Đang tải... (xem toàn văn)
Xác suất
Ch ’u ’ong 6L´Y THUY´ˆET T’U’ONG QUAN V`A H`AM H`ˆOI QUI1. M´ˆOI QUAN HˆE.GI˜’UA HAI D¯A.I L’U.’ONG NG˜ˆAU NHIˆENKhi kh’ao s´at hai ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X, Y ta th´ˆay gi˜’ua ch´ung c´o th’ˆe c´o mˆo.t s´ˆoquan hˆe.sau:i) X v`a Y ¯dˆo.c lˆa.p v´’oi nhau, t´’uc l`a viˆe.c nhˆa.n gi´a tri.c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen n`aykhˆong’anh h’u’’ong ¯d´ˆen viˆe.c nhˆa.n gi´a tri.c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen kia.ii) X v`a Y c´o m´ˆoi phu.thuˆo.c h`am s´ˆo Y = ϕ(X).iii) X v`a Y c´o s’u.phu.thuˆo.c t’u’ong quan v`a phu.thuˆo.c khˆong t’u’ong quan.2. HˆE.S´ˆO T’U’ONG QUAN2.1 Moment t’u’ong quan (Covarian)✷ D¯i.nh ngh˜ia 1* Moment t’u’ong quan (hiˆe.p ph’u’ong sai) c’ua hai ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X v`a Y, k´ıhiˆe.u cov(X, Y ) hay µXY, l`a s´ˆo ¯d’u’o.c x´ac ¯di.nh nh’u saucov(X, Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}* N´ˆeu cov(X, Y ) = 0 th`ı ta n´oi hai ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X v`a Y khˆong t’u’ong quan. Ch´u ´ycov(X, Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y )Thˆa.t vˆa.y, ta c´ocov(XY ) = E{X.Y − X.E(Y ) − Y.E(X) + E(X).E(Y )= E(XY ) − E(X).E(Y ) − E(X).E(Y ) + E(X).E(Y )= E(XY ) − E(X).E(Y )99 100 Ch ’u ’ong 6. L´y thuy´ˆet t’u’ong quan v`a h`am h`ˆoi qui⊕ Nhˆa.n x´et 1* N´ˆeu (X, Y ) r`’oi ra.c th`ıcov(X, Y ) =ni=1mj=1xiyjP (xi, yj) − E(X)E(Y )* N´ˆeu (X, Y ) liˆen tu.c th`ıcov(X, Y ) =+∞−∞+∞−∞xyf(x, y)dxdy − E(X)E(Y )⊕ Nhˆa.n x´eti) N´ˆeu X v`a Y l`a hai ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen ¯dˆo.c lˆa.p th`ı ch´ung khˆong t’u’ong quan.ii) Cov(X,X)=Var(X).2.2 Hˆe.s´ˆo t’u’ong quan✷ D¯i.nh ngh˜ia 2 Hˆe.s´ˆo t’u’ong quan c’ua hai ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X v`a Y, k´ı hiˆe.u rXY,l`a s´ˆo ¯d’u’o.c x´ac ¯di.nh nh’u saurXY=cov(X, Y )SX.SYv´’oi Sx, SYl`a ¯dˆo.lˆe.ch tiˆeu chu’ˆan c’ua X, Y .•´Y ngh˜ia c’ua hˆe.s´ˆo t’u’ong quanHˆe.s´ˆo t’u’ong quan ¯do m´’uc ¯dˆo.phu.thuˆo.c tuy´ˆen t´ınh gi˜’ua X v`a Y . Khi |rXY| c`angg`ˆan 1 th`ı m´ˆoi quan hˆe.tuy´ˆen t´ınh c`ang ch˘a.t, khi |rXY| c`ang g`ˆan 0 th`ı quan hˆe.tuy´ˆent´ınh c`ang ”l’ong l’eo”.2.3’U´’oc l’u’o.ng hˆe.s´ˆo t’u’ong quanLˆa.p m˜ˆau ng˜ˆau nhiˆen WXY= [(X1, Y1), (X2, Y2) . . . (Xn, Yn)].D¯’ˆe’u´’oc l’u’o.ng hˆe.s´ˆo t’u’ong quan rXY=E(XY ) − E(X).E(Y )SX.SYta d`ung th´ˆong kˆeR =XY − X.YSX.SYtrong ¯d´oX =1nni=1Xi, Y =1nni=1Yi, XY =1nni=1XiYiS2X=1nni=1(Xi− X)2, S2Y=1nni=1(Yi− Y )2 2. Hˆe s´ˆo t’u’ong quan 101V´’oi m˜ˆau cu.th’ˆe, ta t´ınh ¯d’u’o.c gi´a tri.c’ua R l`arXY=xy − x.ysx.sytrong ¯d´ox =1nni=1xi, y =1nni=1yi, xy =1nni=1xiyis2x=1nni=1x2i− (x)2, s2y=1nni=1y2i− (y)2Ta c´orXY=nxy − (x)(y)n(x2) − (x)2.n(y2) − (y)22.4 T´ınh ch´ˆat c’ua hˆe.s´ˆo t’u’ong quanHˆe.s´ˆo t’u’ong quan r =xy − x.ysx.sy¯d’u’o.c d`ung ¯d’ˆe ¯d´anh gi´a m´’uc ¯dˆo.ch˘a.t ch’e c’ua s’u.phu.thuˆo.c t’u’ong quan tuy´ˆen t´ınh gi˜’ua hai ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X v`a Y , n´o c´o c´ac t´ınhch´ˆat sau ¯dˆay:i) |r| ≤ 1.ii) N´ˆeu |r| = 1 th`ı X v`a Y c´o quan hˆe.tuy´ˆen t´ınh.iii) N´ˆer |r| c`ang l´’on th`ı s’u.phu.thuˆo.c t’u’ong quan tuy´ˆen t´ınh gi˜’ua X v`a Y c`ang ch˘a.tch’e.iv) N´ˆeu |r| = 0 th`ı gi˜’ua X v`a Y khˆong c´o phu.thuˆo.c tuy´ˆen t´ınh t’u’ong quan.v) N´ˆeu r > 0 th`ı X v`a Y c´o t’u’ong quan thuˆa.n (X t˘ang th`ı Y t˘ang). N´ˆeu r < 0 th`ıX v`a Y c´o t’u’ong quan nghi.ch (X gi’am th`ı Y gi’am).• V´ı du.1 T`’u s´ˆo liˆe.u ¯d’u’o.c cho b’’oi b’ang sau, h˜ay x´ac ¯di.nh hˆe.s´ˆo t’u’ong quan c’ua Y v`aXX 1 3 4 6 8 9 11 14Y 1 2 4 4 5 7 8 9Gi’aiTa lˆa.p b’ang sau 102 Ch ’u ’ong 6. L´y thuy´ˆet t’u’ong quan v`a h`am h`ˆoi quixiyix2ixiyiy2i1 1 1 1 13 2 9 6 44 4 16 16 166 4 36 24 168 5 64 40 259 7 81 63 4911 8 121 88 6414 9 196 126 81x = 56y = 40x2= 524xy = 364y2= 256Hˆe.s´ˆo t’u’ong quan c’ua X v`a Y l`arXY=nxy − (x)(y)n(x2) − (x)2.n(y2) − (y)2=8.364 − (56).(40)8.524 − (56)2.8.256 − (40)2=672687, 81= 0, 9772.5 T’y s´ˆo t’u’ong quanD¯’ˆe ¯d´anh gi´a m´’uc ¯dˆo.ch˘a.t ch’e c’ua s’u.phu.thuˆo.c t’u’ong quan phi tuy´ˆen, ng’u`’oi ta d`ungt’y s´ˆo t’u’ong quan:ηY/X=sysytrong ¯d´osy=1nni.(yxi− y)2; sy=1nmj.(yj− y)2T’y s´ˆo t’u’ong quan c´o c´ac t´ınh ch´ˆat sau:i) 0 ≤ ηY/X≤ 1.ii) ηY/X= 0 khi v`a ch’i khi Y v`a X khˆong c´o phu.thuˆo.c t’u’ong quan.iii) ηY/X= 1 khi v`a ch’i khi Y v`a X phu.thuˆo.c h`am s´ˆo.iv) ηY/X≥ |r|.N´ˆeu ηY/X= |r| th`ı s’u.phu.thuˆo.c t’u’ong quan c’ua Y v`a X c´o da.ng tuy´ˆen t´ınh.2.6 Hˆe.s´ˆo x´ac ¯di.nh m˜ˆauTrong th´ˆong kˆe, ¯d’ˆe ¯d´anh gi´a ch´ˆat l’u’o.ng c’ua mˆo h`ınh tuy´ˆen t´ınh ng’u`’ot ta c`on x´ethˆe.s´ˆo x´ac ¯di.nh m˜ˆau β = r2v´’oi r l`a hˆe.s´ˆo t’u’ong quan. Ta c´o 0 ≤ β ≤ 1. 3. H`ˆoi qui 1033. H`ˆOI QUI3.1 K`y vo.ng c´o ¯di`ˆeu kiˆe.ni) D¯a.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c* K`y vo.ng c´o ¯di`ˆeu kiˆe.n c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c Y v´’oi ¯di`ˆeu kiˆe.n X = x l`aE(Y/x) =mj=1yjP (X = x, Y = yj)* T’u’ong t’u., k`y vo.ng c´o ¯di`ˆeu kiˆe.n c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c X v´’oi ¯di`ˆeu kiˆe.nY = y l`aE(X/y) =ni=1xiP (X = xi, Y = y)ii) D¯a.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen liˆen tu.cE(Y/x) =+∞−∞yf(y/x)dyE(X/y) =+∞−∞xf(x/y)dxtrong ¯d´of(y/x) = f(x, y) v´’oi x khˆong ¯d’ˆoif(x/y) = f(x, y) v´’oi y khˆong ¯d’ˆoi3.2 H`am h`ˆoi qui* H`am h`ˆoi qui c’ua Y ¯d´ˆoi v´’oi X l`a f(x) = E(Y/x).* H`am h`ˆoi qui c’ua X ¯d´ˆoi v´’oi Y l`a f(y) = E(X/y).Trong th’u.c t´ˆe ta th’u`’ong g˘a.p hai ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X, Y c´o m´ˆoi liˆen hˆe.v´’oi nhau,trong ¯d´o viˆe.c kh’ao s´at X th`ı d˜ˆe c`on kh’ao s´at Y th`ı kh´o h’on thˆa.m ch´ı khˆong th’ˆe kh’aos´at ¯d’u’o.c. Ng’u`’oi ta mu´ˆon t`ım m´ˆoi liˆen hˆe.ϕ(X) n`ao ¯d´o gi˜’ua X v`a Y ¯d’ˆe bi´ˆet X ta c´o th’ˆed’u.¯do´an ¯d’u’o.c Y .Gi’a s’’u bi´ˆet X, n´ˆeu d’u.¯do´an Y b`˘ang ϕ(X) th`ı sai s´ˆo pha.m ph’ai l`a E[Y − ϕ(X)]2.V´ˆan ¯d`ˆe ¯d’u’o.c ¯d˘a.t ra l`a t`ım ϕ(X) nh’u th´ˆe n`ao ¯d’ˆe E[Y − ϕ(X)]2l`a nh’o nh´ˆat.Ta s˜e ch´’ung minh khi cho.n ϕ(X) = E(Y /X) (v´’oi ϕ(x) = E(Y /x)) th`ı E[Y − ϕ(X)]2s˜e nh’o nh´ˆat.Thˆa.t vˆa.y, ta c´oE[Y − ϕ(X)]2= E{([Y − E(Y/X)] + [E(Y/X) − ϕ(X)])2}= E{[Y − E(Y/X)]2} + E{[E(Y/X) − ϕ(X)]2}+2E{[Y − E(Y/X)][E(Y/X) − ϕ(X)]} 104 Ch ’u ’ong 6. L´y thuy´ˆet t’u’ong quan v`a h`am h`ˆoi quiTa th´ˆay E(Y/X) ch’i phu.thuˆo.c v`ao X nˆen c´o th’ˆe ¯d˘a.t T (X) = E(Y/X) − ϕ(X).V`ı E[E(Y/X)T (X)] = E[Y T (X)] nˆen2E[Y − E(Y/X)][E(Y/X) − ϕ(X)] = 2E{[Y − E(Y/X)]T (X)}= 2E[Y T (X)] − 2E[E(Y/X)T (X)] = 0Do ¯d´oE{[Y − ϕ(X)]2} = E{[Y − E(Y/X)]2} + E{E(Y /X) − ϕ(X)]2nh’o nh´ˆat khiE{[(Y/X) − ϕ(X)]2= 0Ta ch’i c`ˆan cho.nϕ(X) = E(Y/X) (6.1)Ph’u’ong tr`ınh (6.1) ¯d’u’o.c go.i l`a ph’u’ong tr`ınh t’u’ong quan hay ph’u’ong tr`ınh h`ˆoi qui.3.3 X´ac ¯di.nh h`am h`ˆoi quia) Tr’u`’ong h’o.p ´ıt s´ˆo liˆe.u (t’u’ong quan c˘a.p)Gi’a s’’u gi˜’ua hai ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X v`a Y c´o t’u’ong quan tuy´ˆen t´ınh, t´’uc l`aE(Y/X) = AX + B.D’u.a v`ao n c˘a.p gi´a tri.(x1, x2), (x2, y2), . . . , (xn, yn) c’ua (X, Y ) ta t`ım h`amyx= y = ax + b (∗)¯d’ˆe’u´’oc l’u’o.ng h`am Y = AX + B.(*) ¯d’u’o.c go.i l`a h`ˆoi qui tuy´ˆen t´ınh m˜ˆau.V`ı c´ac c˘a.p gi´a tri.trˆen l`a tri.x´ˆap x’i c’ua x v`a y nˆen th’oa (*) mˆo.t c´ach x´ˆap x’i.Do ¯d´o yi= axi+ b + εihay εi= yi− axi− b.Ta t`ım a, b sao cho c´ac sai s´ˆo εi(i = 1, n) c´o tri.tuyˆe.t ¯d´ˆoi nh’o nh´ˆat hay h`amS(a, b) =ni=1(yi− axi− b)2¯da.t c’u.c ti’ˆeu. Ph’u’ong ph´ap t`ım n`ay ¯d’u’o.c go.i l`a ph’u’ong ph´ap b`ınh ph’u’ong b´e nh´ˆat.Ta th´ˆay S s˜e ¯da.t gi´a tri.nh’o nh´ˆat ta.i ¯di’ˆem d`’ung th’oa m˜an0 =∂S∂a= −2ni=1xi(yi− axi− b)0 =∂S∂b= −2ni=1(yi− axi− b) 3. H`ˆoi qui 105hayni=1x2i.a +ni=1xi.b =ni=1xiyini=1xi.a + nb =ni=1yi(6.2)Hˆe.trˆen c´o ¯di.nh th´’ucD =ni=1x2ini=1xini=1xin= nni=1x2i−ni=1xi2V`ı c´ac xikh´ac nhau nˆen theo b´ˆat ¯d’˘ang th´’uc Bunhiakovsky ta c´o (ni=1xi)2<nni=1x2i. Do ¯d´o D > 0. Suy ra hˆe.trˆen c´o nghiˆe.m duy nh´ˆata =nni=1xiyi− (ni=1xi) (ni=1yi)nni=1x2i− (ni=1xi)2b =(ni=1x2i) (ni=1yi) − (ni=1xi) (ni=1xiyi)nni=1x2i− (ni=1xi)2N´ˆeu ¯d˘a.tx =1n.ni=1xi, y =1n.ni=1yi, xy =1n.ni=1xiyi, x2=1nni=1x2ith`ı nghiˆe.m c’ua hˆe.c´o th’ˆe vi´ˆet la.i d’u´’oi da.nga =xy − x.yx2− (x)2=xy − x.ys2x; b =x2.y − x.xyx2− (x)2=x2.y − x.xys2xT´om la.i, ta c´o th’ˆe t`ım h`am yx= ax + b t`’u c´ac cˆong th´’uca =xy − x.ys2x=n(xy) − (x)(y)n(x2) − (x)2b = y − a.x Ch´u ´y-bb-error =D¯’u`’ong g´ˆap kh´uc n´ˆoi c´ac ¯di’ˆem (x1, y1),(x2, y2) , . . . , (xn, yn) ¯d’u’o.c go.i l`a ¯d’u`’ong h`ˆoiqui th’u.c nghiˆe.m.D¯’u`’ong th’˘ang y = ax + b nhˆa.n ¯d’u’o.c b’’oicˆong th´’uc b`ınh ph’u’ong b´e nh´ˆat khˆong ¯di qua¯d’u’o.c t´ˆat c’a c´ac ¯di’ˆem nh’ung l`a ¯d’u`’ong th’˘ang”g`ˆan” c´ac ¯di’ˆem ¯d´o nh´ˆat ¯d’u’o.c go.i l`a ¯d’u`’ongth’˘ang h`ˆoi qui v`a th’u tu.c l`am th´ıch h’o.p ¯d’u`’ongth’˘ang thˆong qua c´ac ¯di’ˆem d˜’u liˆe.u cho tr’u´’oc¯d’u’o.c go.i l`a h`ˆoi qui tuy´ˆen t´ınh.Theo trˆen ta c´o b = y − a.x, do ¯d´o ¯di’ˆem (x, y) luˆon n`˘am trˆen ¯d’u`’ong th’˘ang h`ˆoi qui. 106 Ch ’u ’ong 6. L´y thuy´ˆet t’u’ong quan v`a h`am h`ˆoi qui• V´ı du.2’U´’oc l’u’o.ng h`am h`ˆoi qui tuy´ˆen t´ınh m˜ˆau x’ua Y theo X trˆen c’o s’’o b’ang t’u’ongquan c˘a.p sauX 15 38 23 16 16 13 20 24Y 145 228 150 130 160 114 142 265Gi’aiTa lˆa.p b’ang sauxiyix2ixiyi15 145 225 317538 228 1444 866423 150 529 345016 130 256 208016 160 256 256013 114 169 148220 142 400 284024 265 576 6360x = 165y = 1334x2= 3855xy = 29611Ta c´oa =n(xy) − (x)(y)n(x2) − (x)2=8(19611) − (165)(1334)8(3855)(165)2=167783615= 4, 64b = y − ax =13348−1677836151658= 71Vˆa.y h`am h`ˆoi qui tuy´ˆen t´ınh m˜ˆau l`a yx= 4, 64x + 71.• V´ı du.3 D¯ˆo.’ˆam c’ua khˆong kh´ı’anh h’u’’ong ¯d´ˆen s’u.bay h’oi c’ua n’u´’oc trong s’on khiphun ra. Ng’u`’oi ta ti´ˆen h`anh nghiˆen c´’uu m´ˆoi liˆen hˆe.gi˜’ua ¯dˆo.’ˆam c’ua khˆong kh´ı X v`a ¯dˆo.bay h’oi Y . S’u.hi’ˆeu bi´ˆet v`ˆe m´ˆoi quan hˆe.n`ay s˜e gi´up ta ti´ˆet kiˆe.m ¯d’u’o.c l’u’o.ng s’on b`˘angc´ach ch’inh s´ung phun s’on mˆo.t c´ach th´ıch h’o.p. Ti´ˆen h`anh 25 quan s´at ta ¯d’u’o.c c´ac s´ˆoliˆe.u sau: 3. H`ˆoi qui 107Quan s´at D¯ˆo.’ˆam D¯ˆo.bay h’oi Quan s´at D¯ˆo.’ˆam D¯ˆo.bay h’oi(%) (%) (%) (%)1 35,3 11,0 14 39,1 9,62 29,7 11,1 15 46,8 10,93 30,8 12,5 16 48,5 9,64 58,8 8,4 17 59,3 10,15 61,4 9,3 18 70,0 8,16 71,3 8,7 19 70,0 6,87 74,4 6,4 20 74,4 8,98 76,7 8,5 21 72,1 7,79 70,7 7,8 22 58,1 8,510 57,5 9,1 23 44,6 8,911 46,4 8,2 24 33,4 10,412 28,9 12,2 25 28,6 11,113 28,1 11,9H˜ay t`ım h`am h`ˆoi qui tuy´ˆen t´ınh m˜ˆau yx= ax + b.Gi’aiTa c´on = 25x = 1314, 9y = 235, 7x2= 76308, 53y2= 2286, 07xy = 11824, 44Do ¯d´oa =n(xy) − (x)(y)n(x2) − (x)2=25 × 11824, 44 − (1314, 9 × 235, 7)25 × 76308, 53 − (1314, 9)2= −0, 08b = y − ax = 9, 43 − (−0, 08) × 52, 6 = 13, 64Vˆa.y h`am h`ˆoi qui tuy´ˆen t´ınh m˜ˆau l`a yx= −0, 08x + 13, 64b) Tr’u`’ong h’o.p nhi`ˆeu s´ˆo liˆe.u (t’u’ong quan b’ang)Gi’a s’’uX nhˆa.n c´ac gi´a tri.xiv´’oi t`ˆan su´ˆat nii = 1, k,Y nhˆa.n c´ac gi´a tri.yjv´’oi t`ˆan su´ˆat mjj = 1, h,XY nhˆa.n c´ac gi´a tri.xiyjv´’oi t`ˆan su´ˆat niji = 1, k, j = 1, h,Ta t`ım h`ˆoi qui tuy´ˆen t´ınh m˜ˆau yx= ax + b trong tr’u`’ong h’o.p c´o nhi`ˆeu s´ˆo liˆe.u. Theo(6.2) ta c´o 108 Ch ’u ’ong 6. L´y thuy´ˆet t’u’ong quan v`a h`am h`ˆoi quiki=1nix2i.a +ki=1nixi.b =ki=1hj=1nijxiyjki=1nixi.a + nb =hj=1mjyj(6.3)Thayki=1nixi= nx,hj=1mjyj= ny,ki=1nix2i= nx2,hj=1mjy2j= ny2,ki=1hj=1nijxiyj= nxy v`ao (6.3) ta ¯d’u’o.cx2.a + x.b = xy (i)x.a + nb = y (ii)T`’u (ii) ta c´o b = y − a.xThay b v`ao yx= ax + b ta suy rayx− y = a(x − x) (6.4)Ta t`ım a b’’oia =ki=1hj=1nijxiyj− (ki=1nixi)(hj=1mjyj)nki=1nix2i− (ki=1nixi)2=n2xy − nx.nyn.nx2− (nx)2=xy − x.yx2− (x)2=xy − x.ys2xT´om la.i, ta t`ım h`ˆoi qui tuy´ˆen t´ınh m˜ˆau yx= ax + b v´’oi a =xy − x.ys2x, b = y − ax . Ch´u ´yi) Ta bi´ˆet hˆe.s´ˆo t’u’ong quan rXY=xy − xysx.synˆen a = rXYsysxThay a v`ao (6.4) ta c´oyx− y = rXYsysx(x − x)hayyx− ysy= rXY(x − x)sxT`’u ph’u’ong tr`ınh n`ay ta c´o th’ˆe suy ra ph’u’ong tr`ınh h`ˆoi qui tuy´ˆen t´ınh m˜ˆau yx= ax+bmˆo.t c´ach thuˆa.n l’o.i h’on v`ı thˆong qua viˆe.c t`ım rXYta ¯d˜a t´ınh sx, sy.ii) Khi c´ac gi´a tri.c’ua X, Y kh´a l´’on, ta c´o th’ˆe d`ung ph´ep ¯d’ˆoi bi´ˆenui=xi− x0hx(∀i = 1, k); vj=yj− y0hy(∀j = 1, h)