SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN KIỂM TRA HỌC KỲ II MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 1,0 1a 0,5 Ta có: − →− − = − 2 lim ( 1) 3 x x , − →− + = 2 lim ( 2) 0 x x và + <2 0x với mọi < −2x Suy ra − →− − = +∞ + 2 1 lim 2 x x x 0,5 1b 0,5 →+∞ →+∞ − + + − = − + + − = −∞ 3 2 3 2 3 2 4 1 lim ( 2 4 1) lim ( 1 ) x x x x x x x x x 0,5 2 2,0 TXĐ : ¡ Hàm số liên tục tại mọi ≠ 1x , ta xét tính liên tục của hàm số tại x =1. 0,5 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 3 1 3 2( 1) lim lim 1 ( 1)( 3 1 3) 2( 1) lim 3 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x → → → + − + − = − − + + + + = + + + = 0,75 (1)f a= 0,25 Hàm số liên tục tại = 1x khi và chỉ khi → = 1 lim ( ) (1) x f x f khi và chỉ khi a =1. Chú ý: Học sinh có thể sử dụng ĐN dạo hàm để tính giới hạn 0,5 3 3,5 Trang 1/ 4 3a 2,5 TXĐ : ¡ 2 3 4 4y x x ′ = − + + 0,25 Gọi 0 x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm, ta có hệ số góc của tiếp tuyến là : 2 0 0 3 4 4x x− + + . 0,25 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 5x - 2010 khi và chỉ khi hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5 hay 2 0 0 3 4 4 5x x− + + = . 0,25 2 2 0 0 0 0 0 0 3 4 4 5 3 4 1 0 1 1 3 x x x x x x − + + = ⇔ − + − = = ⇔ = 0,5 Với 0 1x = , ta có 0 4y = , phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 5( 1) 4y x= − + hay 5 1y x= − . 0,5 Với 0 1 3 x = , ta có 0 14 27 y = , phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 1 14 5( ) 3 27 y x= − + hay 31 5 27 y x= − . 0,5 Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu bài toán là : 5 1y x= − và 31 5 27 y x= − . 0,25 3b 1.0 Với ≠x 1 , xét hàm số: = + + + + 2 3 4 2010 f (x) x x x x − = − 2 2009 x (x 1) x 1 − = − 2011 2 x x x 1 . Ta có: ′ = + + + + 2 3 2009 f (x) 2x 3x 4x 2010x − − + = − 2011 2010 2 2 2010x 2011x x 2x (x 1) . 0,5 Trang 2/ 4 Suy ra: 2 3 2009 2 3 4 2010x x x x+ + + + − − + = − 2011 2010 2 2 2010x 2011x x 2x (1) (x 1) . Thay x = 2 vào (1), ta được: − − + = + + + + = − = − 2011 2010 2 2 3 2009 2 2010 2010.2 2011.2 2 2.2 2.2 3.2 4.2 2010.2 (2 1) 2 (2010.2 2011) S = 2010 2009.2 Vậy = 2010 2009.2S Chú ý: Học sinh có thể xét hàm số = + + + + + 2 3 4 2010 f (x) x x x x x 0,5 4 3,5 4a 1,0 Do S.ABCD là hình chóp đều nên ( D)SO ABC⊥ , các cạnh bên bằng nhau và tạo với mặt đáy các góc bằng nhau Ta có: 2 2 2 a AC a OC= ⇒ = · 0 0 45 os45 OC SCO SC a c = ⇒ = = Vậy SA = SB = SC = SD = a 1,0 4b 1,5 Do ( D) DSO ABC B SO⊥ ⇒ ⊥ Mặt khác, DB AC⊥ ( tứ giác ABCD là hình vuông) Suy ra: D ( )B SAC⊥ (1) ( )OM SAC⊂ nên từ (1) suy ra DOM B⊥ (2) 0,5 Xét tam giác SOC vuông tại O, có · 0 45SCO = nên là tam giác vuông cân tại O, M là trung điểm SC suy ra OM SC⊥ (3) 0,25 Từ (2), (3) và giả thiết suy ra OM là đường vuông góc chung của BD và SC. 0,25 Do đó ( , )d BD SC OM= Trang 3/ 4 S A B C D O M Trong tam giác SOC vuông tại O, OM là trung tuyến nên 1 2 2 a OM SC= = Vậy ( , ) 2 a d BD SC = . 0,5 4c 1,0 Ta có, các tam giác SCB và SCD là các tam giác đều cạnh a (c/m trên) và M là trung điểm của SC nên BM SC⊥ , DM SC⊥ và 3 2 a BM DM= = Do đó góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng BM và DM 0,5 Trong tam giác BM D, ta có: · 2 2 2 D os osBMD 2BM.DM BM DM B c c ϕ + − = = ( ) 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 a a a − ÷ = ÷ 1 3 = Vậy 1 os 3 c ϕ = Chú ý: Nếu học sinh vẽ sai hình thì trừ 0,5 điểm của câu 4. 0,5 - - - Hết - - - Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Trang 4/ 4 . SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN KIỂM TRA HỌC KỲ II MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) . là: 1 14 5( ) 3 27 y x= − + hay 31 5 27 y x= − . 0,5 Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu bài toán là : 5 1y x= − và 31 5 27 y x= − . 0,25 3b 1.0 Với ≠x 1 , xét hàm số: = + + + + 2 3 4 2010