Đang tải... (xem toàn văn)
Xác suất
Ch ’u ’ong 2D¯A.I L’U.’ONG NG˜ˆAU NHIˆEN V`A PHˆAN PH´ˆOI X´AC SU´ˆAT1. D¯A.I L’U’O.NG NG˜ˆAU NHIˆEN1.1 Kh´ai niˆe.m ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen✷ D¯i.nh ngh˜ia 1 D¯a.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen l`a ¯da.i l’u’o.ng bi´ˆen ¯d’ˆoi bi’ˆeu thi.gı´a tri.k´ˆet q’uac’ua mˆo.t ph´ep th’’u ng˜ˆau nhiˆen.Ta d`ung c´ac ch˜’u c´ai hoa nh’u X, Y, Z, . ¯d’ˆe k´ı hiˆe.u ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen.• V´ı du.1 Tung mˆo.t con x´uc x´˘ac. Go.i X l`a s´ˆo ch´ˆam xu´ˆat hiˆe.n trˆen m˘a.t con x´uc x´˘acth`ı X l`a mˆo.t ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen nhˆa.n c´ac gi´a tri.c´o th’ˆe l`a 1, 2, 3, 4, 5, 6.1.2 D¯a.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.ca) D¯a.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c✷ D¯i.nh ngh˜ia 2 D¯a.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen ¯d’u’o.c go.i l`a r`’oi ra.c n´ˆeu n´o ch’i nhˆa.n mˆo.t s´ˆoh˜’uu ha.n ho˘a.c mˆo.t s´ˆo vˆo ha.n ¯d´ˆem ¯d’u’o.c c´ac gi´a tri Ta c´o th’ˆe liˆe.t kˆe c´ac gi´a tri.c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c x1, x2, . . . , xn.Ta k´ı hiˆe.u ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X nhˆa.n gi´a tri.xnl`a X = xnv`a x´ac su´ˆat ¯d’ˆe X nhˆa.ngi´a tri.xnl`a P (X = xn).• V´ı du.2 S´ˆo ch´ˆam xu´ˆat hiˆe.n trˆen m˘a.t con x´uc x´˘ac, s´ˆo ho.c sinh v´˘ang m˘a.t trong mˆo.tbu’ˆoi ho.c .l`a c´ac ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c.b) B’ang phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆatB’ang phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat d`ung ¯d’ˆe thi´ˆet lˆa.p luˆa.t phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat c’ua ¯da.i l’u’o.ngng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c, n´o g`ˆom 2 h`ang: h`ang th´’u nh´ˆat liˆe.t kˆe c´ac gi´a tri.c´o th’ˆe x1, x2, . . . , xnc’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X v`a h`ang th´’u hai liˆe.t kˆe c´ac x´ac su´ˆat t’u’ong´’ung p1, p2, . . . , pnc’ua c´ac gi´a tri.c´o th’ˆe ¯d´o.27 28 Ch ’u ’ong 2. D¯a.i l’u’ong ng˜ˆau nhiˆen v`a phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆatX x1x2. . . xnP p1p2. . . pnN´ˆeu c´ac gi´a tri.c´o th’ˆe c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X g`ˆom h˜uu ha.n s´ˆo x1, x2, . . . , xnth`ıc´ac bi´ˆen c´ˆo X = x1, X = x2, . . . , X = xnlˆa.p th`anh mˆo.t nh´om c´ac bi´ˆen c´ˆo ¯d`ˆay ¯d’u xungkh´˘ac t`’ung ¯dˆoi.Do ¯d´oni=1pi= 1.• V´ı du.3 Tung mˆo.t con x´uc x´˘ac ¯d`ˆong ch´ˆat. Go.i X l`a s´ˆo ch´ˆam xu´ˆat hiˆe.n trˆen m˘a.t conx´uc x´˘ac th`ı X l`a ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c c´o phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat cho b’’oi:X 1 2 3 4 5 6P1616161616161.3 D¯a.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen liˆen tu.c v`a h`am mˆa.t ¯dˆo.x´ac su´ˆata) D¯a.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen liˆen tu.c✷ D¯i.nh ngh˜ia 3 D¯a.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen ¯d’u’o.c go.i l`a liˆen tu.c n´ˆeu c´ac gi´a tri.c´o th’ˆe c’uan´o l´ˆap ¯d`ˆay mˆo.t kho’ang trˆen tru.c s´ˆo.• V´ı du.4- Nhiˆe.t ¯dˆo.khˆong kh´ı’’o m˜ˆoi th`’oi ¯di’ˆem n`ao ¯d´o.- Sai s´ˆo khi khi ¯do l’u`’ong mˆo.t ¯da.i l’u’o.ng vˆa.t l´y.- Kho’ang th`’oi gian gi˜’ua hai ca c´ˆap c´’uu c’ua mˆo.t bˆe.nh viˆe.n.b) H`am mˆa.t ¯dˆo.x´ac su´ˆat✷ D¯i.nh ngh˜ia 4 H`am mˆa.t ¯dˆo.x´ac su´ˆat c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen liˆen tu.c X l`a h`amkhˆong ˆam f(x), x´ac ¯di.nh v´’oi mo.i x ∈ (−∞, +∞) th’oa m˜anP (X ∈ B) =Bf(x)dxv´’oi mo.i tˆa.p s´ˆo th’u.c B.✸ T´ınh ch´ˆat H`am mˆa.t ¯dˆo.x´ac su´ˆat c´o c´ac t´ınh ch´ˆat saui) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, +∞)ii)+∞−∞f(x)dx = 1´Y ngh˜ia c’ua h`am mˆa.t ¯dˆo.T`’u ¯di.nh ngh˜ia c’ua h`am mˆa.t ¯dˆo.ta c´o P (x ≤ X ≤ x +x) ∼ f(x).xDo ¯d´o ta th´ˆay x´ac su´ˆat ¯d’ˆe X nhˆa.n gi´a tri.thuˆo.c lˆan cˆa.n kh´a b´e (x, x +x) g`ˆan nh’ut’i lˆe.v´’oi f(x). 1. D¯a.i l’u’ong ng˜ˆau nhiˆen 291.4 H`am phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat✷ D¯i.nh ngh˜ia 5 H`am phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X, k´ı hiˆe.u F(x),l`a h`am ¯d’u’o.c x´ac ¯di.nh nh’u sauF (x) = P (X < x)* N´ˆeu X l`a ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c nhˆa.n c´ac gi´a tri.c´o th’ˆe x1, x2, . . . , xnth`ıF (x) =xi<xP (X = xi) =xi<xpi(v´’oi pi= P (X = xi))* N´ˆeu X l`a ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen liˆen tu.c c´o h`am mˆa.t ¯dˆo.x´ac su´ˆat f(x) th`ıF (x) =x−∞f(x)dx✸ T´ınh ch´ˆat Ta c´o th’ˆe ch´’ung minh ¯d’u’o.c c´ac cˆong th´’uc saui) 0 ≤ F (x) ≤ 1; ∀x.ii) F(x) l`a h`am khˆong gi’am (x1≤ x2=⇒ F (x1) ≤ F (x2)).iii) limx→−∞F (x) = 0; limx→+∞F (x) = 1.iv) F(x) = f(x), ∀x.´Y ngh˜ia c’ua h`am phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆatH`am phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat F(x) ph’an ´anh m´’uc ¯dˆo.tˆa.p trung x´ac su´ˆat v`ˆe bˆen tr´ai c’ua¯di’ˆem x.• V´ı du.5 Cho ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c X c´o b’ang phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆatX 1 3 6P 0,3 0,1 0,6T`ım h`am phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat c’ua X v`a v˜e ¯d`ˆo thi.c’ua h`am n`ay.Gi’aiN´ˆeu x ≤ 1 th`ı F (x) = 0.N´ˆeu 1 < x ≤ 3 th`ı F (x) = 0, 3.N´ˆeu 3 < x ≤ 6 th`ı F (x) = 0, 3 + 0, 1 = 0, 4.N´ˆeu x > 6 th`ı F (x) = 0, 3 + 0, 1 + 0, 6 = 1. 30 Ch ’u ’ong 2. D¯a.i l’u’ong ng˜ˆau nhiˆen v`a phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆatF (x) =0 ; x ≤ 10, 3 ; 1 < x ≤ 30, 4 ; 3 < x ≤ 61 ; x > 6• V´ı du.6 Cho X l`a ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen liˆen tu.c c´o h`am mˆa.t ¯dˆo.f(x) =0 n´ˆeu x < 065x n´ˆeu 0 ≤ x ≤ 165x4n´ˆeu x > 1T`ım h`am phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat F(x).Gi’aiKhi x < 0 th`ı F (x) =x−∞f(t)dt = 0Khi 0 ≤ x ≤ 1 th`ı F (x) =x−∞f(t)dt =x065tdt =35x2.Khi x > 1 th`ıF (x) =x−∞f(t)dt =1065tdt +x165t4dt =35+−25t3x1= 1 −25x3Vˆa.y F(x) =0 ; x < 035x2; 0 ≤ x ≤ 11 −25x3; x > 12. C´AC THAM S´ˆO D¯˘A.C TR’UNG C’UA D¯A.I L’U’O.NG NG˜ˆAUNHIˆEN2.1 K`y vo.ng (Expectation)✷ D¯i.nh ngh˜ia 6* Gi’a s’’u X l`a ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c c´o th’ˆe nhˆa.n c´ac gi´a tri.x1, x2, . . . , xnv´’oi c´ac x´ax su´ˆat t’u’ong´’ung p1, p2, . . . , pn. K`y vo.ng c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X, k´ı hiˆe.uE(X) (hay M(X)), l`a s´ˆo ¯d’u’o.c x´ac ¯di.nh b’’oi 2. C´ac tham s´ˆo ¯d˘ac tr’ung c’ua ¯da.i l’u’ong ng˜ˆau nhiˆen 31E(X) =ni=1xipi* Gi’a s’u X l`a ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen liˆen tu.c c´o h`am mˆa.t ¯dˆo.x´ac su´ˆat f(x). K`y vo.ngc’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X ¯d’u’o.c x´ac ¯di.nh b’’oiE(X) =∞−∞xf(x)dx• V´ı du.7 T`ım k`y vo.ng c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen c´o b’ang phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat sauX 5 6 7 8 9 10 11P112212312212212112112Ta c´oE(X) = 5.112+ 6.212+ 7.312+ 8.212+ 9.212+ 10.112+ 11.112=9312=314= 7, 75.• V´ı du.8 Cho X l`a ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen liˆen tu.c c´o h`am mˆa.t ¯dˆo.f(x) =2.e−2xn´ˆeu 0 < x < 20 n´ˆeu x /∈ (0, 2)T`ım E(X).Gi’aiE(X) =∞−∞xf(x)dx =20x.(12x)dx =x3620=43✸ T´ınh ch´ˆati) E(C) = C, C l`a h`˘ang.ii) E(cX) = c.E(X).iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).iv) N´ˆeu X v`a Y l`a hai ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen ¯dˆo.c lˆa.p th`ı E(XY ) = E(X).E(Y ).´Y ngh˜ia c’ua k`y vo.ngTi´ˆen h`anh n ph´ep th’’u. Gi’a s’’u X l`a ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen nhˆa.n c´ac gi´a tri.c´o th’ˆex1, x2, . . . , xnv´’oi s´ˆo l`ˆan nhˆa.n k1, k2, . . . , kn.Gi´a tri.trung b`ınh c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X trong n ph´ep th’’u l`ax =k1x1+ k2x2+ . . . + knxnn=k1xx1+k2nx2+ . . . +knnxn= f1x1+ f2x2+ . . . + fnknv´’oi fi=kinl`a t`ˆan su´ˆat ¯d’ˆe X nhˆa.n gi´a tri.xi. 32 Ch ’u ’ong 2. D¯a.i l’u’ong ng˜ˆau nhiˆen v`a phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆatTheo ¯di.nh ngh˜ia x´ac su´ˆat theo l´ˆoi th´ˆong kˆe ta c´o limn→∞fi= pi. V`ı vˆa.y v´’oi n ¯d’u l´’onta c´ox ≈ p1x1+ p2x2+ . . . + pnxn= E(X)Ta th´ˆay k`y vo.ng c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen x´ˆap x’i v´’oi trung b`ınh s´ˆo ho.c c´ac gi´a tri.quan s´at c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen.Do ¯d´o c´o th’ˆe n´oi k`y vo.ng c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen ch´ınh l`a gi´a tri.trung b`ınh (theox´ac su´ˆat) c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen. N´o ph’an ´anh gi´a tri.trung tˆam c’ua phˆan ph´ˆoi x´acsu´ˆat2.2 Ph’u’ong sai (Variance)✷ D¯i.nh ngh˜ia 7 Ph’u’ong sai (¯dˆo.lˆe.ch b`ınh ph’u’ong trung b`ınh) c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆaunhiˆen X, k´ı hiˆe.u Var(X) hay D(X), ¯d’u’o.c ¯di.nh ngh˜ia b`˘ang cˆong th´’ucV ar(X) = E{[X − E(X)]2}* N´ˆeu X l`a ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c nhˆa.n c´ac gi´a tri.c´o th’ˆe x1, x2, . . . , xnv´’oic´ac x´ac su´ˆat t’u’ong´’ung p1, p2, . . . , pnth`ıV ar(X) =ni=1[xi− E(X)]2pi* N´ˆeu X l`a ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen liˆen tu.c c´o h`am mˆa.t ¯dˆo.x´ac su´ˆat f(x) th`ıV ar(X) =+∞−∞[x − E(X)]2f(x)dx Ch´u ´y Trong th’u.c t´ˆe ta th’u`’ong t´ınh ph’u’ong sai b`˘ang cˆong th´’ucV ar(X) = E(X2) − [E(X)]2Thˆa.t vˆa.y, ta c´oV ar(X) = E{X − E(X)]2}= E{X2− 2X.E(X) + [E(X)]2}= E(X2) − 2E(X).E(X) + [E(X)]2= E(X2) − [E(X)]2• V´ı du.9 Cho ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c X c´o b’ang phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat sauX 1 3 5P 0,1 0,4 0,5T`ım ph’u’ong sai c’ua X.Gi’aiE(X)=1.0,1+3.0,4+5.0,5=3,8E(X2) = 12.0, 1 + 32.0, 4 + 52.0, 5 = 16, 2Do ¯d´o V ar(X) = E(X2) − [E(X)]2= 16, 2 − 14, 44 = 1, 76. 2. C´ac tham s´ˆo ¯d˘ac tr’ung c’ua ¯da.i l’u’ong ng˜ˆau nhiˆen 33• V´ı du.10 Cho ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆaunhiˆen X c´o h`am mˆa.t ¯dˆo.f(x) =cx3v´’oi 0 ≤ x ≤ 30 v´’oi x ∈ [0, 3]H˜ay t`ımi) H`˘ang s´ˆo c.ii) K`y vo.ng.iii) Ph’u’ong saiGi’aii) Ta c´o 1 =30cx3dx = cx4430=814c.Suy ra c =481.ii) E(X) =30x481x3dx =481x5530= 2, 4.iii) Ta c´oE(X2) =∞−∞x2f(x)dx =30x2481x3dx =481x6630= 6Vˆa.y V ar(X) = E(X2) − [E(X)]2= 6 − (2, 4)2= 0, 24.✸ T´ınh ch´ˆati) Var(C)=0; (C khˆong ¯d’ˆoi).ii) V ar(cX) = c2.V ar(X).iii) N´ˆeu X v`a Y l`a hai ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen ¯dˆo.c lˆa.p th`ı* V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y );* Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y);* Var(C+X)=Var(X).´Y ngh˜ia c’ua ph’u’ong saiTa th´ˆay X−E(X) l`a ¯dˆo.lˆe.ch kh’oi gi´a tri.trung b`ınh nˆen V ar(X) = E{[X−E(X)]2}l`a ¯dˆo.lˆe.ch b`ınh ph’u’ong trung b`ınh. Do ¯d´o ph’u’ong sai ph’an ´anh m´’uc ¯dˆo.phˆan t´an c´acgi´a tri.c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen chung quanh gi´a tri.trung b`ınh.2.3 D¯ˆo.lˆe.ch tiˆeu chu’ˆanD¯’on vi.¯do c’ua ph’u’ong sai b`˘ang b`ınh ph’u’ong ¯d’on vi.¯do c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen.Khi c`ˆan ¯d´anh gi´a m´’uc ¯dˆo.phˆan t´an c´ac gi´a tri.c’ua ¯da.i l’u’ong ng˜ˆau nhiˆen theo ¯d’on vi.c’uan´o, ng’u`’oi ta d`ung mˆo.t ¯d˘a.c tr’ung m´’oi ¯d´o l`a ¯dˆo.lˆe.ch tiˆeu chu’ˆan. 34 Ch ’u ’ong 2. D¯a.i l’u’ong ng˜ˆau nhiˆen v`a phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat✷ D¯i.nh ngh˜ia 8 D¯ˆo.lˆe.ch tiˆeu chu’ˆan c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X, k´ı hiˆe.u l`a σ(X),¯d’u’o.c ¯di.nh ngh˜ia nh’u sau:σ(X) =V ar(X)2.4 Mode✷ D¯i.nh ngh˜ia 9 Mod(X) l`a gi´a tri.c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X c´o kh’a n˘ang xu´ˆat hiˆe.nl´’on nh´ˆat trong mˆo.t lˆan cˆa.n n`ao ¯d´o c’ua n´o.D¯´ˆoi v´’oi ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c mod(X) l`a gi´a tri.c’ua X´’ung v´’oi x´ac su´ˆat l´’onnh´ˆat, c`on ¯d´ˆoi v´’oi ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen liˆen tu.c th`ı mod(X) l`a gi´a tri.c’ua X ta.i ¯d´o h`ammˆa.t ¯dˆo.¯da.t gi´a tri.c’u.c ¯da.i. Ch´u ´y Mˆo.t ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen c´o th’ˆe c´o mˆo.t mode ho˘a.c nhi`ˆeu mode.• V´ı du.11 Gi’a s’’u X l`a ¯di’ˆem trung b`ınh c’ua sinh viˆen trong tr’u`’ong th`ı mod(X) l`a¯di’ˆem m`a nhi`ˆeu sinh viˆen ¯da.t ¯d’u’o.c nh´ˆat.• V´ı du.12 Cho ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen liˆen tu.c c´o phˆan ph´ˆoi Vˆay−bun v´’oi h`am mˆa.t¯dˆo.f(x) =0 n´ˆeu x ≤ 0x2e−x24n´ˆeu x > 0H˜ay x´ac ¯di.nh mod(X).Gi’aimod(X) l`a nghiˆe.m c’ua ph’u’ong tr`ınhf(x) =12e−x24−x24e−x24= 0Suy ra mod(X) l`a nghiˆe.m c’ua ph’u’ong tr`ınh 1 −x22= 0. Do mod(X) > 0 nˆenmod(X) =√2 = 1, 414.2.5 Trung vi.✷ D¯i.nh ngh˜ia 10 Trung vi.c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X l`a gi´a tri.c’ua X chia phˆanph´ˆoi x´ac su´ˆat th`anh hai ph`ˆan c´o x´ac su´ˆat gi´ˆong nhau. K´ı hiˆe.u med(X).Ta c´o P (X < med(X)) = P (X ≥ med(X)) =12⊕ Nhˆa.n x´et T`’u ¯di.nh ngh˜ia ta th´ˆay ¯d’ˆe t`ım trung vi.ch’i c`ˆan gi’ai ph’u’ong tr`ınh F (x) =12.Trong´’ung du.ng, trung vi.l`a ¯d˘a.c tr’ung vi.tr´ı t´ˆot nh´ˆat, nhi`ˆeu khi t´ˆot h’on c’a k`y vo.ng,nh´ˆat l`a khi trong s´ˆo liˆe.u c´o nhi`ˆeu sai s´ot. Trung vi.c`on ¯d’u’o.c go.i l`a phˆan vi.50% c’uaphˆan ph´ˆoi. 2. C´ac tham s´ˆo ¯d˘ac tr’ung c’ua ¯da.i l’u’ong ng˜ˆau nhiˆen 35• V´ı du.13 T`ım med(X) trong v´ı du.(12).Gi’aimed(X) l`a nghiˆe.m c’ua ph’u’ong tr`ınhmed(X)0f(x)dx = 0, 5 hay 1− e−[med(X)]24= 0, 5Suy ra med(X) = 1, 665. Ch´u ´y N´oi chung, ba s´ˆo ¯d˘a.c tr’ung k`y vo.ng, mode v`a trung vi.khˆong tr`ung nhau.Ch’˘ang ha.n, t`’u c´ac v´ı du.(12), (13) v`a t´ınh thˆem k`y vo.ng ta c´o E(X) = 1, 772; mod(X) =1, 414 v`a med(X) = 1, 665. Tuy nhiˆen n´ˆeu phˆan ph´ˆoi ¯d´ˆoi x´’ung v`a ch’i c´o mˆo.t mode th`ıc’a ba ¯d˘a.c tr’ung ¯d´o tr`ung nhau.2.6 Moment✷ D¯i.nh ngh˜ia 11* Moment c´ˆap k c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X l`a s´ˆo mk= E(Xk).* Moment qui tˆam c´ˆap k c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X l`a s´ˆo αk= E{[X − E(X)]k}.⊕ Nhˆa.n x´eti) Moment c´ˆap 1 c’ua X l`a k`y vo.ng c’ua X (m1= E(X)).ii) Moment qui tˆam c´ˆap hai c’ua X l`a ph’u’ong sai c’ua X (α2= m2− m21= V ar(X)).iii) α3= m3− 3m2m1+ 2m31.2.7 H`am moment sinh✷ D¯i.nh ngh˜ia 12 H`am moment sinh c’ua ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X l`a h`am x´ac ¯di.nhtrong (−∞, +∞) cho b’’oiφ(t) = E(etX) =xetxp(x) n´ˆeu X r`’oi ra.c+∞−∞etxp(x)dx n´ˆeu X liˆen tu.c✸ T´ınh ch´ˆati) φ(0) = E(X).ii) φ(0) = E(X2).iii) T’ˆong qu´at: φ(n)(0) = E(Xn), ∀n ≥ 1. 36 Ch ’u ’ong 2. D¯a.i l’u’ong ng˜ˆau nhiˆen v`a phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆatCh´’ung minh.i) φ(t) =ddtE(etX) = Eddt(etX)= E(XetX).Suy ra φ(0) = E(X).ii) φ(t) =ddtφ(t) =ddtE(XetX) = Eddt(XetX)= E(X2etX).Suy ra φ(0) = E(X2). ✷ Ch´u ´yi) Gi’a s’’u X v`a Y l`a hai ¯da.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen ¯dˆo.c lˆa.p c´o h`am moment sinh t’u’ong´’ung l`a φX(t) v`a φY(t). Khi ¯d´o h`am moment sinh c’ua X + Y cho b’’oiφX+Y(t) = E(et(X+Y )) = E(etXetY) = E(etX)E(etY) = φX(t)φY(t)(¯d’˘ang th´’uc g`ˆan cu´ˆoi c´o ¯d’u’o.c do etXv`a etY¯dˆo.c lˆa.p)ii) C´o t’u’ong´’ung 1−1 gi˜’ua h`am moment sinh v`a h`am phˆan ph´ˆoi x´ac su´ˆat c’ua ¯da.il’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen X.3. MˆO.T S´ˆO QUI LUˆA.T PHˆAN PH´ˆOI X´AC SU´ˆAT3.1 Phˆan ph´ˆoi nhi.th´’uc (Binomial Distribution)✷ D¯i.nh ngh˜ia 13 D¯a.i l’u’o.ng ng˜ˆau nhiˆen r`’oi ra.c X nhˆa.n mˆot trong c´ac gi´a tri.0,1,2, .,nv´’oi c´ac x´ac su´ˆat t’u’ong´’ung ¯d’u’o.c t´ınh theo cˆong th´’uc BernoulliPx= P (X = x) = Cxnpxqn−x(2.1)go.i l`a c´o phˆan ph´ˆoi nhi.th´’uc v´’oi tham s´ˆo n v`a p. K´ı hiˆe.u X ∈ B(n, p) (hay X ∼ B(n, p)). Cˆong th´’ucV´’oi h nguyˆen d’u’ong v`a h ≤ n − x, ta c´oP (x ≤ X ≤ x + h) = Px+ Px+1+ . . . + Px+h(2.2)• V´ı du.14 T’y lˆe.ph´ˆe ph’ˆam trong lˆo s’an ph’ˆam l`a 3%. L´ˆay ng˜ˆau nhiˆen 100 s’an ph’ˆam¯d’ˆe ki’ˆem tra. T`ım x´ac su´ˆat ¯d’ˆe trong ¯d´oi) C´o 3 ph´ˆe ph’ˆam.ii) C´o khˆong qu´a 3 ph´ˆe ph’ˆam.Gi’aiTa th´ˆay m˜ˆoi l`ˆan ki’ˆem tra mˆo.t s’an ph’ˆam l`a th’u.c hiˆe.n mˆo.t ph´ep th’’u. Do ¯d´o ta c´on=100 ph´ep th’’u.