Dethi HSG

Cám ơn Thầy cô ở Violet đã biên soan BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Năm học: 2009 – 2010 Tôi up lên để dành làm tliệu Câu 1: Tính: ( ) ( ) x 5 2 2 5 5 250 3 3 y 3 1 3 1 x x y y A x y x xy y = + − = − − + + = − − + Câu 2: Cho phương trình (m + 1)x 2 – 2(m – 1) x + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m). a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thỏa mãn: 1 2 1 1 7 x x 4 + = Câu 3: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở về A. Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng của ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước. Câu 4: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới (O; R) (N, P là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó. b) Chứng minh MA.MB = MN 2 . c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều. d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Câu 5: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 5 23 x y + ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 7 B 8x 18y x y = + + + 1 ĐỀ 1 Cám ơn Thầy cô ở Violet đã biên soan BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Năm học: 2009 – 2010 Tôi up lên để dành làm tliệu Đáp án đề 1 Câu 1:x = 10; y = 3 ,A = x – y = 7 Bài 2: a) Với m = 2 ; x 1 = 0; x 2 = 2/3. b) m = -6. Bài 3: ĐS: Vận tốc ca nô: 12 km/h; Vận tốc dòng nước: 3 km/h Bài 4: c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn). Bài 5: 6 7 B 8x 18y x y 2 2 4 5 8x 18y 8 12 23 43 x y x y = + + +       = + + + + + ≥ + + =  ÷  ÷  ÷       Dấu bằng xảy ra khi ( ) 1 1 x;y ; 2 3   =  ÷   . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của B là 43 khi ( ) 1 1 x;y ; 2 3   =  ÷   2 Cám ơn Thầy cô ở Violet đã biên soan BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Năm học: 2009 – 2010 Tôi up lên để dành làm tliệu Câu I: Cho biểu thức: 2 1 1 ( ) : 2 1 1 1 x x x A x x x x x + − = + + − + + − a- Rút gọn biểu thức A. b- Tính giá trị của A khi 7 2 6x = − . c- Tìm x để A đạt GTLN. Câu II: 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2 3 5 1 x x y x + + = + . 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: 11x + 18y = 120. Câu III: Cho hệ phương trình: ( )    +=− −=−− 52 131 myx mmyxm Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho 22 yxS += đạt giá trị nhỏ nhất. Câu IV. Giải phương trình sau: 2 4 2 2 3 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + − + = − − Câu V. Tìm x, y, z thỏa mãn: x y z 2009 2 x 19 4 y 7 6 z 1997+ + − = − + − + − Câu VI: Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính BC . Điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (O) . Gọi K là giao điểm của CF và ED a. Chứng minh rằng 4 điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn. b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ? 3 ĐỀ 2 O K F E D C B A Cám ơn Thầy cô ở Violet đã biên soan BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Năm học: 2009 – 2010 Tôi up lên để dành làm tliệu Đáp án đề 2 Câu I: a. Điều kiện xác định: 0 1x≤ ≠ (0,25) 2 ( 1) ( 1) 2 . 1 1 x x x x x A x x x + + − − + + = − − 2 ( 2 1)2 2 ( 1) ( 1) 1 x x x x x x x − + = = − + + + + (0,75) b- 2 2 2 2 1 3 1 3 ( ) 2 4 4 4 A x = ≤ = + + + (0,5). Dấu “ =’’ xảy ra 0 0x x⇔ = ⇔ = (0,25) Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi x = 0.(0,25) c- Với x = 2 7 2 6 ( 6 1)− = − 6 1x⇒ = − (0,5). Ta có: 2 2 7 2 6 6 1 1 7 6 A = = − + − + − (0,5) Câu II: a. Vậy tập giá trị của y là 1 11 ; 2 2       , do đó 11 1 ; 2 2 Max y Min y= = (4đ) b. Vậy ( ) ( ) , 6,3x y = là nghiệm nguyên dương của phương trình.(2đ) Câu III: Khi m ạ -1 thì hệ có nghiệm duy nhất    −= += 3 1 my mx ( ) ( ) ( ) 8812104231 2 2 22 22 ≥+−=+−=−++=+=⇒ mmmmmyxS . Vậy 18 min =⇔= mS Câu IV:Ta có: VT ≥ 5; VP ≤ 5. Vây hệ có nghiệm duy nhất x = 1. Câu V: Đưa về dạng: ( ) ( ) ( ) 03199727119 222 =−−+−−+−− zyx . Vậy nghiệm của phương trình là: x = 20; y = 11; z = 2006. Câu VI: a. Ta có ∠ KEB= 90 0 mặt khác ∠ BFC= 90 0 ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) do CF kéo dài cắt ED tại D => ∠ BFK= 90 0 => E,F thuộc đường tròn đường kính BK hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đường tròn đường kính BK. b. ∠ BCF= ∠ BAF Mà ∠ BAF= ∠ BAE=45 0 => ∠ BCF= 45 0 Ta có ∠ BKF= ∠ BEF Mà ∠ BEF= ∠ BEA=45 0 (EA là đường chéo của hình vuông ABED)=> ∠ BKF=45 0 Vì ∠ BKC= ∠ BCK= 45 0 => tam giác BCK vuông cân tại B 4 Cám ơn Thầy cô ở Violet đã biên soan BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Năm học: 2009 – 2010 Tôi up lên để dành làm tliệu Bài 1: Cho biểu thức x3 3x 1x )3x(2 3x2x 3xx P − + + + − − −− − = a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x = 14 - 6 5 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x. Bài 2: a) Giải phương trình: 1 x1x 1 1x2x 1 2x3x 1 = ++ + +++ + +++ b) Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: )3z42y31x2.(235zyx +++++=+++ Bài 3: a) Cho x > 0, y > 0 thoả mãn: 2 1 y 1 x 1 =+ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức yxA += b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x375x3B −+−= Bài 4: a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x + y + xy = 4 b) Tìm các số nguyên x để : 2x2x199 2 +−− là số chính phương chẵn. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (I ) đường kính BH cắt AB tại D. Vẽ đường tròn (K) đường kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng: a) AD.AB = AE.AC b) DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). c) Diện tích tứ giác DEKI bằng nửa diện tích tam giác ABC. 5 ĐỀ 3 Cám ơn Thầy cô ở Violet đã biên soan BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Năm học: 2009 – 2010 Tôi up lên để dành làm tliệu Đáp án đề 3 Bài 1: (4 điểm) a) ĐK x ≥ 0, x ≠ 9 1 8 )3)(1( )1)(3()3(23 2 + + = −+ ++−−−− = x x xx xxxxx P b) P = 11 5258 − c) ( )( ) 2 1 9 1 1 9 1 1 911 1 91 1 8 − + ++= + +−= + ++− = + +− = + + = x x x x x xx x x x x P áp dụng BĐT Côsi ta có: ( ) 42922 1 9 122 1 9 1 =−=− + +≥− + ++= x x x xP P = 4 ⇔ 4 1 9 1 =⇔ + =+ x x x . Vậy min P = 4 khi x = 4 Bài 2: (4 điểm) a. ĐK x ≥ 0, nghiệm của phương trình là x = 1. b) Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: )3z42y31x2.(235zyx +++++=+++ ĐK x ≥ -1, y ≥ -2, z ≥ -3. Nghiệm của phương trình là x = 3; y = 7; z = 13 Bài 3: (4 điểm) a) Vì x > 0, y > 0 nên 0;0;0 1 ;0 1 >>>> yx yx + Vận dụng BĐT Côsi cho 2 số dương yx 1 ; 1 ta được:         +≤⋅ yxyx 11 2 111 . Suy ra : 4 4 11 ≥⇒≤ xy xy + Vận dụng BĐT Côsi cho 2 số dương yx; ta được: 42.24.2.2 ==≥≥+= yxyxA Vậy min A = 4 khi và chỉ khi x = y = 4 b) ĐKXĐ: 3 7 3 5 ≤≤ x . Khi đó: A 2 = (3x - 5) + (7 – 3x) + 2 )37).(53( xx −− = 2 + 2 )37).(53( xx −− Vậy max A 2 = 4 => max A = 2 khi x = 2. Bài 4: (4 điểm) a) x + y + xy = 4 ⇔ (x + 1)(y + 1) – 1 = 4 ⇔ (x + 1)(y + 1) = 5.1=(-1).(-5) Giải 4 hệ Ta có nghiệm là (0 ; 4) ; (4 ; 0) ; (-2 ; -6) ; (-6 ; -2) b) Tìm các số nguyên x để 2x2x199 2 +−− là số chính phương chẵn. Vậy x ∈ { } 13 ;1 ;3 ;15 −− Bài 5: a) Nối HD, HE thì: ∠BDH = 90 0 ; ∠CEH = 90 0 . áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AH 2 = AB.AD; AH 2 = AC.AE, suy ra AD.AB = AE.AC b) Tứ giác AEHD là hình chữ nhật. Ta có: ∠IDE = ∠IDH + ∠HDE = ∠IHD + ∠DHA = 90 0 => ID ⊥ DE => DE là tiếp tuyến của (I). Tương tự ta có : DE là tiếp tuyến của (K) Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). c) Ta có DEIK là hình thang vuông : ABCDEIK S AHBCAHIKAHHKIHDEEKDI S 2 1 2 . 2 1 2 . 2 ).( 2 ).( === + = + = 6 4 hệ Cám ơn Thầy cô ở Violet đã biên soan BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Năm học: 2009 – 2010 Tôi up lên để dành làm tliệu Bài 1: Cho biểu thức: 1628142 44 −+− +−− = xxxx xxxx A a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa b) Rút gọn A c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên Bài 2: Giả sử a, b, c là những số thực k thỏa mãn a, b, c ≠ o và 0 111 =++=++ cba cba Chứng minh rằng: abc cba cba = ++ ++ 333 666 Bài 3: Giải các phương trình sau: a) 26921 44 =−++−+ xxxx b) 22 434 xxxx −=+− c) x 3 - 3x + 2 + |x - 1| = 0 Bài 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là các hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng: a) BM vuông góc với EF. b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy. c) Xác định vị trí của M trên AC để diện tích tứ giác DEMF lớn nhất. 7 ĐỀ 4 Cám ơn Thầy cô ở Violet đã biên soan BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Năm học: 2009 – 2010 Tôi up lên để dành làm tliệu Đáp án đề 4 Bài 1: a) ĐK x ≥ 0 ; Đặt x = t ≥ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 2 t 1 t 4 t 1 t 1 t 4 t 4t t 4 A 2t 14t 28t 16 2t 2t (12t 28t 16) 2 t 1 (t 2)(t 4) − − − + − − − + = = = − + − − − − + − − − t ≥ 0; t ≠ 1; ; t ≠ 2; t ≠ 4 => x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4; x ≠ 16 b) Rút gọn ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) t 1 t 1 t 4 t 1 x 1 A 2 t 1 (t 2)(t 4) 2(t 2) 2( x 2) − + − + + = = = − − − − − c) t 1 t 2 3 3 2A 1 t 2 t 2 t 2 + − + = = = + − − − ; Để 2A nguyên thì t – 2 là ước của 3 Xét các trường hợp => t = 3 ; 5 = > x = 9 ; 25 Bài 2: * a + b + c = 0 => a + b = -c => (a + b) 3 = -c 3 => a 3 + b 3 + c 3 = -3ab(a + b) = 3abc * 1 1 1 0 a b c + + = => ab + bc + ca = 0 * a 6 + b 6 + c 6 = (a 3 ) 2 + (b 3 ) 2 + (c 3 ) 2 = (a 3 + b 3 + c 3 ) 2 – 2(a 3 b 3 + b 3 c 3 + c 3 a 3 ) * ab + bc + ca = 0 => a 3 b 3 + b 3 c 3 + c 3 a 3 = 3a 2 b 2 c 2 Do đó: * a 6 + b 6 + c 6 = (3abc) 2 – 2.3a 2 b 2 c 2 = 3a 2 b 2 c 2 +Vậy: 6 6 6 2 2 2 3 3 3 a b c 3a b c abc a b c 3abc + + = = + + Bài 3: Giải các phương trình sau: a) 26921 44 =−++−+ xxxx  2 2 4 4 4 4 ( x 1) ( x 3) 2 x 1 x 3 2− + − = ⇔ − + − = Đặt 4 x y 0= ≥ ; Ta có : PT: |y – 1| + |y – 3| = 0 ; Xét các khoảng ta được nghiệm 1 x 81≤ ≤ b) 22 434 xxxx −=+− ; ĐK: 4x – x 2 ≥ 0 => x 2 – 4x + 3 = (4x – x 2 ) 2 Đặt y = 4x – x 2 = 4 – (x – 2) 2 => 0 ≤ t ≤ 4 ; Ta có PT : 3 – t = t 2 ⇔ t 2 + t – 3 = 0 Giải PT ta được : 1 2 1 13 1 13 t 0; t 2 2 − − − + = < = (t 1 < 0 : loại ; 0 ≤ t 2 ≤ 4 : t/m) Thay t vào và giải PT : 4x - x 2 = t 2 ta được nghiệm 1,2 9 13 x 2 2 − = ± c) x 3 - 3x + 2 + |x - 1| = 0 ; Phá dấu || và giải PT bậc ba Bài 4: a) Gọi K là giao của EM và BC. Ta cú D EMF = D BKM (g.c.g) nờn MFE = KMB Gọi H là gia điểm của BM và EF, ta chứng minh được BH ⊥ EF b) D ADF = D BAE (g.c.g) , từ đú chứng minh được AF ⊥ BE Tương tự chứng minh được CE ⊥ BF Ta cú BM, AF, CE là cỏc đường cao của tam giỏc BEF nờn đồng quy. c) Diện tớch tứ giỏc DEMF lớn nhất khi M là trung điểm AC. 8 ĐỀ 5 A B K CD E M F H Cám ơn Thầy cô ở Violet đã biên soan BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Năm học: 2009 – 2010 Tôi up lên để dành làm tliệu Bài 1: Cho biểu thức : 1 3 2 1 1 1 P x x x x x = − + + + − + 1 – Rút Gọn P. 2 – Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P. Bài 2: a) Giải phương trình: 2 2 1 16 2x x x− − + = b) Giải hệ phương trình: 2 2 9 3 x y xy x y xy  + + =  + + =  Bài 3: . Biết 2 1 , 2 1a b b c− = + − = − Tìm giá trị của biểu thức: A = a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc - ca Bài 4: 1 . Cho tam giác vuông ABC có AB = AC = a. Điểm M thuộc cạnh BC (M khác B và C), Các đường tròn (O) và (I) đi qua M lần lượt tiếp xúc với AB, AC tại B, C và cắt nhau tại điểm thứ hai N khác M. a. Chứng minh ON là tiếp tuyến của (I ) b. Tìm vị trí của M để OI nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó. 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dựng tiếp tuyến chung CD của hai đường tròn, ( ) ; ( ')C O D O∈ ∈ . Chứng minh rằng AB đi qua trung điểm I của CD Bài 5: Cho a, b là các số dương thay đổi và a + b = 1 . Chứng minh : 2 2 2 3 14 ab a b + ≥ + Đáp án đề 5 9 Cám ơn Thầy cô ở Violet đã biên soan BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Năm học: 2009 – 2010 Tôi up lên để dành làm tliệu Bài 1: 1) ĐKXĐ 0x ≥ khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 1 1 1 1 1 x x x x x x P x x x x x x x x − + − + + + = = = + − + + − + − + 2) Ta có: ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 4 2 4 x x x x x P x x x x − − + − = + − = + = − ≤ − +     − + − +  ÷  ÷     Dấu “=” xẩy ra <=> x = 1. Vậy maxP = 1 khi x = 1. Ta có: 2 0 1 3 2 4 x P x = ≥   − +  ÷   vì 0x ≥ nên minP = 0 khi x = 0 Bài 2: a) ĐKXĐ 1 16 x ≥ − ; 2 2 1 16 2x x x− − + = ( ) 2 2 2 2 2 1 16 2 4 64x x x x x x⇔ − − = + ⇔ − − = + ( ) ( ) ( ) 4 2 3 2 4 3 2 3 2 2 4 2 4 4 64 4 2 3 60 0 2 3 60 0 0 5 3 12 0 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + − − + = + ⇔ − − − = ⇔ − − − = =  ⇔ − + + = ⇒  =  Vì x 2 + 3x + 12 = 2 3 39 0 2 4 x   + + >  ÷   b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 9 9 12 0 3 3 x y xy x y xy x y x y x y xy x y xy  + − =  + + =  ⇔ ⇒ + + + − =   + + = + + =    Đặt (x + y) = a, xy = b Khi đó ta có : * a = - 4 ; b = 7 ; hoặc a = 3 ; b = 0 từ đó tìm được nghiệm (x; y). Bài 3: Từ bài ra ta có : 2 1 , 2 1 2 2a b b c a c− = + − = − ⇒ − = Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A a b c ab bc ac a b b c a c= + + − − − = − + − + − khi đó thay các giá trị của 2 1 , 2 1 2 2a b b c a c− = + − = − ⇒ − = vào ta tính được A. Bài 4: 10 ĐỀ 6 B C A