THUC HANH GIAI TOAN THCS

Một số gợi ý để đi đến chứng minh đợc hai đoạn thẳng bằng nhau.. Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, v.v.... Định nghĩa trung

Trang 1

Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268

I - chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

A Một số gợi ý để đi đến chứng minh đợc hai đoạn thẳng bằng nhau

1 Hai đoạn thẳng có cùng số đo

2 Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba

3 Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân, của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một

4 Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác

đều, tam giác vuông, v.v

5 Hai cạnh tơng ứng của 2 tam giác bằng nhau

6 Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến của tam giác,

định nghĩa trung trực của đoạn thẳng, định nghĩa phân giác của một góc

7 Tính chất của một hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang cân

8 Tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất cạnh đối diện với góc

300 trong tam giác vuông

9 Tính chất giao điểm ba đờng phân giác trong tam giác, tính chất giao điểm ba

đờng trung trực trong tam giác

10 Định lí đờng trung bình của tam giác, đờng trung bình của hình thang

11 Các tính chất của dây cung, cung bằng nhau của đờng tròn

12 Tính chất các tỉ số bằng nhau

13 Một số định lí nh Talét, Pitago

14 Tính chất hai đoạn thẳng song song chắn giữa hai đờng thẳng song song

15 Các tính chất của phép tịnh tiến, phép đối xứng, phép quay

B Một số ví dụ

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC có AP là phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A,

vẽ tai Px sao cho góc CPx bằng góc BAC tia này cắt AC ở E Chứng minh rằng PB = PE

Hớng dẫn giải

Xét 3 trờng hợp: BAC < 900 ; BAC = 900 ; BAC > 900

Năm học 2007 - 2008

1

K

x

E A

H

P

B H A x E

C P

B

P

C K

A H

E

Trang 2

a Với BAC < 900

Vẽ PH AB và PHAC  PH = PK

BAC + BPE = 1800

BAC = CPE(gt)   BPE = HPK

BAC + HPK = 1800 BHP = EPK BPH = EPK (g.c.g)  PB = PE

Bài toán 2:

Cho (O) và đờng thẳng xy ở ngoài (O) Kẻ OAxy Qua A kẻ 1 cát tuyến cắt (O) tại B và C Tiếp tuyến tại B và C cắt xy lần lợt tại D và Chứng minh rằng A là trung

điểm của đoạn thẳng DE

GT

xy ở ngoài (O)

OAxy

OBBD tại B

OCEC tại C

KL AE = AD

1 Phân tích tìm tòi cách giải

+ Muốn chứng minh A là trung điểm của DE, ta

chứng minh AE = AD.

+ Muốn chứng minh AE = AD, có nhiều cách,

chẳng hạn ta chứng minh OAE = OAD

+ Muốn chứng minh OAE = OAD ta chứng

minh OE = OD.

Muốn chứng minh OE = OD ta chứng minh

OCE = OAD.

+ Muốn chứng minh OAE = OAD ta phải

chứng minh COE = BOD.

+ Muốn chứng minh COE = BOD ta phải chứng

minh COE = CAE và BOD = CAE.

Ta có : DOB = CAE vì 2 góc cùng bù với BAD

do tứ giác ABOD nội tiếp ; COE = CAE vì tứ

giác COAE nội tiếp  đpcm.

gt gt COAE ; ABOD COE = CAE và BOD = CAE

COE = BOD OCE = OAD

OE = OD OAE = OAD

AE = AD

A là trung điểm của DE.

2 Lời giải (tóm tắt)

B A

D y E

A

Trang 3

Tứ giác COAE nội tiếp  COE = CAE ( cùng chắn cung CE)

Tứ giác ABOD nội tiếp  DOB = CAE ( hai góc cùng bù với BAD)

 COE = DOB  OCE = ODA  OE = OD

 OAE = OAD  AE = AD

Bài toán 3:

Cho đờng thẳng xy cắt đờng tròn (O) tại hai điểm M và N Kẻ OA vuông góc với

xy Qua A kẻ 1 cát tuyến cắt (O) tại B và C Tiếp tại B và C lần lợt cắt xy tại D và

E So sánh độ dài hai đoạn thẳng AE và AD

Gợi ý: Vận dụng phơng pháp giải bài toán 3 ta chứng minh đợc AE = AD.

II - chứng minh hai góc bằng nhau

a một số gợi ý để đi đến chứng minh đợc hai góc bằng nhau.

1 Sử dụng hai góc có cùng số đo

2 Sử dụng góc thứ ba làm trung gian ( hai góc cùng bằng một góc ), hai góc cùng phụ với một góc, hai góc cùng bù với một góc

3 Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của hai góc tơng ứng bằng nhau

4 Sử dụng định nghĩa phân giác của một góc

5 Hai góc đối đỉnh

6 Sử dụng tính chất hai đờng thẳng song song (đồng vị, so le, )

7 Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tơng ứng song song hoặc vuông góc

8 Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau

9 Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung

10 Hai góc đáy của một tam giác cân

11 Các góc của một tam giác đều

12 Sử dụng các tính chất về góc của một hình bình hành

13 Sử dụng kết quả của hai tam giác đồng dạng

14 Sử dụng các tính chất của tam giác, tứ giác nội, ngoại tiếp một đờng tròn

15 Sử dụng hàm số lợng giác sin, cos, tg và cotg

16 Sử dụng tính chất của các phép tịnh tiến, đối xứng, quay

B Một số bài toán minh hoạ.

Bài toán 1:

Cho ba điểm ABC không thẳng hàng, ta lấy theo thứ tự các điểm D và E tên các

đoạn thẳng BA và CA sao cho BD = CE Gọi M, N là trung điểm của BC và DE, đ -ờng thẳng qua MN lần lợt cắt AB và AC tại P và Q Chứng minh góc MPB bằng góc MQC

GT

xy ở ngoài (O)

OAxy

OBBD tại B

OCEC tại C

KL AE = AD

1 Phân tích, tìm cách giải.

* Sơ đồ:

Năm học 2007 - 2008

3

Q A P

D

B

E N

O

Trang 4

3 Lời giải tóm tắt.

Bài toán 2:

Cho D là trung điểm của đoạn thẳng Am Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ nửa đơng tròn đờng kính AM và nửa đờng tròn đờng kính AD Tiếp tuyến tại D của

đờng tròn nhỏ cắt đờng tròn lớn tại C và các tiếp tuyến tại C và A của đờng tròn lớn cắt nhau tại B Nối P bất kì trên cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa đờng tròn nhỏ tại K

Chứng minh AP là tia phân giác của góc BAK

GT

DA = DM

CDAD tại D

BAAD tại A

CBCD tại C

P  cung AC

KL AP là phân giác

của BAK

1 Phân tích, tìm cách giải

* Cách 1:

- Muốn chứng minh AP là tia phân giác của góc BAK ta chứng minh BAP = KAP

- Muốn chứng minh BAP = KAP ta chứng minh cung AP = cung PQ

- Muốn chứng minh cung AP = cung PQ ta chứng minh DPAQ tại K

+ DPAQ tại K vì AKD chắn nửa đờng tròn đờng kính AD

Ta có lời giải tóm tắt:

AKD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn, đờng kính AD).

Vậy DPAQ tại K nên cung AP bằng cung PQ

Từ đó suy ra BAP = KAP (cùng chắn 2 cung bằng nhau)

* Cách 2:

- Muốn chứng minh AP là tia phân giác của góc BAK ta chứng minh BAP = KAP Muốn chứng minh BAP = KAP, ta tạo ra 2 tam giác có hai góc này Từ P hạ đờng PNAB và đi chứng minh cho tam giác vuông NAP bằng tam giác vuông KAP Muốn chứng minh NAP = KAP, ta chứng minh, chẳng hạn NPA = PAD, và

có AP là cạnh huyền

Muốn chứng minh NAP = PAD ta chứng minh, chẳng hạn NAP = PAD và PAD = KPA

* NPA = PAD ( vì PN//DA - 2 góc so le trong)

PAD = KPA ( vì 2 góc đáy của tam giác cân APD)

Lời giải tóm tắt:

DA = DP ( cùng bán kính)  ADP cân  PAD = APD

mà PAD = NPA ( vì PN//DA - 2 góc so le trong)

Vậy NPA = KPA

PNA = PKA vì có AP là cạnh huyền chung và NPA = KPA

Do đó ta có NAP = KAP

B

1

P

K

N

C Q M A

D

T

1

Trang 5

* Cách 3:

Ta đi chứng minh cho 2 góc NAP và KAP cùng bằng 2 góc bằng nhau

Nối A với P cắt đờng tròn đờng kính AD tại T Nối D với T, ta dễ dàng nhận ra : D1 = D2 Vì DAP là tam giác cân ở D mà DT vuông góc với đáy AP Đồng thời ta lại

có KAP = D1 = D2

Ta chỉ cần chứng minh D1 = D2 = NAP  đpcm

Ta có lời giải tóm tắt nh sau:

Ta có: ADP cân ở D mà DTAP  D1 = D2

Mà D1 = KAP ( chắn cung TK)

D2= NAP (hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc)

Vậy KAP = NAP ( bài toán đợc chứng minh)

Bài toán 3:

Cho tam giác ABC vuông ở A có AB < AC nội tiếp đờng tròn tâm O vẽ đờng cao

AH và bán kính OA

Chứng minh rằng OAH = B - C

GT

BAC = 900

A, B, C (O)

AHBC

KL OAH = B - C.

1 Phân tích, tìm cách giải.

Với gt đã cho, có nhiều cách chứng minh Sau đây tôi chỉ xin nêu 1 cách:

Ta dễ dàng nhận ra ngay B = OAB ( Vì OA = OB cùng bán kính)

Do vậy muốn chứng minh OAH = B - C, ta phải chứng minh OAH = OAB - C + Muốn chứng minh OAH = OAB - C ta chứng minh BAH = C

+ Ta có BAH = C ( Vì 2 góc cùng phụ với B)  đpcm.

Bạn đọc tự giải

* Nhận xét:

Với giả thiết BAC = 90 0 ta đã chứng minh đợc OAH = OAB - C.

Vậy trong trờng hợp nếu BAC  90 0 ta có chứng minh đợc OAH = OAB - C không ?

Thiết lập bài toán tơng tự ta đợc bài toán sau:

Bài toán 4:

Cho tam giác ABC có A < 900, có AB < AC nội tiếp đờng tròn tâm O Vẽ đờng cao AH và bán kính OA

Chứng minh rằng OAH = B - C

GT

BAC < 900

A, B, C (O)

AHBC

Năm học 2007 - 2008

5

B

C O

H A

O H

x

Trang 6

KL OAH = B - C

Phân tích, tìm cách giải

Cách 1:

Theo gt ta có B > C, ta tạo ra trên hình vẽ B - C bằng cách lấy B làm đỉnh và BC làm cạnh, vẽ góc CBx bằng góc C Ta chỉ cần chứng minh ABx = OAH

Ta thấy :

- Tia Bx cắt (O) tại E

- AH kéo dài cắt (O) tại D

- Ba điểm EOD thẳng hàng vì CBE = C + CAE ( ở vị trí so le) nêm EA//BC  EAAH

Muốn chứng minh ABE = OAH Ta tìm cách chứng minh 2 góc này bằng góc thứ

3, chẳng hạn cùng bằng góc ADO

Ta có: ABE = ADE ( cùng chắn cung AE)

OAD = ADO ( góc đáy của tam giác cân AOD)

 Do đó bài toán đợc chứng minh (HS tự giải)

Cách 2:

ở cách 1 ta lấy B làm đỉnh và BC làm cạnh để tạo ra góc CB bằng góc C ở cách 2

ta thử lấy BA làm cạnh để tạo ra góc ABy bằng góc C

Ta chỉ cần chứng minh

EBC = OAH

Ta thấy:

Vì ABy = ABE = ACB

 A là điểm chính giữa

của cung BE  OABE

Từ đó ta dễ dàng chứng minh đợc EBC = OAH

Cách 3:

Cách 4:

Ta có thể vẽ thêm đờng phụ

Chẳng hạn vẽ đờng kính AA’,

rồi nối B với A’ Ta đợc

tam giác ABA’ vuông tại B

Ta có: OAH = 900 - ( A1 + A’)

Mà 900 - A1 = B

vì AHB là tam giác vuông và A’ = C ( 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung AB)

O H

A

E y

O

H

D

Trong cách 3 ta lấy C làm đỉnh

và BC làm cạnh để tạo ra hiệu

B - C trong nửa mặt phảng bờ BC chứa đỉnh A

Ta có BCE = CBA

Bài toán quy về cách chứng minh ACE = OAH

Để chứng minh ACE = OAH ta

có thể dùng kết quả chứng minh ở bài toán 1: Ta đợc E, O, D thẳng hàng suy ra ACE = OAH

.

H

A

O

1

Trang 7

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bạn đọc tự trình bày lời giải

Cách 5:

Tiếp tuyến tại A và đờng thẳng BC cắt nhau tại N Tam giác ABN có:

ABC = B là góc ngoài của tam giác

NAB = C ( hai góc cùng chắn 1 cung)

NAB = OAH ( hai góc cùng phụ với góc NAH)

Do đó: ABC = B = NAB + ANB = C + OAH

Bài toán đã có cánh giải Bạn đọc tự giải

III- chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau

a một số gợi ý để đi đến chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau.

1 Xét vị trí các cặp góc tạo bởi 2 đờng thăng định chứng minh song song với một

đờng thẳng thứ ba ( ở các vị trí đồng vị, so le, )

2 Sử dụng các tính chất của hình bình hành

3 Hai đờng thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba

4 Sử dụng tính chất đờng trung bình của một tam giác, một hình thang, hình bình hành

5 Sử dụng định nghĩa hai đờng thẳng song song

6 Sử dụng kết quả các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ để suy ra các đờng thẳng tơng ứng song song ( Định lí Talét )

7 Sử dụng tính chất đờng thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh bên hoặc trung

điểm hai đờng chéo của hình thang

B Một số bài toán minh hoạ

Bài toán 1:

Cho hình thang cân ABCD, có đáy lớn CD, đáy nhỏ AB Theo thứ tự từ A và B vẽ các đờng thẳng song song với BC và AD cắt hai đờng chéo BD và AC tại E và F Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân

GT

AB//CD

ADC = BCD

AE//BC ; BF//AD

KL EF//DC

EDC = FCD

1 Phân tích, tìm cách giải

Có nhiều cách để chứng minh DEFC là hình thang cân Ta có thể chứng minh

nh sau:

Năm học 2007 - 2008

7

.O

C H

B

A

N

C D

O

Trang 8

Muốn chứng minh tứ giác DEFC là hình thang cân, ta đi chứng minh:

a EF//DC

b EDC = FCD

* Muốn chứng minh EF//DC ta chứng minh chẳng hạn

OC

OF OD

OE



Ta tìm cách liên hệ các tỉ số

OD

OE và OC

OF với những dữ kiện giả thiết đã có Từ gt ta có:

OC

OA

OB

OE

 ( vì AE//BC) (1)

OA

OF

OD

OB

 (vì BF//AD) (2)

* Muốn chứng minh EDC = FCD, ta dễ dàng nhận ra từ điều kiện giả thiết đã cho

 ABCD là hình thang cân có hai góc ở đáy bằng nhau  đpcm

Nhận xét: Nếu ta thay đổi một số dữ kiện đề bài (giả thiết) ta có một số bài toán

tơng tự nh sau:

Bài toán 1.1: Cho hình thang ABCD, có đáy lớn CD, đáy nhỏ AB Theo thứ tự từ

A và B vẽ các đờng thẳng song song với BC và AD cắt hai đờng chéo BD và AC tại E

và F Tứ giác DEFC là hình gì?(Việc giải bài toán này tơng tự bài toán Ta chứng minh đợc tứ giác DEFC là hình thang.

Bài toán 1.2: Cho tứ giác ABCD lồi, theo thứ tự từ A và B vẽ các đờng thẳng song

song với BC và AD cắt hai đờng chéo BD và AC tại E và F Tứ giác DEFC là hình gì?

Bài toán 2:

GT

xAm = yAm

AnAm tại A

AC = AB

1 Phân tích, tìm tòi cách giải.

Có nhiều cách để chứng minh PQ//BC, sau đây chỉ là một cách trong nhiều cách

đó

Muốn chứng minh PQ//BC ta phải chứng minh đợc

QM

QM PM

PC

OC

OF OD

OE



bằng cách nhân (1) với (2)

 đpcm



Gọi Am là tia phân giác của góc

xAy Vẽ tai phân giác AnAm tại

A Trên tia Ax và tia đối của tia

Ax lần lợt lấy 2 điểm C và B sao

cho AC = AB Lấy điểm M bất kỳ

trên tia Ay Nối NC và MB lần lợt

cắt Am và An tại P và Q Chứng

minh rằng PQ//BC

C

n Q’

Q

P

M’

B

A

Trang 9

Mà

AM

AC

PM

PC

 (AP là tia phân giác CAM)

AM

AC QM

QB

 (AQ là tia phân giác BAM)



QM

PM

PC

2 Lời giải (tóm tắt)

Vì Am là tia phân giác của góc xAy mà AnAm  An cúng là tia phân giác của góc ABM

Ta có:

AM

AC

PM

PC

 (AP là tia phân giác CAM)

AM

AC

QM

QB

 (AQ là tia phân giác BAM)

Mà AC = AB (gt)



QM

PM

PC

  PQ//BC đpcm

Nhận xét:

Giả sử ta lấy thêm điểm M’Ay ta dễ dàng chứng minh đợc P’Q’//BC, PQ//P’Q’

Do đó ta có bài toán nh sau:

Bài toán 2.1:

Bài toán 3.

Cho tam giác ABN cân tại A Trên cạnh AN lấy điểm E, trên AN kéo dài lấy điểm

C sao cho EC = AN Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của BC và AE Chứng minh PQ song song với đờng phân giác trong của góc BAN

GT

AB = AN

EC = AN

BAI = NAI

QA = QE ; PB = PC

1 Phân tích tìm tòi lời giải.

Muốn chứng minh PQ//AI ta chứng

minh tứ giiác AQPI là hình bình hành

Muốn chứng minh cho tứ giác AQPI

là hình bình hành cũng có nhièu cách khác nhau, chẳng hạn nh ta tìm cách chứng minh cho AI // và bằng P hoặc AQ song song và bằng PI Ta loại h ớng chứng minh

AI song song và bằng PQ vì nó mâu thuẫn với ván đề đặt ra Với mục đích chứng minh PQ//AI Do đó ta đi chứng minh theo hớng: AQ// và bằng PI

Năm học 2007 - 2008

9

Gọi Am là tia phân giác của góc xAy Vẽ tai phân giác AnAm tại A Trên tia

Ax và tia đối của tia Ax lần lợt lấy 2 điểm C và B sao cho AC = AB Lấy điểm M,M’ bất kỳ trên tia Ay Nối NC và MB lần lợt cắt Am và An tại P và Q Nối M’C, M’B lần lợt cắt Am,An tại P’Q’ Tứ giác PQQ’P’ là hình gì?

.E A

I

Q

N B

P

C

Trang 10

Theo tính chất của tam giác cân, ta thấy ngay I là trung điểm của BBN Từ đó thấy ngay PI // và bằng 1/2 NC có nghĩa là PI cũng // và bằng 1/2 AE (vì AE = NC

đ-ợc suy ra từ EC= AN) Nhng 1/2 AE chính là AQ(theo gt)

Nh vậy bài toán đã có cách giải

2 Lời giải (tóm tắt)

Ta có: BAI = NAI (tg)

AB = AN (gt)

Suy ra: IB = IN

Mặt khác PB = PC (gt)  IP//=

2

1 NC

Nhng vì EC = AN (gt)  NC = AE  IP//=

2

1

AE =AQ Vậy PI//=AQ  tứ giác AQPI là hình bình hành  AI//PQ

Nhận xét: Nếu tam giác ABN không phải là tam giác cân và với giả thiết tơng tự

nh trên thì AI có song song với QP không? Câu trả lời dành cho bạn đọc.

Bài toán 4:

Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại E Qua E vẽ cát tuyến cắt (O) và (O’) tại B và D Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang

GT

AB = AN

EC = AN

BAI = NAI

QA = QE ; PB = PC

1 Phân tích, tìm tòi lời giải.

Vì (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại E nên tồn tại một tiếp tuyến chung của (O) và (O’) đi qua E, ta gọi tiếp tuyến này là MEN

Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thang ta phải chứng minh AB // CD Có nhiều cách để chứng minh AB // CD, chẳng hạn ta chứng minh cho một cặp góc tạo bởi AB, CD và AC là cặp góc so le trong và bằng nhau để suy ra AB // CD

Muốn chứng minh AB // CD ta đi chứng minh BAE = DAE

Ta thấy ngay: ABE = BEN (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cung cùng chắn một cung)

DCE = DEM (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cung cùng chắn một cung)

Mà BEN = DEM (hai góc đối đỉnh)

Do đó ta dễ dàng suy ra đpcm

2 Lời giải.

Qua E kẻ tiếp tuyến chung của (O) và (O’)

BAE =

2

1

BE ( góc nội tiếp) (1)

BEN =

2

1

BE (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) (2)

Từ (1) và (2)  BAE = BEN (a)

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	725 KB