THUC HANH GIAI TOAN THCS

Hình học ĐT: 0982.470.268 GV: Nguyễn hùng sơn - I - chứng minh hai đoạn thẳng A Một số gợi ý để đến chứng minh đợc hai đoạn thẳng Hai đoạn thẳng có số đo Hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba Hai đoạn thẳng tổng, hiệu, trung bình nhân, hai đoạn thẳng đôi Hai đoạn thẳng đợc suy từ tính chất tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, v.v Hai cạnh tơng ứng tam giác Định nghĩa trung điểm đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến tam giác, định nghĩa trung trực đoạn thẳng, định nghĩa phân giác góc Tính chất hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang cân Tính chất ®êng trung tun øng víi c¹nh hun, tÝnh chÊt c¹nh đối diện với góc 300 tam giác vuông Tính chất giao điểm ba đờng phân giác tam giác, tính chất giao điểm ba đờng trung trực tam giác 10 Định lí đờng trung bình tam giác, đờng trung bình hình thang 11 Các tính chất dây cung, cung đờng tròn 12 TÝnh chÊt c¸c tØ sè b»ng 13 Mét số định lí nh Talét, Pitago 14 Tính chất hai đoạn thẳng song song chắn hai đờng thẳng song song 15 Các tính chất phép tịnh tiến, phÐp ®èi xøng, phÐp quay B Mét sè vÝ dơ Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AP phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A, vÏ tai Px cho gãc CPx b»ng gãc BAC tia cắt AC E Chứng minh PB = PE Hớng dẫn giải Xét trờng hợp: BAC < 900 ; BAC = 900 ; BAC > 900 x A x A E E K H H B C C B P P Năm học 2007 - 2008 Hình học GV: Nguyễn hùng sơn - §T: 0982.470.268 E A H K B C P a Víi BAC < 900 VÏ PH ⊥AB vµ PH⊥AC ⇒ PH = PK BAC + BPE = 1800 BAC = CPE(gt) ⇒ ⇒ BPE = HPK BAC + HPK = 180 ⇒BHP = EPK ⇒∆BPH = ∆EPK (g.c.g) ⇒ PB = PE Bài toán 2: Cho (O) đờng thẳng xy (O) Kẻ OAxy Qua A kẻ cát tuyến cắt (O) B C Tiếp tuyến B C cắt xy lần lợt D Chứng minh A trung điểm đoạn thẳng DE xy (O) OAxy GT OB⊥BD t¹i B OC⊥EC t¹i C KL AE = AD C B A E Phân tích tìm tòi cách giải D y A Năm học 2007 - 2008 Hình học GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 + Muốn chứng minh A trung điểm cña DE, ta chøng minh AE = AD + Muèn chứng minh AE = AD, có nhiều cách, chẳng hạn ta chøng minh OAE = OAD + Muèn chøng minh OAE = OAD ta chøng minh OE = OD Muèn chøng minh OE = OD ta chøng minh OCE = OAD + Muèn chøng minh OAE = OAD ta ph¶i chøng minh COE = BOD + Muèn chøng minh COE = BOD ta phải chứng minh COE = CAE BOD = CAE Ta cã : DOB = CAE v× gãc cïng bï víi BAD tø gi¸c ABOD nội tiếp ; COE = CAE tứ giác COAE néi tiÕp ⇒ ®pcm gt gt COAE ; ABOD COE = CAE vµ BOD = CAE COE = BOD OCE = OAD OE = OD OAE = OAD AE = AD A trung điểm DE Lời giải (tóm tắt) Tứ giác COAE nội tiếp COE = CAE ( chắn cung CE) Tứ giác ABOD nội tiÕp ⇒ DOB = CAE ( hai gãc cïng bï víi BAD) ⇒ COE = DOB ⇒ OCE = ODA ⇒ OE = OD ⇒ OAE = OAD ⇒ AE = AD Bài toán 3: Cho đờng thẳng xy cắt đờng tròn (O) hai điểm M N Kẻ OA vuông góc với xy Qua A kẻ cát tuyến cắt (O) B C Tiếp B C lần lợt cắt xy D E So sánh độ dài hai đoạn thẳng AE AD Gợi ý: Vận dụng phơng pháp giải toán ta chứng minh đợc AE = AD II - chøng minh hai gãc b»ng a mét sè gợi ý để đến chứng minh đợc hai góc b»ng Sư dơng hai gãc cã cïng sè ®o Sư dơng gãc thø ba lµm trung gian ( hai gãc cïng b»ng mét gãc ), hai gãc cïng phơ víi mét gãc, hai gãc cïng bï víi mét gãc Hai gãc cïng b»ng tỉng, hiƯu cđa hai góc tơng ứng Sử dụng định nghĩa phân giác góc Hai góc đối đỉnh Năm học 2007 - 2008 Hình học GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 Sử dụng tính chất hai đờng thẳng song song (đồng vị, so le, ) Hai gãc cïng nhän hc cïng tï có cạnh tơng ứng song song vuông góc Hai góc tơng ứng hai tam giác Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung 10 Hai góc đáy tam giác cân 11 Các góc tam giác 12 Sử dụng tính chất góc hình bình hành 13 Sử dụng kết hai tam giác đồng dạng 14 Sư dơng c¸c tÝnh chÊt cđa tam gi¸c, tø giác nội, ngoại tiếp đờng tròn 15 Sử dụng hàm số lợng giác sin, cos, tg cotg 16 Sử dụng tính chất phép tịnh tiến, đối xứng, quay B Một số toán minh hoạ Bài toán 1: Cho ba điểm ABC không thẳng hàng, ta lấy theo thứ tự điểm D E tên đoạn thẳng BA CA cho BD = CE Gọi M, N trung điểm BC DE, đ ờng thẳng qua MN lần lợt cắt AB AC P Q Chứng minh góc MPB b»ng gãc MQC xy ë ngoµi (O) OA⊥xy GT OB⊥BD t¹i B OC⊥EC t¹i C KL AE = AD Q A P D N E O B M C Phân tích, tìm cách giải * Sơ đồ: Lời giải tóm tắt Bài toán 2: Cho D trung điểm đoạn thẳng Am Trên nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ nửa đơng tròn đờng kính AM nửa đờng tròn đờng kính AD Tiếp tuyến D đờng tròn nhỏ cắt đờng tròn lớn C tiếp tuyến C A đờng tròn lớn cắt B Nối P cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa đờng tròn nhỏ K Năm học 2007 - 2008 Hình học GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 Chứng minh AP tia phân giác góc BAK DA = DM CD⊥AD t¹i D GT BA⊥AD t¹i A CB⊥CD t¹i C P ∈ cung AC KL AP phân giác BAK B N C P T A Q K D M Ph©n tích, tìm cách giải * Cách 1: - Muốn chứng minh AP tia phân giác góc BAK ta chøng minh BAP = KAP - Muèn chøng minh BAP = KAP ta chøng minh cung AP = cung PQ - Muèn chøng minh cung AP = cung PQ ta chứng minh DPAQ K + DPAQ K AKD chắn nửa đờng tròn đờng kính AD Ta có lời giải tóm tắt: AKD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn, đờng kính AD) Vậy DPAQ K nên cung AP cung PQ Từ suy BAP = KAP (cïng ch¾n cung b»ng nhau) * Cách 2: - Muốn chứng minh AP tia phân giác góc BAK ta chứng minh BAP = KAP Muèn chøng minh BAP = KAP, ta t¹o tam giác có hai góc Từ P hạ đờng PNAB chứng minh cho tam giác vuông NAP tam giác vuông KAP Muốn chứng minh NAP = KAP, ta chứng minh, chẳng hạn NPA = PAD, có AP cạnh huyền Muốn chứng minh NAP = PAD ta chứng minh, chẳng hạn NAP = PAD PAD = KPA * NPA = PAD ( PN//DA - gãc so le trong) PAD = KPA ( góc đáy tam giác cân APD) Lời giải tóm tắt: DA = DP ( bán kính) ADP cân PAD = APD mà PAD = NPA ( v× PN//DA - gãc so le trong) Vậy NPA = KPA Năm học 2007 - 2008 Hình học ĐT: 0982.470.268 GV: Nguyễn hùng sơn - PNA = PKA có AP cạnh huyền chung NPA = KPA Do ta có NAP = KAP * Cách 3: Ta chứng minh cho gãc NAP vµ KAP cïng b»ng gãc b»ng Nối A với P cắt đờng tròn đờng kính AD T Nối D với T, ta dễ dàng nhận : D1 = D2 Vì DAP tam giác cân D mà DT vuông góc với đáy AP Đồng thời ta lại có KAP = D1 = D2 Ta chØ cÇn chøng minh D1 = D2 = NAP đpcm Ta có lời giải tóm tắt nh sau: Ta có: ADP cân D mà DTAP D1 = D2 Mà D1 = KAP ( chắn cung TK) D2= NAP (hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc) Vậy KAP = NAP ( toán đợc chứng minh) Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC nội tiếp đờng tròn tâm O vẽ đờng cao AH bán kính OA Chøng minh r»ng OAH = B - C A BAC = 900 A, B, C ∈(O) GT AH⊥BC KL B H O OAH = B - C C Phân tích, tìm cách giải Với gt đà cho, có nhiều cách chứng minh Sau xin nêu cách: Ta dễ dàng nhận B = OAB ( Vì OA = OB bán kính) Do vËy muèn chøng minh OAH = B - C, ta ph¶i chøng minh OAH = OAB - C + Muèn chøng minh OAH = OAB - C ta chøng minh BAH = C + Ta cã BAH = C ( Vì góc phụ với B) đpcm Bạn ®äc tù gi¶i * NhËn xÐt: Víi gi¶ thiÕt BAC = 900 ta đà chứng minh đợc OAH = OAB - C VËy trêng hỵp nÕu BAC ≠ 900 ta có chứng minh đợc không ? OAH = OAB - C Năm học 2007 - 2008 Hình học GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 Thiết lập toán tơng tự ta đợc toán sau: Bài to¸n 4: Cho tam gi¸c ABC cã A < 900, có AB < AC nội tiếp đờng tròn tâm O Vẽ đờng cao AH bán kính OA x Chứng minh r»ng OAH = B - C A E BAC < 900 A, B, C ∈(O) GT AH⊥BC KL OAH = B - C B O C H Ph©n tÝch, tìm cách giải Cách 1: Theo gt ta có B > C, ta tạo hình vẽ B - C cách lấy B làm đỉnh BC làm cạnh, vẽ góc CBx góc C Ta cần chøng minh ABx = OAH Ta thÊy : - Tia Bx cắt (O) E - AH kéo dài cắt (O) D - Ba điểm EOD thẳng hàng CBE = C + CAE ( ë vÞ trÝ so le) nªm EA//BC ⇒ EA⊥AH Muèn chøng minh ABE = OAH Ta tìm cách chứng minh góc góc thứ 3, chẳng hạn góc ADO Ta cã: ABE = ADE ( cïng ch¾n cung AE) OAD = ADO ( góc đáy tam giác cân AOD) Do toán đợc chứng minh (HS tự giải) Cách 2: cách ta lấy B làm đỉnh BC làm cạnh để tạo góc CB b»ng gãc C ë c¸ch ta thư lÊy BA làm cạnh để tạo góc ABy góc C A Ta chØ cÇn chøng minh EBC = OAH E y Ta thấy: B O H Năm học 2007 - 2008 C H×nh häc V× ABy = ABE = ACB A điểm ĐT: 0982.470.268 GV: Ngun hïng s¬n - cđa cung BE ⇒ OA⊥BE Từ ta dễ dàng chứng minh đợc EBC = OAH C¸ch 3: A E O B H D C Trong cách ta lấy C làm đỉnh BC làm cạnh để tạo hiệu B-C nửa mặt phảng bờ BC chứa đỉnh A Ta có BCE = CBA Bài toán quy cách chứng minh ACE = OAH §Ĩ chøng minh ACE = OAH ta cã thĨ dùng kết chứng minh toán 1: Ta đợc E, O, D thẳng hàng suy ACE = OAH A Cách 4: Ta vẽ thêm đờng phụ Chẳng hạn vẽ đờng kính AA, O nối B với A Ta đợc C B tam giác ABA vuông B H Ta có: OAH = 900 - ( A1 + A’) Mµ 900 - A1 = B A AHB tam giác vuông A = C ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung AB) Vậy ta có điều phải chứng minh Bạn đọc tự trình bày lời giải Cách 5: A O N B H C Tiếp tuyến A đờng thẳng BC cắt N Tam giác ABN có: ABC = B góc tam giác NAB = C ( hai gãc cïng ch¾n cung) NAB = OAH ( hai gãc cïng phơ víi gãc NAH) Năm học 2007 - 2008 Hình học ĐT: 0982.470.268 GV: Nguyễn hùng sơn - Do đó: ABC = B = NAB + ANB = C + OAH Bµi toán đà có cánh giải Bạn đọc tự giải III- chứng minh hai đờng thẳng song song với a số gợi ý để đến chứng minh hai đờng thẳng song song với Xét vị trí cặp góc tạo đờng thăng định chứng minh song song với đờng thẳng thứ ba ( vị trí đồng vị, so le, ) Sử dụng tính chất hình bình hành Hai đờng thẳng song song vuông góc với đờng thẳng thứ ba Sử dụng tính chất đờng trung bình tam giác, hình thang, hình bình hành Sử dụng định nghĩa hai đờng thẳng song song Sử dụng kết đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ để suy đờng thẳng tơng ứng song song ( Định lí Talét ) Sử dụng tính chất đờng thẳng qua trung điểm hai cạnh bên trung điểm hai đờng chéo hình thang B Một số toán minh hoạ Bài toán 1: Cho hình thang cân ABCD, có đáy lớn CD, đáy nhỏ AB Theo thứ tự từ A B vẽ đờng thẳng song song với BC AD cắt hai đờng chéo BD AC E F Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân AB//CD B A ADC = BCD O GT E AE//BC ; BF//AD F KL EF//DC EDC = FCD D C Phân tích, tìm cách giải Có nhiều cách để chứng minh DEFC hình thang c©n Ta cã thĨ chøng minh nh sau: Mn chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân, ta chứng minh: a EF//DC Năm học 2007 - 2008 Hình học GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 b EDC = FCD * Muèn chøng minh EF//DC ta chứng minh chẳng hạn OE OF = OD OC Ta tìm cách liên hệ tỉ số OE OF với kiện giả thiết đà có Từ gt ta OD OC cã: OE OA = ( v× AE//BC) (1) OB OC OB OF = (v× BF//AD) (2) OD OA ⇒ OE OF = OD OC b»ng c¸ch nhân (1) với (2) đpcm * Muốn chứng minh EDC = FCD, ta dễ dàng nhận từ điều kiện giả thiết đà cho ABCD hình thang cân có hai góc đáy đpcm Nhận xét: Nếu ta thay đổi số kiện đề (giả thiết) ta có số toán tơng tự nh sau: Bài toán 1.1: Cho hình thang ABCD, có đáy lớn CD, đáy nhỏ AB Theo thứ tự từ A B vẽ đờng thẳng song song với BC AD cắt hai đờng chéo BD AC E F Tứ giác DEFC hình gì?(Việc giải toán tơng tự toán Ta chứng minh đợc tứ giác DEFC hình thang Bài toán 1.2: Cho tứ giác ABCD lồi, theo thứ tự từ A B vẽ đờng thẳng song song với BC AD cắt hai đờng chéo BD AC E F Tứ giác DEFC hình gì? Bài toán 2: Gọi Am tia phân giác góc xAy Vẽ tai phân giác AnAm A Trên tia Ax tia đối tia Ax lần lợt lấy điểm C B cho AC = AB Lấy điểm M tia Ay Nối NC MB lần lợt cắt Am An P Q Chứng minh PQ//BC B A C Q Q’ P M P’ xAm = yAm GT x An⊥Am t¹i A AC = AB 10 n M m y Năm học 2007 - 2008 Hình học KL ĐT: 0982.470.268 GV: Nguyễn hùng sơn - PQ//BC Phân tích, tìm tòi cách giải Có nhiều cách để chứng minh PQ//BC, sau cách nhiều cách Muốn chứng minh PQ//BC ta phải chứng minh đợc Mà PC QM = PM QM PC AC = (AP tia phân giác CAM) PM AM QB AC = (AQ tia phân giác BAM) QM AM PC QM ⇒ PM = QM ( AC = AB) Lời giải (tóm tắt) Vì Am tia phân giác góc xAy mà AnAm An cúng tia phân giác góc ABM Ta có: PC AC = (AP tia phân giác CAM) PM AM QB AC = (AQ tia phân giác BAM) QM AM Mµ AC = AB (gt) PC QM PM = QM PQ//BC đpcm Nhận xét: Giả sử ta lấy thêm điểm MAy ta dễ dàng chứng minh đợc PQ//BC, PQ//PQ Do ta có toán nh sau: Bài toán 2.1: Gọi Am tia phân giác góc xAy Vẽ tai phân giác AnAm A Trên tia Ax tia đối tia Ax lần lợt lấy điểm C B cho AC = AB Lấy điểm M,M tia Ay Nối NC MB lần lợt cắt Am An P Q Nối MC, MB lần lợt cắt Am,An PQ Tứ giác PQQP hình gì? Bài toán 11 Năm học 2007 - 2008 Hình học GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 Cho tam giác ABN cân A Trên cạnh AN lấy điểm E, AN kéo dài lấy điểm C cho EC = AN Gäi P vµ Q theo thø tự trung điểm BC AE Chứng minh PQ song song với đờng phân giác góc BAN A GT AB = AN EC = AN BAI = NAI QA = QE ; PB = PC KL PQ//AI Q E B I N P C Ph©n tích tìm tòi lời giải Muốn chứng minh PQ//AI ta chứng minh tứ giiác AQPI hình bình hành Muốn chứng minh cho tứ giác AQPI hình bình hành có nhièu cách khác nhau, chẳng hạn nh ta tìm cách chứng minh cho AI // P AQ song song PI Ta loại h ớng chứng minh AI song song PQ mâu thuẫn với ván đề đặt Với mục ®Ých chøng minh PQ//AI Do ®ã ta ®i chøng minh theo híng: AQ// vµ b»ng PI Theo tÝnh chÊt cđa tam giác cân, ta thấy I trung điểm BBN Từ thấy PI // 1/2 NC cã nghÜa lµ PI cịng // vµ b»ng 1/2 AE (vì AE = NC đợc suy từ EC= AN) Nhng 1/2 AE chÝnh lµ AQ(theo gt) Nh toán đà có cách giải Lời giải (tóm tắt) Ta có: BAI = NAI (tg) AB = AN (gt) Suy ra: IB = IN Mặt khác PB = PC (gt) ⇒ IP//= NC 2 Nhng v× EC = AN (gt) ⇒ NC = AE ⇒ IP//= AE =AQ VËy PI//=AQ ⇒ tø gi¸c AQPI hình bình hành AI//PQ Nhận xét: Nếu tam giác ABN tam giác cân với giả thiết tơng tự nh AI có song song với QP không? Câu trả lời dành cho bạn đọc Bài toán 4: Cho (O) (O) tiếp xúc với E Qua E vẽ cát tuyến cắt (O) (O) B D Chứng minh tứ giác ABCD hình thang Năm học 2007 - 2008 12 H×nh häc GT AB = AN EC = AN BAI = NAI QA = QE ; PB = PC KL §T: 0982.470.268 GV: Ngun hïng sơn - PQ//AI Phân tích, tìm tòi lời giải Vì (O) (O) tiếp xúc với E nên tồn tiếp tuyến chung (O) (O) qua E, ta gọi tiếp tuyến MEN Để chứng minh tứ giác ABCD hình thang ta ph¶i chøng minh AB // CD Cã nhiỊu cách để chứng minh AB // CD, chẳng hạn ta chứng minh cho cặp góc tạo AB, CD AC cặp góc so le ®Ĩ suy AB // CD Mn chøng minh AB // CD ta ®i chøng minh BAE = DAE Ta thÊy ngay: ABE = BEN (gãc néi tiÕp vµ góc tiếp tuyến dây cung chắn mét cung) DCE = DEM (gãc néi tiÕp vµ gãc tiếp tuyến dây cung chắn cung) Mà BEN = DEM (hai góc đối đỉnh) Do ta dễ dàng suy đpcm Lời giải Qua E kẻ tiếp tuyến chung (O) (O’) BAE = BE ( gãc néi tiÕp) (1) BEN = BE (gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn dây cung) (2) Từ (1) (2) BAE = BEN (a) Hoàn toàn tơng tự ta suy ra: DCE = DEM (b) Mặt khác ta có DEM = BEN (c) Do ®ã: BAE = DCE (tõ (a), (b), (c) ) Hay BAC = DCA ( V× A, B, C thẳng hàng) Mà hai góc vị trÝ so le ⇒ AB // CD VËy tø giác ABCD hình thang Nhận xét: 13 Năm học 2007 - 2008 Hình học GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 Nếu ABDC hình thang, gọi E giao điểm đờng chéo AC BD đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABE DEC có tiếp xúc hay không? Ta có toán tơng tự Bài toán 4.1 Cho hình thang ABCD có hai đờng chéo AC BD cắt E Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABE đờng tròn ngoại tiếp tam giác DCE tiếp xúc với E GT ABCD hình thang AB // CD A, B, E ∈ (O) KL 0’ C, D, E ∈ (O’) A (O) tiÕp xóc ngoµi víi (O’) C N B M D Lêi giải ( tóm tắt): Vẽ EN tiếp tuyến (O) vµ EM lµ tiÕp tun cđa (O’) BAE = BEN ( góc nội tiếp góc tiếp tuyến dây chắn BC ) DCE = DEM ( góc nội tiếp góc tiếp tuyến dây chắn DE ) Nhng BAE DCE ( AB // CD) BEN = DEM Mà B, E, D thẳng hàng M, E, N thẳng hàng M, E, N thẳng hàng mà OEN = 900 , OEM = 900 O, E, D thẳng hàng Vậy (O) tiếp xúc với (O) (đpcm) IV - chứng minh đờng thẳng vuông góc với a số gợi ý dùng để chứng minh hai đờng vuông góc với Tính chất hai tia phân giác hai góc kề bbù Hai đờng thẳng cắt tạo thành góc 900 Dựa vào tính chất tỉng c¸c gãc mét tam gi¸c b»ng 180 0, ®i chøng minh cho hai gãc phô suy góc thứ ba bbằng 900 Đờng thẳng vuông góc với hai đờng thẳng song song vuông góc với đờng thẳng Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn 14 Năm học 2007 - 2008 Hình học ĐT: 0982.470.268 GV: Nguyễn hùng sơn - Định nghĩa ba đờng cao tam giác, định nghĩa đờng trung trực đoạn thẳng Tính chất tam giác can, tam giác Tính chất ba đờng cao tam giác Định lý Pitago 10 Tính chất đờng kính đờng tròn qua trung điểm dây cung qua điểm cung 11 Định lý nhận biết tam giác vuông biết tam giác cã trung tun thc mét c¹nh b»ng nưa c¹nh Êy 12 Tính chất: Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn vuông góc với bán kính tiếp điểm 13 Tính chất hai tiếp tuyến xzuất phát từ điểm đờng tròn đờng thẳng qua điểm tâm đờng tròn phải vuông góc với dây cung nối hai tiếp điểm 14 Hệ thức lợng tam giác vuông: b = ab' Tam giác ABC vuông c2 = ac' V - Chứng minh ba điểm thẳng hàng A Một số gợi ý để đến chứng minh ba điểm thẳng hàng Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm hai cạnh hai tia đối x ta có BAx + xAC = 1800 B, A, C thẳng hàng B A C Ba điểm thuộc tai thuộc đờng thẳng Trong ba điểm nối hai điểm có đoạn thửng tổng hai đoạn thẳng A B C AC = AB + BC Hai đờng thẳng qua hai ®iĨm Êy cïng song song víi ®êng th¼ng thø ba Năm học 2007 - 2008 15 Hình học GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 AB, Ac song song víi a hc BA, BC song song víi a hc CA, CB song song víi a ⇒ A, B, C thẳng hàng B A C a B a A Sư dơng vÞ trÝ hai góc đối đỉnh C Đờng thẳng a ®i qua A, nÕu ta chøng minh ®ỵc A1 = A2 B, A, C thẳng hàng Hai đờng thẳng qua hai ba điểm vuông góc với đờng thẳng thứ ba AB, AC vuông góc với a BA, BC vuông góc với a A, B, C thẳng hàng CA, CB vuông góc với a Đờng thẳng qua hai ba ®iĨm cã chøa ®iĨm thø Sư dơng tÝnh chất đờng phân giác góc, tính chất đờng trung trực đoạn thẳng, tính chất ba đờng cao tam giác Sử dụng tính chất hình bình hành 10 Sử dụng trung điểm cạnh bên, trung điểm đờng chéo hình thang thẳng hàng 11 Sử dụng tính chất góc vuông nội tiếp đờng tròn 12 Sử dụng tính chất đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ đà có điểm tơng ứng thẳng hàng : B Ta có B, D, N thẳng hàng E NÕu D KE KF KG = = KB KD KN F E, G, F thẳng hàng , K G N B Một số toán minh hoạ: 16 Năm học 2007 - 2008 Hình học ĐT: 0982.470.268 GV: Nguyễn hùng sơn - VI - Chứng minh đ ờng thẳng đồng quy, đ ờng tròn đồng quy A Một số gợi ý để chứng minh đ ờng thẳng đồng quy, đ ờng tròn đồng quy Tìm giao hai đ ờng thẳng, sau chứng minh đ ờng thẳng thứ ba qua giao hai đ ờng thẳng Chứng minh ®iĨm thc hai ® êng th¼ng Sư dơng tinhd chất đồng quy tam giác- Ba đ ờng thẳng chứa đờng trung tuyến, đ ờng phan giác, đ ờng trung trực, đờng cao tam giác Sử dụng tính chất đ ờng thẳng định hai đ ờng thẳng song song đoạn thẳng tỷ lệ Chứng minh cho đ ờng tròn qua điểm Tìm giaop điểm hai đ ờng tròn, sau chứng minh cho ® êng trßn sau ®i qua giao ®iĨm ®ã VII- Chứng minh tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp đ ờng tròn A Một số gợi ý để chứng minh tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp đ ờng tròn Chứng minh cho đỉnh tứ giác cách điểm Năm học 2007 - 2008 17 Hình học GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối 1800 Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh lạidới hai góc Chứng minh tứ giác có tổng góc đói Sử dụng định lý đảo hệ thức lợng đờng tròn Trờng hợp phỉ chứng minh điểm trở nên nằm đừng tròn, ta chon ba đỉêm có định, chọn điểm thứ chứng minh điểm năm tên đờng tròn Sau lại chứng minh điểm cố định với điểm thứ nằm đờng tròn nh điểm cuối Nh tất điểm đó, kể từ điểm thứ trở nằm đờng tròn đia qua điểm đà chọ cố định, từ suy tất điểm nằm đờng tròn Sử dụng định lý: Tổng hai cạnh đối tứ giác tứ giác ngoại tiếp đờng tròn Trờng hợp chứng minh đa giác ngoại tiếp đờng tròn ta phải chứng minh đờng phân giác đa giác đồng quy điểm Dựa vào định nghĩa: Phải chứng minh đợc cạnh đa giác tiếp xúc với đờng tròn VIII- Chứng minh hệ thức hình học A Mét sè vÊn ®Ị l u ý chøng minh hệ thứ Tính chất đoạn thẳng tỷ lÖ: AB.C’D’= A’B’.CD AB A' B' = ⇒ AC C' D' AB = CD A' B' = C' D' = CD C' D' AB A' B' AB = A' B' = = CD C" D' CD = C' D' 2.Định lí Talet (thuận, đảo) hệ Tính chất đờng phân giác tam giác A ABC có phân giác AD phân giác AE ⇒ AB DB EB = = AC DC EC B E D C Các tỉ số đợc suy từ hai tam giác đồng dạng lu ý hệ thøc S' = k (Víi k lµ tØ S số đòng dạng) Tính chất đờng cao, đờng phân giác đờng trung tuyến hai tam giác đồng dạng 18 Năm học 2007 - 2008 Hình học GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 Nếu ABC ~ ∆ABC th×: h' d' m' = = = k ( víi h, d, m vµ h’, d’ m’ lµ đờng cao tơng ứng hai tam giác h d m đồng dạng) Vận dụng hệ thức lợng tam giác vuông b2 = ab ; c2 ac A 2 a =b +c b bc = ah c h h2 = b’c’ ABC ⇒ c’ b’ 1 + = B H b c h C Hệ thức cạnh góc tam giác vuông b = a sinB b = acosC Nếu ABC vuông A thì: b =c tgB b = c cotgC HƯ thøc lỵng tam giác thờng Hệ thức lợng đờng tròn B Một số toán minh hoạ Bài toán 1: (Bài 2/53 HH9) Cho đờng tròn với đờng kính AB Từ A B lần lợt kẻ tiếp tuyến đờng tròn Gọi M điểm đờng tròn, đờng thẳng AM BM cắt tiếp tuyến lần lợt B A a) Chứng minh AA’.BB’ = AB2 b) Qua M kỴ tiÕp tun với đờng tròn (O), tiếp tuyến cắt AA BB lần lợt C D Chứng minh: CD = (AA'+ BB' ) GT KL B’ AB đờng kính AxAB A AyAB B OMCD t¹i M a) AA’.BB’ = AB2 x A’ b) CD = (AA'+BB' ) C A D M B y 19 Năm học 2007 - 2008 Hình học ĐT: 0982.470.268 GV: Nguyễn hùng sơn - Với toán có nhiều cách giải khác sau xin nêu cách: a) Muốn chứng minh AA.BB = AB2 ta cần (phải) chứng minh đợc Muốn chứng minh đợc AA' AB = AB A' B' AA' AB = ta chøng minh cho AB A' B' AA’B ~ BAB’ Muèn chøng minh AA’B ~ BAB’ ta phải chứng minh, chẳng hạn Â1 = Â1 Ta dễ dàng nhận Â1 = Â1 ( phụ với Â2) Từ ta chứng minh đợc câu a b) Muèn chøng minh CD = (AA'+ BB' ) ta phải chứng minh đợc MC = = BB’ vµ MD BB’ Muèn chøng minh MC = BB’ ta ph¶i chøng minh CM = CA = CA’ Muèn chøng minh MD = BB’ ta ph¶i chøng minh DM = DB = DB’ Nhng CM = CA vµ DM = DB (theo gt) ta phải chứng minh CM = CA vµ DM = DB’ Muèn chøng minh CM = CA’ ta ph¶i chøng minh A’1 = M1 Nhng M1 = M2 = A1 đpcm Tơng tự ta chứng minh đợc DM = DB Lời giải tóm tắt a) Ta cã : ¢1 = ¢’1 ( cïng phơ víi ¢2) ⇒ AA’B ~ ⇒ BAB’ AA' AB = ⇒ AA’.BB’ = AB2 AB A' B' b) Ta cã: CM = CA (tg) M1 = M2 (®èi ®Ønh) M2 = A1 (cùng chắn cung MB) Mà A1 = A1 (chứng minh trên) A1 = M1 CAM cân C ⇒ CM = CA’ VËy CM = CA = CA’ ⇒ CM = AA’ Chøng minh t¬ng tù MD = BB 20 Năm học 2007 - 2008 H×nh häc VËy CM + MD = GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 (AA + BB) = CD đpcm Bài toán Ba đờng trung tuyến AA1, BB1và CC1 tam giác ABC cắt t¹i G Chøng minh r»ng; GA GB1 GC1 + + =1 AA1 BB1 CC1 Phân tích tìm cách gi¶i: A C1A = C1B GT B1A = B1C A1C = A1B KL GA GB1 GC1 + + =1 AA1 BB1 CC1 C1 G B1 B C A1 Dùa vào tính chất đờng trung tuyến tam giác ta thÊy ngay: GA GB1 GC1 = = = đpcm AA1 BB1 CC1 Lời giải tóm t¾t GA GB1 GC1 GA GB1 GC1 1 = = = ⇒ AA + BB + CC = + + = AA1 BB1 CC1 3 3 1 Bài toán Gọi AA đờng cao tam giác ABC (có góc nhọn) nội tiếp đờng tròn đờng kính CE = 2R Chøng minh r»ng: AB.AC = CE.AA’ Ph©n tÝch tìm cách giải AABC GT Đờng kính CE =2R KL AB.CA = CE.AA’ A E B I A’ C Phân tích, tìm tòi cách giải Muốn chứng minh AB.CA = CE.AA’ ta chøng minh 21 AB AA' = CE AC Năm học 2007 - 2008 Hình học Muốn chứng minh GV: Nguyễn hùng sơn - ĐT: 0982.470.268 AB AA' = ta chøng minh CE AC ABA ~ CEA ( EAC = 900 (chắn 1/2 đờng tròn) Muốn chøng minh ABA ~ CEA ta ph¶i chøng minh AEC = ABA’ Nhng EAC = ABC ( cïng ch¾n cung AC) đpcm Lời giải tóm tắt EAC = 900 (chắn 1/2 đờng tròn) AEC = ABA (chắn cung AC) ABA ~ CEA AB.CA = CE.AA đpcm Bài toán 4: Cho hình vẽ HÃy tự đặt đề toán để chứng minh: a) Chứng minh A B ∆ABE ~ ∆ACD ; ∆ ABC ~ ∆AED b) Tõ ®ã chøng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD 22 E D C Năm học 2007 - 2008