Cho tam giác ABC và AD là đường phân giác trong.. Đường thẳng BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai là E.. Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (7,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 + 8x− = 3 2 x(8 +x)
b) Giải hệ phương trình: ( )
4 2
1 3 1
− = −
Câu 2 (2,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên n để n4 + +n3 n2 là số chính phương
Câu 3 (4,0 điểm).
Cho tam giác ABC và AD là đường phân giác trong Trên đoạn AD lấy hai điểm
M, N (M, N khác A và D) sao cho ·ABN CBM=· Đường thẳng BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai là E Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại điểm thứ hai là F
Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M khác B, C) Đường tròn (O’; R’) tiếp xúc trong với đường tròn (O; R) tại điểm M (với R’ < R) Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt đường tròn (O’; R’) tại điểm thứ hai là D, E, F Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O’; R’) trong đó I, J, K là các tiếp điểm
Chứng minh DE song song với AB và AI = BJ + CK
Câu 5 (4,0 điểm)
a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a b c+ + = 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a b b c c a+ + − abc
b) Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên một đường tròn
Chứng minh rằng trong 2010 điểm đã cho, có thể dựng được một đường tròn đi qua 3 điểm, chứa 1000 điểm và không chứa 1007 điểm còn lại
- Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đề thi chính thức
Trang 2SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2010 - 2011
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
Môn: TOÁN
Trang 3
ĐIỂ M
Phương trình đã cho trở thành
1 3
t
t
− − =
= −
1,5
9
x
x
=
V ậy phương trình có nghiệm x= 1;x= − 9
1.5
Hệ đã cho trở thành
Suy ra 4(x3 −y3) (= x2 + 3y2) (4x+ 2y)
⇔ 10y3 + 12xy2 + 2x y2 = 0 0.5
0 5
y
=
= −
0.75
Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là:
( ) (2;0 , 2;0 , 1, 1 , 1;1 ,) ( ) ( ) 5 ; 1 , 5 1;
0.75
Ta có A = n4 + +n3 n2 =n n2( 2 + +n 1) 0.25
Với n≠0 thì A là số chính phương khi và chỉ khi 2
1
n + +n là số chính
Khi đó n2 + + =n 1 k2 (k∈ ¥) ( 2 ) 2 ( )2 2
4 n n 1 4k 2n 1 4k 3
(2n 1 2k) (2n 1 2k) 3
Vì 2n+ + 1 2k≥ 2n+ − 1 2 ,k ∀ ∈n ¢ ,k∈ ¥ nên
0.5
1
n
+ + =
0
n
+ + =
Vậy n= 0;n= − 1
0.25
M A
B
C
D’
F
N
A
E M
A
M
D I
J
K
x
Trang 4Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.