Luyện tập toán GV: Vũ HOàng Sơn Phần 1.tổ hợp I.Tóm tắt lý thuyết Trong bài viết này ta quy ớc n,k là các số tự nhiên với 1; .n k n Cho một tập hợp A gồm n phần tử . *Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử đó tạo thành một hoán vị .Số hoán vị của n phần tử là P n =n!. *K phần tử sắp thứ tự của A tạo thành một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số chỉnh hợp là ! ( )! k n n A n k = . *K phần tử không phân biệt thứ tự của A tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Số tổ hợp là ! ! !( )! k k n n A n C k k n k = = . *Công thức khai triến nhị thức NiuTơn ( ) 0 n n k n k k n k a b C a b = + = . *Các công thức thờngdùng : * k n k n n C C = (1) * 1 1 1 k k k n n n C C C + + + + = (2) * 0 1 2 2 n n n n n n C C C C + + + + = (3) * 1 2 2 1 0 2 4 1 3 1 2 2 2 n n n n n n n n n n C C C C C C C + + + + + = + + + = (4) Sử dụng (2) ,ta chứng minh đợc hai công thức 1 2 2 2 2 k k k k n n n n C C C C + + + + + + = 1 2 3 3 3 3 3 . k k k k k n n n n n C C C C C + + + + + + + + = II. một số dạng toán thờng gặp 1. Bài toán tính tổng * Thí dụ 1. Rút gọn biểu thức 0 1 2 3 ( 1) , k k k n n n n n S C C C C C= + + + với ,k n n >1. Lời giải . Với k< n ,áp dụng công thức (2) và lu ý 0 0 1 1, n n C C = = ta có 0 0 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) k k k k n n n n n n n n n S C C C C C C C C C = + + + + + + + Vậy 1 ( 1) . k k k n S C = Nếu k=n thì 0 1 2 3 ( 1) (1 1) 0 k n n k n n n n n S C C C C C= + + = = . L u ý . Nhiều bạn đã mắc sai lầm khi viết 0 1 2 3 ( 1) (1 1) 0 k k n k n n n n n S C C C C C= + + + = = (!) Phải xét 2 trờng hợp đối với k nh trong lời giải trên . *. Thí dụ 2. Tính tổng 1 3 5 2 1 4 4 4 4 . n n n n n S C C C C = + + + + Lời giải . áp dụng công thức (1),ta có 1 4 1 3 4 3 2 1 2 1 4 4 4 4 4 4 , , , n n n n n n n n n n C C C C C C + = = = Do đó 4 1 4 3 2 1 4 4 4 . n n n n n n S C C C + = + + + Ta dợc 1 3 5 4 1 4 1 4 4 4 4 2 2 n n n n n n S C C C C = + + + + = Xem công thức (4) .Vậy S= 4 2 2 . n 3.Ph ơng trình tổ hợp Phơng trình tổ hợp là phơng trình có chứa ẩn số trong công thức tổ hợp ,chỉnh hợp,hoán vị. *Thí dụ 6.Giải phơng trình x x x x x A C C x P 3 1 3 2 1 1 6 2 3 3 159 + + = + + Lời giải : ĐK: x , x N.3 phơng trình đã cho biến đổi thành (x-12)(2x 2 +11x+147) = 0 PT có nghiệm x = 12. Lu ý.Khi giải phơng trình tổ hợp ta làm nh sau: 1 Luyện tập toán GV: Vũ HOàng Sơn -Đặt điều kiện cho ẩn số -Sử dụng các công thức về hoán vị,chỉnh hợp ,tổ hợp để biến đổi ,rút gọn và giải phơng trình. -Đối chiếu nghiệm tìm đợc với điều kiện của bài toán và kết luận. 4. Tính hệ số của đa thức * Thí dụ 8. Tính số hạng không chứa x, khi khai triển P(x) = n x x + ữ 3 2 biết rằng n thoả mãn n n n n n C C C C C . + + + + = 6 7 8 9 8 2 3 3 2 Lời giải. áp dụng công thức (2), ta có n n n n C C C C+ + + 6 7 8 9 3 3 = n n n n n n C C (C C ) C C+ + + + + 6 7 7 8 8 9 2 = n n n n n n C C C C C C . + + + + + + + + = + = 7 8 9 8 9 9 1 1 1 2 2 3 2 Giả thiết tơng đơng với n n n C C n + + + = = = 9 8 3 2 3 2 2 15 9 Khi đó P(x) = x x + ữ 15 3 2 = k k k k k k k k C ( x) C x . x = = = ữ 30 5 15 15 15 3 6 15 15 0 0 2 2 Số hạng không chứa x tơng ứng với k k = = 30 5 0 6 6 . Số hạng phải tìm là C . .= 6 6 15 2 320320 L u ý . Tính hệ số của số hạng x ( là một số hữu tỉ cho trớc) trong khai triển nhị thức Newton của p(x) = ( f (x)) n , ta làm nh sau: Viết P(x) = n g(k) k k x = 0 ; số hạng chứa x tơng ứng với g(k) = ; giải PT ta tìm đợc k. Nếu k ,k n, Ơ hệ số phải tìm là k ; nếu k Ơ hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa x , hệ số phải tìm bằng 0. *Thí dụ 9.Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức P(x) = (2x + 1) 13 = . x x + + + 13 12 0 1 13 Lời giải. Ta có P(x) = (2x + 1) 13 = n n n C ( x) = 13 13 13 0 2 Vậy ( ) n n n n n n C . C . n , , , . = = = 13 1 14 13 1 13 2 2 1 2 13 Xét BPT ( với ẩn số n): n n n n n n C . C . 1 14 13 1 13 13 2 2 . ! ! (n )!( n)! n!( n)! 2 13 13 1 14 13 n . n n 12 1 14 14 3 Ơ Do đó BĐT n n 1 đúng với { } n , , , 1 2 3 4 và dấu đẳng thức không xảy ra. Ta đợc < < < < 0 1 2 3 4 và . > > > 4 5 13 Vậy max( n ) = C . = = 4 9 4 13 2 366080 L u ý . Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển ( ) m x b + thành một đa thức, ta làm nh sau: Tính hệ số của số hạng tổng quát; giải BPT n n 1 với ẩn số n; hệ số lớn nhất phải tìm tơng ứng với số tự nhiên n lớn nhất thoả mãn BPT trên. 2 Luyện tập toán GV: Vũ HOàng Sơn Bài tập phần tổ hợp : Bài I. 1)Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau. 2)Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. 3)Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2008 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau? 4)Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số lập đợc đều nhỏ hơn 25000? 5)Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn ,mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau? 6)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tông các chữ số hàng chục ,hàng trăm ,hàng nghìn bằng 8 ? 7)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1,5? 8)Có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đồng thời ba điều kiện sau : gồm đúng 4 chữ số đôi một khác nhau ; là số chẵn ;nhỏ hơn 2158 ? 9).Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số kác nhau và chữ số 2 đứngcạnh chữ số 3 ? 10).Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau ? 11)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị? 12)Từ 9 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau. Bài II. 1) Một lớp học có 33 học sinh ,trong đó có 7 nữ .Cần chia lớp học thành 3 tổ ,tổ I có 10 học sinh,tổ II có 11 học sinh,tổ III có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chia nh vậy? 2) Trong một môn học ,thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó , 10câu hỏi trung bình ,15 câu hỏi dễ.Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra ,mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau ,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó,trung bình ,dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? 3) Đội thanh niên xung kích của một trờng phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A. 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy.? 4) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.? 5)Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4.Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy? Bài III. 1.Chứng minh với k,n thoả mãn các điều kiện ta có a) k n k n k n k n CCCC 2 21 2 + =++ b) k k k k k n n n n n C C C C C + + + + = 1 2 3 3 3 3 4) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức: 2P n + 6A 2 n - P n A 2 n = 12. 5) Giải bất phơng trình : ( ) ( ) !! 1 15 2 4 4 < + + nn A n 6) Giải hệ phơng trình : 2 3 4 2 22 4 66 x y y x A C A C + = + = 7)Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 7 4 3 1 + x x với x > 0. 3 Luyện tập toán GV: Vũ HOàng Sơn 8)Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của khai triển n x x xx + 3 2 . bằng 36.Tìm số hạng thứ 7. 9)Trong khai triển n xxx + 5 28 3 . ,hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x ,biết 79 21 =++ n n n n n n CCC 10)Biết rằng trong khai triển nhị thức Niutơn của n x x + 1 tổng các hệ số của hai số hạng đầu tiên bằng 24 ,tính tổng các hệ số của các số hạng chứa x k với k > 0 và chứng minh rằng tổng này là một số chính phơng. 11)Tìm hệ số của 8 x trong khai triển thành đa thức của x ( x) 8 2 1 1 + 12)Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của : x( 1 - 2x ) 5 + x 2 ( 1 + 3x) 10 13)Tìm hệ số của số hạng x 8 trong khai triển nhị thức Niutơn của n x x + 5 3 1 . Biết rằng )( 37 3 1 4 += + + + nCC n n n n 15)Tìm số tự nhiên n thoả mãn : 1002 333222 =++ n nnnn n nn CCCCCC 16) Cho khai triển nhị thức 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n x x x x x x x x n n n n n n C C C C + = + + + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ Biết rằng trong khai triển đó 3 1 5 n n C C= và số hạng thứ t bằng 20n,tìm n và x. 17)Với n là số nguyên dơng, gọi a 3n-3 là hệ số của x 3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 +1) n (x+2) n . Tìm n để a 3n-3 = 26n. Bài IV. 1) Trên các cạnh AB, BC, CD , DA của hình vuông ABCD lần lợt cho 1,2,3 và n điểm phân biệt khác A ,B, C, D . Tìm n biết rằng số tam giác có ba đỉnh lấy từ n+6 điểm đã cho là 439 2)Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 4).Biết rằng ,số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A .Tìm { } nk , ,2,1 sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất . 3)Cho hai đờng thẳng song song d 1 và d 2 .Trên đờng thẳng d 1 có 10 điểm phân biệt ,trên đờng thẳng d 2 có n điểm phân biệt ( n 2).Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho .Tìm n. 4)Tìm { } k 0,1,2, ,2005 sao cho k 2005 C đạt giá trị lớn nhất. 5)Cho tập A gồm n phần tử , n 7.Tìm n,biết rằng số tập hợp con gồm 7 phần tử của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A. 6)Cho tập A gồm n phần tử , n > 4.Tìm n, biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần tử là số lẻ. 7)Biết rằng (2 +x ) 100 = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a 100 x 100 .Chứng minh rằng , a 2 <a 3 . với giá trị nào của k thì a k < a k+1 ( ) 990 k ? 8)Giả sử (1 +2x) n = a 0 +a 1 x+ a n x n .Biết rằng a 0 +a 1 +a 2 + +a n = 729.Tìm n và số lớn nhất trong các số a 0 ,a 1 ,a 2 , ,a n . 9)Giả sử n kà số nguyên dơng và (1+x) n =a 0 +a 1 x+ +a n x n . Biết răng tồn tại số k nguyên dơng (1 1 nk ) sao cho , 2492 11 + == kkk aaa hãy tính n. 10)Cho đa giác đều A 1 A 2 A 2n (n 2, n nguyên ) nội tiếp đờng tròn (0).Biết răng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1, A 2 , ,A 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1 ,A 2 ,A 2n , tìm n. Hết Phần 1 4 . II. 1) Một lớp học có 33 học sinh ,trong đó có 7 nữ .Cần chia lớp học thành 3 tổ ,tổ I có 10 học sinh,tổ II có 11 học sinh,tổ III có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ .Hỏi. đề nhất thi t phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó,trung bình ,dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? 3) Đội thanh niên xung kích của một trờng phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A. 4 học sinh. thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A. 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu