’= 0 ⇔ x = ? Bảng xét dấu y’’: ⇒ Các khỏang lồi , lõm , điểm uốn . • Vẽ đồ thò : • Tập xác đònh : D = R\ d c − • Đạo hàm : y’= ( ) 2 ad bc cx d − + ' 0y⇒ > ( hoặc y’<0 ) , x D∀ ∈ y’ không xác đònh d x c ⇔ = − • Tiệm cận : . Tiệm cận đứng : d x c = − .Tiệm cận ngang : a x c = • Bảng biến thiên : ⇒ Các khỏang đồng biến (hoặc nghòch biến ) . Hàm số không có cực trò • Vẽ đồ thò : Bài tập : 1/ Khảo sát các hàm số : a/ y= 3 2 2 1x x x− + + b/ y= 3 2 3 3 1x x x− + − − c/ y= 4 2 1 3 4 2 x x− + d/ y= 4 2 3 2 2 x x+ − e/ y= 4 2 x− f/ y = 3 2 x x − − g/ 2 2 2 1 x x y x − + = − h/ 2 2 1 x x y x + − = + Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Chú ý : • y’ (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x 0 ; y 0 ) • Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x 0 ) = a • Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x 0 ) = a 1 − Bài tập : 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = 2 1 x x − + tại giao điểm của nó với trục hoành 3/ Cho hàm số y = 132 3 2 3 ++− xx x có đồ thò ( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) : Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thò hàm số y = f ( x) tại điểm M (x 0 ; y 0 ) là: y – y 0 = y’ (x 0 ) . ( x – x 0 ) Trong phương trình trên có ba tham số x 0 ; y 0 ; y’(x 0 ) .Nếu biết một trong ba số đó ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y 0 = f (x 0 ) ; y’(x 0 )= f ’(x 0 ) Trường THPT Thăng Long – Lâm Hà Tài liệu ơn thi tốt nghiệp năm học 2009 - 2010 a/ Tại điểm có hoành độ x 0 = 2 1 b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1 4/ Cho hàm số y = 4 2 2 3x x− − có đồ thò ( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) : a/ Tại giao điểm của ( C ) và trục tung . b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 24 x +1 Vấn đề 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Bài toán: Dựa vào đồ thò ( C) của hàm số y =f(x) , Biện luận số nghiệm của phương trình : F(x , m ) = 0 ( với m là tham số ). Cách giải : Bài 1: Cho hàm số :y=x 3 -3x 2 +3mx+3m+4, có đồ thò (C m ). 1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C 0 ), khi m=0. 2) Dựa vào đồ thò (C 0 ), biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x 3 -3x 2 +4-a=0. 3) Tìm m để (C m ) cắt trục 0x tại 3 điểm phân biệt. Đs: { } ( ;0) \ 3m ∈ −∞ − 4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C 0 ) tại M, biết x M =3. Đs:y=9x-23 5) Viết phương trình tiếp của (C 0 ), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (a):y=9x+2. Đs: y=9x-23, y=9x+9 BTVN: : Cho hàm số :y= -x 3 +mx 2 +(m-3)x-4, có đồ thò (C m ). 1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C 3 ), khi m=3. 2) Dựa vào đồ thò (C 3 ), biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x 3 -3x 2 +4-a=0. 3) Tìm m để (C m ) cắt trục 0x tại 3 điểm phân biệt. Đs:m<-5 hoặc m>3 và m ≠ 6 4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C 3 ) tại M, biết x M =3. Đs:y= -9x+23 5) Viết phương trình tiếp của (C 3 ), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (a):y= 1 9 x+2. Đs: y= -9x+23, y= -9x-9 6) Tìm m để (C m ) tiếp xúc trục 0x. Đs: m= -6, m= -5, m=3. 7) Một đường thẳng (d) đi qua N(-1;0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của (d) và (C 3 ). Bài 2 Cho hàm số y=x 4 -4x 2 +3, có đồ thò (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thò (C). 2. Tìm a để y= -2x 2 +a tiếp xúc (C). 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục 0x. 4. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x 4 -4x 2 -m 2 +3m+4=0 BTVN: Cho hàm số y= -x 4 +4x 2 -3, có đồ thò (C). 1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C). 2) Tìm a để y= -2x 2 +a tiếp xúc (C). 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục 0x. • Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m) (*) • Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng (d) : y= h (m) • Dựa vào đồ thò (C ) , ta có kết quả : ( . Nếu (d) và (C ) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn . . Nếu (d) và (C ) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm . . Nếu (d) và (C ) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép ). Trường THPT Thăng Long – Lâm Hà Tài liệu ơn thi tốt nghiệp năm học 2009 - 2010 4) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x 4 -4x 2 -m 2 +3m+4=0 5) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình (H) giới hạn bởi trục 0x, đồ thò (C) quay quanh trục 0x. Bài 3: Cho hàm số 4 2 1 4 y x x= − + ,(C) 1. Khảo sát và vẽ (C). 2. Tìm a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x 4 -4x 2 +4a 2 -4=0 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục 0x. 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình (H) giới hạn bởi trục 0x và đồ thò (C) khi (H) quay quanh trục 0x. Bài4:Cho hàm số y= 2 ,( ) 1 m mx C x m + + − 1. Khảo sát và vẽ (C 0 ), khi m=0. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C 0 ), biết tiếp tuyến vuông góc với (a):2x-y+3=0 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi (C 0 ), x= λ ( λ <0), x=0, trục 0x quay quanh trục 0x. Tìm λ để V 0x =2 π . 4. Tìm m để (C m ) giảm trên từng khoảng xác đònh. BTVN: Cho hàm số y= 2 ,( ) m mx C mx m − + 1. Khảo sát và vẽ (C 1 ), khi m=1. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C 1 ) được kẻ từ A(-3;0). 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C 1 ), biết tiếp tuyến vuông góc với (a):x+3y+2005=0 4. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C 1 ) được kẻ từ M(-1;1). 5. Chứng minh đồ thò nhận điểm M làm tâm đối xứng. 6. Tìm m để (C m ) tăng trên từng khoảng xác đònh. 5. Tìm m để (C m ) tăng trên khoảng (-1;+ ∞ ). Vấn đề 4:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài toán: Tìm giátrò lớn nhất – giá trò nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên Khoảng (a ; b ) Đoạn [a;b ] • Tính y’ • Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) • Kết luận : ( ) ; max CD a b y y= hoặc ( ) ; min CT a b y y= • Tính y’ • Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm ( ) 0 ;x a b∈ • Tính y (x 0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M , kết luận : [ ] ; max a b y M= Chọn số nhỏ nhất m , kết luận : [ ] ; min a b y m= Bài tập 5/Tìm GTLN- GTNN củahàm số sau trên mỗi tập tương ứng : a/ ( ) 3 2 2 3 12 1f x x x x= − − + trên 5 2; 2 − b/ ( ) 2 .lnf x x x= trên [ ] 1;e c/ ( ) 4 1 2 f x x x = − + − + trên [ ] 1;2− e/ xxy 2 cos+= trên ] 2 ;0[ π f/ 2 4).2( xxy −+= trên tập xác đònh g/ y = x 3 + 3x 2 - 9x – 7 trên [ - 4 ; 3 ] h/ y = x + 2 1 1x − trên ( ) 1;+∞ m/ y= 2 cos 2 4sinx x+ trên 0; 2 π . Trong phương trình trên có ba tham số x 0 ; y 0 ; y’(x 0 ) .Nếu biết một trong ba số đó ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y 0 = f (x 0 ) ; y’(x 0 )= f ’(x 0 ) Trường THPT Thăng Long. y’ (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x 0 ; y 0 ) • Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x 0 ) = a • Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y. thi tốt nghiệp năm học 2009 - 2010 a/ Tại điểm có hoành độ x 0 = 2 1 b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1 4/ Cho hàm số y = 4 2 2 3x x− − có đồ thò ( C ) .Viết phương