chuong3tichphannhieubien.pdf

Tích phân

PétítísốềếsốĐ í é t ế tí éũ t ề ệ tí ì t tớ ệ tí ị ột ớ t ề tểtí ì trụ sẽ t tớ ệ ớ tí ớ u = f(x, y) ị tụ tr ềD ó ị tr Oxy t í V ớ ở ớ D (Oxy) tr u = f(x, y) t q ó ờ s s s ớ Oztự tr Dì ẽ í t ủ tí é số u = f(x, y) ị tr ề D ó ị D ột tỳ ý t n ỏ1, 2, ., n r ỗ Si ột ể tỳ ýMi(xi, yi) ổIn=ni=1f(xi, yi)S(i)ợ ọ tổ tí ủ số f(x, y) tr ềDọ di= ờ í ủ i sup d(M, M), M, Miế n s max{di} 0 In tớột ớ ữ I ụ tộ ề D ể Mitr ỗ i tì ớ ợ ọ tí é ủ số f(x, y) trề D ý ệDf(x, y)dS := limmax{di}0InD ề tí f ớ tí Df(x, y)dS tồ t t ó f(x, y) tí tr ềDì tí é ụ tộ ề Dt ỏ t ó tể D ở ọ ờt s s ớ trụ t ộ ó dS = dxdy ó tể ếtDf(x, y)dS =Df(x, y)dxdy ú ý ế f(x, y) tụ tr ề ó ị D tì tí tr ề í tớ tết ó t tr tí ề tí tí é ũ ó ột số tí t ố tí ị ế tíD(kf + lg)dxdy = kDfdxdy + lDgdxdy ộ tíế ề D = D1D2 tr int(D1)int(D2) = tìDfdxdy =D1fdxdy +D2fdxdy. tứ tựf g,(x, y) D tìDfdxdy Dgdxdy ế m f(x, y) M,(x, y) D m M số tìmS(D) Dfdxdy M S(D) ề trị tr ìế f(x, y) tụ tr ề ó ị D tìM0(x0, y0) D : f(M0) =DfdxdyS(D). tí tí é tr t ộ ór tí ột ớ t ề ế t títể tí t tể t tết ệ ủ ó tế tụ tí ì ọ tí ớ tể tí ì trụ t sẽ ệ tí tí ớ ề tí ề D ì ữ ta x bc y dI =badcf(x, y)dydx :=badxdcf(x, y)dyI =dcbaf(x, y)dxdy :=dcdybaf(x, y)dx tí tí tr t ế tì ế số ề D ề ị ở t tứa x by1(x) y y2(x)y1(x), y2(x) C[a, b]a x bc y dI =bay2(x)y1(x)f(x, y)dydx :=badxy2(x)y1(x)f(x, y)dy ề D ề ị ở t tức y dx1(y) x x2(y)x1(y), x2(y) C[c, d]I =dcx2(y)x1(y)f(x, y)dxdy :=dcdxy2(x)y1(x)f(x, y)dy ề D ề t ỳ D t ề ỏ rờ ó ở trí ụ t ổ ế tr tí é tứ tổ qt ù é ổ ế sx = x(u, v)y = y(u, v)(1)t x(u, v), y(u, v), xu, xv, yu, yv C(D)(1) ị ột s từ D Dị tứ J =D(x,y)D(u,v)=xuxvyuyv= 0 tr D. óI =Df(x, y)dxdy =Df[x(u, v), y(u, v)] |J|dudvì ẽ tí ủ strrt ớx = x(u, v)y = y(u, v)(1)A1(u, v) A2(u + du, v) A3(u + du, v + dv) A4(u, v + dv)B1[x(u, v), y(u, v)], B2[x(u + du, v), y(u + du, v)]B3[x(u + du, v + dv), y(u + du, v + dv)] B4[x(u, v + dv), y(u, v + dv)]ế ớ ét số t t du dv tì ótể ú ểB1[x, y], B2[x +xudu, y +xudu]B3[x +xudu +xvdv, y +yudu +yvdv]B4[x +xvdv, y +xvdv]ớ ộ í é tứ B1B2B3B4ột ì ì ệ tí ủ ó ệ tíủ t B1B2B3 ừ ì ọ tí t ếtr ệ tí t ó ỉ t ể(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) í trị tệt ố ủx2 x1x3 x2y2 y1y3 y2 ụ tứ ó trờ ợ ủ t t ó ớộ í ế ộ é tìS =xuduxvdvxuduyvdv=xuxvxuyvdudvì I =Df(x, y)dS =Df[x(u, v), y(u, v)] |J|dudv ổ ế tr tọ ộ ự ổ ế Dx = r cos y = r sin ớ r 0; 0 < 2 Dr1() r r2()1 2 I =Df(x, y)dxdy =Df(r cos , r sin ) rdrd =21dr2()r1()f(r cos , r sin ) rdrPé ổ ế tờ ù ủ D ứx2+ y2 ổ ế ộ ự tị tếx = a + r cos y = b + r sin ớ r 0; 0 < 2 ó J = r (x a)2+ (x b)2= r2Pé ổ ế tờ ù ể tứ (x a)2+ (x b)2ổ ế t ộ ự x = ar cos y = br sin ớ r 0; 0 < 2 ó J = abr x2a2+y2b2= r2Pé ổ ế tờ ù ủ D ềí ứ ụ ì ọ ủ tí é í ệ tí ề tứS =Ddxdy í tể tí ủ t tể ì trụ VPí tr z = f(x, y) C(D)Pí ớ z = 0 q ờ s Oz tự tr D tứS =Df(x, y)dxdy ú ý ế ề ó tí ố ứ tì ó tể tí tể tíột rồ s r t tể ế t tể V ì tỳ ý ế ì trụ ó ờ s s s ớ trụ0x 0y tì ổ trò ủ x ớ z y ớ z tr tứ tr tí ố ứ ỉ tí14tể tí tì tr t tứ t ó t í tr x2+y2+z2= 4a2 z =4a2 x2 y2t ớ x2+ y2= 2ay x2+ (y a)2= a2V =14D4a2 x2 y2dxdy í ệ tí t t z = f(x, y) ó ì ế ó tr t Oxy ề D f(x, y), fx, fy C(D) tìS =D1 + (zx)2+ (zy)2dxdy tí ị ĩ ệ tí S ủ t ó ớ S = lim Sn= limni=1SSiớ ờ í ủ tử SSiũ ờ íủ tử Di tớ 0SSi ì ó ì ế trự DitìDi= SSi| cos i|ió ủ tế ủ t SSiớ trụ z S = lim Sn= limni=1SSi= limni=11| cos i|Di== limni=11 + (zx)2+ (zy)2Di=D1 + (zx)2+ (zy)2dxdy P ệ tí t tr t trụ tí ố ứ ỉ ét t tr t tứ t óz =a2 x2 y2zx=xa2 x2 y2 zy=ya2 x2 y21 + (zx)2+ (zy)2=aa2 x2 y2S = 4Daa2 x2 y2dxdyớ ề tí D ử ì trò x2+ y2= ay tr ó t tứ t ủ t Oxyù t ộ ự x = r cos , y = r sin S = 4a20da sin 0rdra2 r2Đ í ộ tí ộ số u = f(x, y, z) ị tr ề V ó ị ủ Oxyz V ột tỳ ýt n ề ỏ 1, 2, ., n r ỗ Si ột ể tỳ ý Mi(xi, yi, zi) ổIn=ni=1f(xi, yi, zi)V (i)ợ ọ tổ tí ủ số f(x, y) tr ềDọ di= ờ í ủ i sup d(M, M), M, Miế n s max{di} 0 In tớột ớ ữ I ụ tộ ề V ể Mitr ỗ i tì ớ ợ ọ tí ộ ủ số f(x, y)tr ề V ý ệVf(x, y)dV := limmax{di}0In V ề tí f ớ tí Df(x, y)dV tồ t t ó f(x, y, z) tí trề V ì tí é ụ tộ ề Vt ỏ t ó tể V ở ọ ờt s s ớ trụ t ộ ó dV = dxdydz ó tể ếtVf(x, y)dV =Vf(x, y)dxdydz ú ý ế f(x, y, z) tụ tr ề ó ị V tì tí tr ề í t tí tí ộ tr t ộ ó tí t ủ tí ớ ố tí tủ tí ớ tí tí ộ tr ệ t ộ ề tết tồ t tí ớI =Vf(x, y, z)dxdydz tí I ớ ề V s a x bc y dg z h óI =badchgf(x, y, z)dzdydx =badxdcdyhgf(x, y, z)dz t ó tể ổ tứ tự tí a x by1(x) y y2(x)z1(x, y) z z2(x, y) óI =badxy2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x, y, z)dz =Ddxdyz2(x,y)z1(x,y)f(x, y, z)dz r ó a x by1(x) y y2(x) D ì ế ủV t Oxyú ý I =Vdxdydz tứ ể tí tể tíố t tể V í ụ tộ t số ớ số t ị tr ì ữ t Da x bc t d sử ỗ t [c, d], f(x, t) tí t ế x I =baf(x, t)dx = I(t) ột ủ t ị tr [c, d] ề t r ớ ề ệ tì I(t) tụ tí tr [c, d] ế số f(x, t) tụ tr ì ữ tD tì I(t) ũ tụ tr ó limtt0[c,d]I(t) =balimtt0f(x, t)dx ế ỗ t [c, d], f(x, t) C[a, b] t ếx ế ft C(D) tì I(t) tr [c, d] I(t) =baft(x, t)dx ế f(x, t) C(D) tì I(t) tí tr [c, d]dcI(t) =dcbaf(x, t)dxdt =badcf(x, t)dtdx