Chơng I Căn bậc hai - căn bậc ba I. Các kiến thức lý thuyết của chơng. +) Nếu a 0, x 0, a = x <=> x 2 = a +) AA = 2 +) Để A có nghĩa thì A 0 +) )0,0(. = BABAAB +) B A B A = ( A 0, B > 0) +) )0( 2 = BBABA +) = 0,0; 0,0; 2 2 BABA BABA BA +) B BA B A = ( A và B cùng dấu, B 0) +) B BA B A = (A 0, B > 0) +) );0,( )( CBCB CB CBA CB A = + +) );0,( )( CBCB CB CBA CB A + = +) );0( )( 2 CBB CB CBA CB A = Lu ý: CB + và CB đợc gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau, CB + và CB cũng đợc gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau II. Các dạng toán về căn bậc hai A. đối với học sinh tb, yếu Dạng 1. Tìm điều kiện xác định 1. Lu ý khi tìm điều kiện xác định của một biểu thức + Nếu biểu thức chứa biến nằm trong căn bậc hai .Tìm điều kiện của biển để biểu thức trong căn không âm. 2. Kiến thức cần nắm khi tìm điều kiện xác định của biểu thức dới dấu căn - Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b 0 (1) (1) ax - b (*) ( Chuyển vế) Nếu a > 0, (*) x a b ( Chia cả hai vế cho một số dơng thì bất đẳng thức không đổi chiều) Nếu a < 0, (*) x a b (Chia cả hai vế cho một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều) - Ví dụ: 2x - 1 0 2x 1 x 2 1 3. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa a) 3x ; b) 12 x ; c) 23 +x Giải a) Để 3x có nghĩa thì x - 3 0 x 3. b) Để 12 x có nghĩa thì 2x - 1 0 2x 1 x 2 1 c) Để 2 2 3 +x có nghĩa thì 2 3 x + 2 0 2 3 x -2 x 3 4 Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các biểu thức sau a) 2+ x ; b) 2 3 1 + x ; c) 3 2 2 x ; d) 1 2 +x Giải a) Để 2+ x có nghĩa thì -x + 2 0 - x -2 x 2. Vậy tập xác định của 2+ x là {x/ x 2} b) Để 2 3 1 + x có nghĩa thì - 3 1 x +2 0 - 3 1 x - 2 x 6 Vậy tập xác định của 2 3 1 + x là {x/ x 6} c) Để 3 2 2 x có nghĩa thì 3 2 2 x 0 -2x 3 2 x 3 1 Vậy tập xác định của 3 2 2 x là {x/ x 3 1 } d) Do x 2 0 với mọi x nên x 2 + 1 1 với mọi x, do đó 1 2 +x luôn có nghĩa với mọi x. Dạng 2: So sánh các căn bậc hai 1. Kiến thức cần nắm - Đa thừa số vào trong dấu căn, đa thừa số ra ngoài dấu căn. - baba = (a, b 0) 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: So sánh: a) 15 và 4; b) 2 5 và 23 c) 3 2 và 2 3 Giải: a) Ta có: 4 = 16 mà 15 < 16 do đó 15 < 4 b) Ta có: 2 205 = mà 20 < 23 do đó 2 5 < 23 c) Ta có: 3 2 18= ; 1232 = mà 18 > 12 do đó 3 2 > 2 3 Ví dụ 2: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần 12; 6 3 ; 5 5 ; 8 2 Giải: Ta có: 12 = 144 ; 6 3 = 108 ; 5 5 = 125 ; 8 2 = 128 Mà 108 < 125 < 128 < 144 Vậy ta có: 6 3 < 5 5 < 8 2 < 12 Dạng 3: Biến đổi biểu thức chứa dấu căn - Rút gọn 1. Lu ý khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn + Vận dụng chính xác hằng đẳng thức AA = 2 +) Vận dụng đúng các công thức về trục căn ở mẫu, khử mẫu. +) Quy tắc khai phơng chỉ áp dụng cho tích và thơng(không áp dụng cho tổng và hiệu) 2. Kiến thức cần nắm khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn +) Hằng đẳng thức căn bậc hai. +) Các quy tắc khai phơng, trục căn ở mẫu, khử mẫu +) So sánh các căn bậc hai +) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ: -) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 -) (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 -) a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) -) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) -) a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) -) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 3 + b 3 -) (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 3 - b 3 +) Tính chất cơ bản của phân số )0,0(; . . = mb b a mb ma +) Phân tích đa thức thành nhân tử. 3. Các ví dụ: Ví dụ 1:Tính a) 56.14 b) 12. 7 3 3. 2 1 3 c) 50182 + Giải a) 56.14 = 282.144.144.144.14.1456.14 22 ===== b) 121212. 7 24 . 2 7 12. 7 24 . 2 7 12. 7 3 3. 2 1 3 2 ==== c) 50182 −+ = 2 +3 2 -5 2 = (1 + 3 - 5) 2 = 2 VÝ dô 2: Rót gän a) ;)7()5( 22 −+− b) 2 )31( − c) 22 )32()32( +−− Gi¶i a) 22 )7()5( −+− = 75 −+− = 5 + 7 = 12 b) 2 )31( − = 31− = 13 − c) 22 )32()32( +−− = 323232)32()32(3232 −=−−−=+−−=+−− VÝ dô 3: Rót gän a) 22 21 − − b) a a + − 1 1 ( a ≥ 0) c) 31 1 31 1 + − − , d) xx − + + 1 2 1 2 ( 0 ≤ x ≠ 1) Gi¶i a) 22 21 − − = 2 1 )12(2 21 −= − − b) a a + − 1 1 = a a aa −= + +− 1 1 )1)(1( (a ≥ 0) c) 31 1 31 1 + − − = 2 )31(31 31 31 31 31 )31)(31( 31 )31)(31( 31 − −−+ = − − − − + = −+ − − +− + = 3 2 32 2 3131 −= − = − +−+ d) xx − + + 1 2 1 2 = )1)(1( )1(2 )1)(1( )1(2 xx x xx x +− + + −+ − = x x x x − + + − − 1 22 1 22 = xx xx − = − ++− 1 4 1 2222 (0 ≤ x ≠ 1) VÝ dô 4: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) A = + x x xx 2 4 . 2 1 2 1 Với 0 < x 4 b) B = + + + 1 1 : 11 x x x x x x Với 0 x 1 c) C = )1(22. 2 1 . 1 1 2 >+ xx x x Giải: a) Ta có : A = + + + x x xx x xx x 2 4 . )2)(2( 2 )2)(2( 2 = x x x xx x x x x x x 2 4 . 4 22 2 4 . 4 2 4 2 ++ = + = 1 2 4 . 4 2 = x x x x (Với 0 < x 4) b) Ta có: B = + + + 1 1 : 11 x x x x x x = 1 1 . )1)(1( )1( )1)(1( )1( + + + + + x x xx xx xx xx = 1 2 1 1 . 11 + = + + + x xx x x x xxx x xxx Với 0 x 1 c) Ta có: C = )1(1)1( )1(2 )1)(1)(1(2 )22.( 2 1 . 1 1 2 2 >+=+= ++ =+ xdoxx x xxx x x x Bài tập Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: a) 53 +x b) 3 2 +x ; c) 12 + x Bài 2: So sánh : a) 2 và 5 b) 3 2 và 17 c) 6 1 26 2 1 v Bài 3: Tính : a) 75.12 b) 25 36 . 25 24 1. 9 7 2 c) 12 21 7 25 d) 0,04.25 ; e) 90.6,4 ; f) 25 121 g) 9 1 16 h) 2 18 Bµi 4. T×m x biÕt: a. 2 5x = ; b. 2 10x = − ; c. 2 9 6x = Bµi 5: Rót gän a) 80205 ++ b) 24.23123 ++ c) 16x4xx +− (x ) 0 ≥ Bµi 6 . Gi¶i ph¬ng tr×nh a. 2 2 3 2 2 8x x x− + − − − = b. 1 3 4 4 16 16 6x x x+ + + − + = Bµi 7: TÝnh a) 2 )21( − b) 3)23( 2 +− Bµi 8 : TÝnh: a) 22 7)7( +− b) 22 )52()35( −+− Bµi 9. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a. x 2 - 7; b. 27 18− ; c. 15 12− Bµi 10: Rót gän: a) 55 15 − − b) aa a + +1 (víi a > 0) c) 1 1 + − a a (víi a ≥ 0) Bµi 11: Rót gän: a) 32 1 32 1 + + b) 21 2 21 2 + c) 52 1 32 1 + Bài 12: Rút gọn: a) 1 1 1 + + xx 1 b) yxyx + 11 Bài 13 : Rút gọn: a) 2 9 . 3 1 3 1 + x xx b) 4 1 : 2 2 2 2 + + + x x x x x B. đối với học sinh Khá, giỏi Dạng 1. Tìm điều kiện xác định * Lu ý khi tìm điều kiện xác định của một biểu thức + Nếu biểu thức chỉ chứa biến ở mẫu. Tìm điêù kiện của biển để mẫu khác 0. + Nếu biểu thức chỉ chứa biến nằm trong căn bậc hai ( Hoặc chẵn). Tìm điều kiện của biển để biểu thức trong căn không âm. + Nếu biểu thức có biến vừa nằm trong dấu căn vừa nằm ở mẫu thì ta tìm điều kiện của biến để vừa thoả mãn cả mầu khác 0 và biểu thức dới dấu căn không âm. 2. Kiến thức cần nắm khi tìm điều kiện xác định của biểu thức dới dấu căn -) Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b 0 (1) -) Tích a.b âm khi a và b khác dấu, tích a.b dơng khi a và b cùng dấu ( Hay nói cách khác: a.b 0 0 0 0 0 b a b a ; a.b 0 0 0 0 0 b a b a 0 b a 0 0. b ba ; 0 b a 0 0. b ba -) a n xx == n a ( a 3. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa a) 3 1 2 3 x + 12 x ; b) 2 23 + + x x c) 12 3 + x x Giải a) Để 3 1 2 3 x + 12 x có nghĩa thì 2 1 2 1 9 2 12 3 1 2 3 012 0 3 1 2 3 x x x x x x x b) Để 2 23 + + x x có nghĩa thì 2 3 2 2 3 2 2 23 02 023 < < > >+ x x x x x x x c) Để 12 3 + x x có nghĩa thì < < > <+ >+ + 2 1 3 2 1 3 2 1 3 012 03 012 03 0 12 3 x x x x x x x x x x x x Ví dụ 2: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa: a) 1 2 x ; b) )1)(2( + xx ; c) 23 2 + xx , d) 32 24 + xx Giải a) Cách 1: Để 1 2 x có nghĩa thì x 2 - 1 0 x 2 1 x -1 hoặc x 1 Cách 2: Để 1 2 x có nghĩa thì x 2 - 1 0 (x-1)(x+1) 0 + + 01 01 01 01 x x x x 1 1 1 1 1 1 x x x x x x (Theo cách giải 1 thì ta thấy đơn giản hơn nhng Cách giải 2 lại áp dụng cho nhiều bài tập dạng nh câu b và câu c) b) Để )1)(2( + xx có nghĩa thì ( x - 2)( x+ 1) 0 + + 01 02 01 02 x x x x 1 2 1 2 x x x x 1 2 x x c) Để 23 2 + xx có nghĩa thì - x 2 + 3x - 2 0 (1 - x)(x - 2) 0 21 2 1 2 1 02 01 02 01 x x x x x x x x x d) Để 32 24 + xx có nghĩa thì x 4 + 2x 2 - 3 0 (x 2 - 1)(x 2 +3) 0 x 2 - 1 0 x 1 hoặc x -1 Ví dụ 3: Tìm điều kiện để 32 2 + xx có nghĩa Giải [...]... A2 + 2A + 7 6) Bài tập Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức a) 1 2 x2 4 ; b) 1 9 x 2 + 3 ; 2x 1 c) x 2x 1 ; d) 2 x 3 + 3x 2x + 1 Bài 2 Tìm a để các căn thức sau đây có nghĩa a 3 ; a2 Bài 3 : Tính a) 6 + 2 5 3 ; a 1 b b) 52 6 c c) 5 ; a+6 7 2 10 + 2 d a 2 + 1 d) 3 8a 3 5a Bài 4: Rút gọn: A = (2 3 + 3 2 ): 6 - 2 2 B = 14 6 5 14 + 6 5 C = 4 7 4+ 7 D = 5 3 29 12 5 E= 3 1 21... Cho biết x 2 6 x + 12 x 2 6 x + 11 = 1 x +1 1 Với 0 x Tính x 2 6 x + 12 + x 2 6 x + 11 đề 2 Phần trắc nghiệm : (3đ) Khoanh tròn vào các kết quả mà em cho là đúng 49 16 bằng 81 121 a) Giá trị của biểu thức A 7 11 B 4 9 C 7 9 D a) Giá trị của biểu thức (2 3 ) 2 bằng A.1 B 32 C 2 3 b) Điều kiện xác định của biểu thức 2 x 1 là A x > 1 2 B.x 1 2 C.x< 1 2 c) Nghiệm của phơng trình (2 x + 3)... thì x2 - 2x + 3 0 x2 - 2x +1 + 2 0 (x +1)2 + 20 Ta thấy (x + 1)2 0 nên (x +1)2 + 2 2 Vậy với mọi x thì x 2 2 x + 3 luôn có nghĩa Dạng 2: Biến đổi biểu thức chứa dấu căn 1 Lu ý khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn + Vận dụng chính xác hằng đẳng thức A2 = A + Vận dụng đúng các công thức về trục căn ở mẫu, khử mẫu 3 Kiến thức cần nắm khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn +) Hằng đẳng thức căn bậc hai... 1- Sn Bi 9 : Cho biu thc A = x 1 2 1 + x + 2 x 3 1 x x +3 a) Rỳt gn A b) Tớnh giá tr ca biu thc A khi x = 11 6 2 c) T ỡm giỏ tr nguyờn ca x A cú giỏ tr l mt s nguyờn ? Bài 10 Cho biểu thức P = 1 + x + 2 x + 4 x x 2 x +3 5 a) Rút gọn P b) Tìm x để P > 1 Bài 11: Cho ax3 = by3 = cz3 và 1 1 1 + + =1 x y z Chứng minh: 3 ax 2 + by 2 + cz 2 = 3 a + 3 b + 3 c 2 x x 1 3 11 x x9 x +3 x... trị nào của x thì biểu thức có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm x để P < 1 Bài 13: Rút gọn các biểu thức: 2 3 2 4 2 5 A = 1 + 1 + 1 + 1 + B= 1 1+ 2 + 1 2+ 3 + 2 2 1+ 20 09 2006 1 3+ 4 + + 1 n + n +1 ; n N* Đề kiểm tra chơng I Đề 1 Thời gian: 90 phút Câu 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức a) 2 x 3 b) x 2 3 Câu 2: Tính a) 7 + 28 1 63 2 Câu 3: Cho biểu thức: A = b) 1 x 1 1 + (5 2 6 ) 2 -5... 2 22 + 5 + 3 = 10 2 22 Do B < 0 nên B = - 10 2 22 Ví dụ 3: Chứng minh rằng với x, y dơng thì biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x A= ( x y ) 2 + 4 xy x+ y x yy x xy Giải: Ta có: A = x + y 2 xy + 4 xy x+ y xy ( x y ) = x+ y- x+ y =2 y xy = x + y + 2 xy x+ y x+ y Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của x Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức A = 3 7 + 5 2 + 3 7 5 2 Giải: Cách 1: Ta có... So sánh các số sau a) 2001 2000 và 2002 2001 b) 3 7 và 1 260 2 Bài 3 (3 đ) Cho biểu thức P= 1 x 1 1 1 x +1 : x 3 x 2 x + 2 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của x để P nguyên 28 99 D 4 - 3 D.x 1 2 D -1 ; - 4 ... 2 10 + 2 d a 2 + 1 d) 3 8a 3 5a Bài 4: Rút gọn: A = (2 3 + 3 2 ): 6 - 2 2 B = 14 6 5 14 + 6 5 C = 4 7 4+ 7 D = 5 3 29 12 5 E= 3 1 21 12 3 + 3 1 21 12 3 Bài 5: Tìm x a) 16 x = 8 b) 4x = 5 9 ( x 1) = 21 c) d) 4( 1 x) 6 = 0 2 Bài 6: Rút gọn A= x 2 x +1 1 + 2 x 3x B= 1 1 a + ; 2 a 2 2 a + 2 a 1 C= x +1 : + x 2 x +1 x x+ x 1 x 1 x2 x x Bài 7 Tìm ĐKXĐ và Rút gọn A = x + 2x 1 . tròn vào các kết quả mà em cho là đúng a) Giá trị của biểu thức 121 16 . 81 49 bằng A. 11 7 B . 9 4 C. 9 7 D . 99 28 a) Giá trị của biểu thức 2 )32( bằng A . 1 B . 23 C . 32 D. 4. 75.12 b) 25 36 . 25 24 1. 9 7 2 c) 12 21 7 25 d) 0,04.25 ; e) 90 .6,4 ; f) 25 121 g) 9 1 16 h) 2 18 Bµi 4. T×m x biÕt: a. 2 5x = ; b. 2 10x = − ; c. 2 9 6x = Bµi 5: Rót gän a) 80205. chính xác hằng đẳng thức AA = 2 +) Vận dụng đúng các công thức về trục căn ở mẫu, khử mẫu. +) Quy tắc khai phơng chỉ áp dụng cho tích và thơng(không áp dụng cho tổng và hiệu) 2. Kiến thức cần nắm